Нетто-премия  Страховая сумма  Нетто-ставка100. Большая энциклопедия нефти и газа

Страхование как институт финансовой защиты предполагает передачу страховщику ответственности страхователя по несению риска. Признаком передачи такой ответственности является уплата страховой премии (брутто-премии), структурный элемент которой – нетто-премия – предназначен для осуществления будущих страховых выплат.

Страховая премия, или брутто-премия , – это размер страховых платежей по договору страхования, уплачиваемый страхователем страховщику (страховой организации) но договору страхования со всей страховой суммы.

Очень часто уплата страховой премии производится не единовременно в полном объеме, а частями – страховыми взносами.

Размер брутто-премии зависит от величины страховой суммы, уровня риска и периода действия договора.

Для упрощения расчетов, связанных с определением размера страховой премии (брутто-премии), в страховании используют понятие страхового тарифа.

Существует два варианта выражения страхового тарифа – в рублях и в процентах.

При этом по первому варианту страховой тариф может быть связан либо с размером страховой суммы, либо с определенным видом (маркой, типом) имущества (например, при страховании отдельных видов транспорта).

Обратите внимание!

В первом случае денежного выражения страховой тариф представляет собой размер страховой премии, рассчитанный на единицу страховой суммы, равную 100 руб.

Фактически он отражает цену соответствующего страхового продукта для страховой суммы, установленной в размере 100 руб. Например, страховой тариф при страховании от несчастного случая составляет 0,6 руб. со 100 руб. страховой суммы. Такой вариант представления страхового тарифа удобен в том случае, если страхуются однородные по вероятности риски, но страховая сумма у них устанавливается разной.

Обратите внимание!

Во втором случае денежного выражения страховой тариф представляет собой денежную сумму, уплачиваемую, например, с единицы застрахованного имущества определенного вида, конкретной модели и т.д.

Данный вариант установления страхового тарифа удобен при страховании, например, такого транспортного средства, как велосипед. Размер тарифа устанавливается в рублях сразу же в зависимости от марки велосипеда, которая косвенно определяет его стоимость. Однако с учетом возможности варьирования стоимости производства велосипеда одной и той же марки у разных производителей увязывать размер страховой премии для страховщика более целесообразно не с самой стоимостью велосипеда, а с маркой транспортного средства. Так, страховой тариф с единицы велосипеда марки В-3 может составлять 15 руб. При этом считается, что усредненная по производителям стоимость велосипеда этой марки составляет 3000 руб.

Обратите внимание!

По второму варианту использования единиц измерения страховой тариф выражается в процентах от страховой суммы, и по экономическому смыслу также представляет собой цену соответствующего страхового продукта.

Так, страховой тариф, выраженный в процентах и равный 0,2%, означает, что в денежном выражении для потребителя цена соответствующего страхового продукта будет составлять 0,2% от размера страховой суммы, равной 100 руб., т.е. будет равна 2 руб. Соответствующая этому тарифу страховая премия для страховой суммы, равной 3000 руб., составит уже 60 руб. (2 руб. * 30 (количество сотен в 3000 руб.) = 60 руб.).

Обратите внимание!

Так как страховая премия и страховой тариф имеют один и тот же экономический смысл – это цена страхового продукта, то структура страховой премии и страхового тарифа является одинаковой.

Рассмотрим структуру страховой премии и страхового тарифа на примере страховой брутто-премии.

Структура брутто-премии отражает экономический механизм страхования.

В ней можно выделить два элемента – нетто-премию и нагрузку (рис. 11.4). Заметим, что нетто-премия, рассчитанная на единицу страховой суммы, равную, как правило, 100 руб., носит название нетто-ставки, или страхового тарифа.

Рис. 11.4.

Соотношение нетто-премии и нагрузки в зависимости от вида и объема страхования, а также от уровня затрат на ведение дела может быть различным. В настоящее время доля нетто-премии по различным видам страхования колеблется в интервале 70–85%. Достаточно высокая доля нагрузки (до 30%) в основном обусловлена увеличением ее структурного элемента – комиссионного вознаграждения, выплачиваемого посреднику (агенту, брокеру). Это говорит об усилении значимости работы посредника в страховании и в большей степени соответствует мировой практике.

В общем случае нетто-премия может включать следующие структурные элементы – рисковый взнос, рисковую (гарантийную) надбавку и накопительный (сберегательный) взнос (рис. 11.5).

Рисковый взнос предназначен для покрытия риска по всем видам страхования, т.е. он используется для страховых выплат при наступлении страхового случая. В структуре нетто-премии присутствует всегда.

Рис. 11.5.

Рисковая (гарантийная , или стабилизационная) надбавка предназначена для компенсации возможного превышения фактических выплат над расчетными, учтенными в виде рискового взноса. В структуру нетто-премии может не включаться – все зависит от выбранной страховщиком стратегии управления. Если его цель – завоевать страховой рынок за счет цен, более низких по сравнению с другими страховщиками, то этот элемент (рисковая надбавка) не включается в структуру нетто-премии. Если же страховщик желает укрепить свою финансовую устойчивость, – этот элемент включается в нетто-премию.

Накопительный (сберегательный ) взнос предназначен для накопления суммы, выплачиваемой по условиям долгосрочного договора страхования жизни – в случае дожития застрахованного до определенной даты, возраста, определенного события (по риску дожития). Накопительный взнос должен инвестироваться с целью получения дохода. Он является структурным элементом нетто-премии долгосрочных договоров страхования жизни, например при смешанном страховании жизни, страховании пенсий.

Размер рискового взноса в нетто-премии зависит от страховой суммы и вероятности наступления страхового случая.

Размер рисковой надбавки зависит от принятой вероятности превышения фактических выплат над расчетными. Чем меньше заданная вероятность превышения фактических выплат над расчетными, тем выше размер рисковой надбавки.

Размер накопительного взноса зависит от принятого правила денежного оборота (простого или сложного процента), размера страховой (накапливаемой) суммы, выплачиваемой по риску дожития, обещанной страхователю нормы доходности и срока действия договора (периода накопления). Для накопительного вида страхования соотношение рискового и накопительного взносов определяется условиями договора.

Обратите внимание!

В структуре нетто-премии:

рисковый взнос присутствует всегда;
рисковая (гарантийная) надбавка присутствует не всегда;
накопительный взнос присутствует только по риску дожития для договоров страхования жизни.

Страхователю на заметку!

Уплачивая страховой взнос, вы авансируете возможное получение страховых выплат.

Выполнение обязательств страховщика перед страхователями по страховым выплатам основано на соблюдении принципа объединения экономического риска, в соответствии с которым все, что собрано со страхователей для выполнения страховых обязательств, аккумулируется в страховых фондах. Источниками разных страховых фондов, предназначенных для выплат по условиям договора страхования, являются элементы нетто-премии – рисковый взнос, рисковая надбавка и накопительный взнос.

представляет собой часть брутто-премии, предназначенную для покрытия расходов по ведению дела и для получения прибыли от страховых операций (рис. 11.6).

Рис 11.6.

Первый структурный элемент нагрузки – затраты на ведение дела – относятся на себестоимость страховых услуг, второй элемент является плановой прибылью страховой организации от страховых операций.

Затраты на ведение дела делятся на традиционные, которые имеют место для любого вида бизнеса, и специфические, характерные именно для страхового дела. К специфическим видам издержек относятся комиссионные вознаграждения агентам и брокерам за посредническую деятельность в распространении страховых продуктов, расходы на проведение предупредительных (превентивных) мероприятий, издержки, связанные, например, с проведением начальной экспертизы (при заключении договора), а также экспертизы, связанной с наступлением страхового случая, и т.п.

Опыт экономически развитых стран показывает, что доля расходов на проведение предупредительных мероприятий может составлять 4–6% брутто-премии, а доля комиссионных вознаграждений может доходить до 20% брутто-премии.

Обратите внимание!

Структура страховой премии отражает целевое назначение каждого из ее элементов.

Общие принципы расчета нетто и брутто-ставки

Согласно теории риска, величина выплаты по конкретному договору страхования является случайной величиной. Следовательно, сумма выплат по всем договорам также будет являться случайной величиной. То есть она может принимать любое значение от нуля до максимально возможной величины выплат, равной совокупной страховой сумме по всем договорам.

Для обеспечения 100% гарантии страховых выплат, страховщик должен сформировать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае нетто-премия по каждому договору будет равна страховой сумме. Таким образом, с учетом нагрузки страхователь должен будет заплатить больше, чем получит при наступлении страхового случая. Поэтому при расчете страховых премий страховщики вынуждены принимать гарантию безопасности меньше 100%. На практике ее величина находится в пределах от 85 до 99,9%.

Исходное неравенство для определения величины нетто-премий имеет вид:

вероятность {сумма выплат < величина страхового фонда} ³ g,

где γ - величина гарантии безопасности.

Величина нетто-премий определяется исходя из требуемого размера страхового фонда, который формируется за счет них.

Величина нетто-премий отражает тот риск, который представляет собой данный договор для страховщика. Количественно этот риск оценивается через вероятную величину выплаты, причем максимально возможная выплата, по определению, равна страховой сумме.

Ожидаемую величину выплаты, и, следовательно, нетто-премию можно выразить:

Нетто-премия = Страховая сумма * Нетто-ставка/100,

Нетто-ставка (нетто-тариф) отражает степень риска страховщика и выражается либо в % от страховой суммы, либо в рублях со 100 рублей страховой суммы. На размер нетто-ставки влияют два фактора:

Вероятность наступления страхового случая по данному договору;

Ожидаемая тяжесть страхового случая, которая определяется отношением ожидаемой величины выплаты по страховому случаю к страховой сумме по договору.

Величина страховой суммы выбирается страхователем. Верхним ее пределом является стоимость страхуемого имущества.

Нетто-премия представляет собой основную часть брутто-премии. Брутто-премию можно представить как произведение страховой суммы на страховой тариф или тарифную ставку. Тарифная ставка, которая определяет величину страхового взноса, называется брутто-ставкой и представляет собой платеж со 100 рублей страховой суммы или % ставку от страховой суммы:

Страховая премия = Страховая сумма * Брутто-ставка/100,

Брутто-ставка состоит из нетто-ставки и нагрузки. Доля нагрузки в брутто-ставке обозначается f и выражается в % или долях единицы. Общая формула расчета брутто-ставки имеет вид:

Если доля нагрузки выражена в %, то:

Брутто-ставка = Нетто-ставка/1- f *100

Данная формула для определения брутто-ставки является общей для всех видов страхования. Однако методы расчета входящей в эту формулу нетто-ставки различаются по видам страхования.

План практического занятия:

1. Состав и структура тарифной ставки.

2. Общие принципы расчета нетто - и брутто - ставки.

Вопросы, обсуждаемые на практическом занятии:

1. Цена страховой услуги и факторы, влияющие на ее величину.

2. Структура страховой премии.

3. Методология обоснования нетто – премии по риску. Уровень гарантии безопасности.

4. Методические основы расчет брутто – ставки и брутто- премии.

Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебно-методический комплекс (Документ)

Задачи по финансовой математике (Лабораторная работа)

Учебное пособие - Е.В. Ширшов и др. Финансовая математика (Лекция)

Каменская Н.Ю. Краткосрочная и долгосрочная финансовая политика (УМК) (Документ)

Малыхин В.И. Финансовая математика (Документ)

n1.doc

§17.1. Нетто-премии в личном страховании

Страхование на дожитие. Для начала рассмотрим самый простой, но очень важный в методическом плане случай личного страхования - страхование на дожитие (pure endowment). Итак, человек в возрасте х лет договаривается со страховой организацией о том, что при достижении им, допустим, 60 лет он получит S рублей. Для определения размера премии найдем математическое ожидание суммы страховой выплаты, дисконтированной на срок страхования, т.е. на 60 - х лет. Размер нетто-премии данного вида страхования обозначим как п Е х . Для рассматриваемого примера:

60-А = во-хРх * v6 °~* * Ј

Где м-хРх - вероятность лицу в возрасте х лет дожить до 60 лет, v 60 "* - дисконтный множитель по принятой ставке сложных процентов.

В общем виде с использованием коммутационной функции D x получим

A-A*»-*$-^"«S--^^-xJ-^S

Влияние принятой процентной ставки здесь очевидно. Чем она выше, тем меньше страховая премия.

ПРИМЕР 17.1. Необходимо найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если расчет основывать на процентной ставке, равной 9%, то согласно (17.1) получим 1

1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.

D eo 389,17

20 е * = IT"S = " c S = 0,13239 S.
20 x Одо 2939,5

Премия здесь составляет чуть больше 13% страховой суммы. Полученная величина представляет собой нетто-ставку страхования на дожитие, т.е. ставку, определенную из условия эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Напомним, что она не учитывает расходов страховщика на ведение дела.

Для того чтобы лучше понять смысл полученных результатов, предположим, что число застрахованных на дожитие в примере 17.1 равно 1000 человек, а страховая сумма равна 1 тыс. руб. Таким образом:

Число застрахованных 1000

Премия от одного застрахованного 132,39 руб.

Общая сумма премии 132 390 руб.

Сумма с процентами за 20 лет 741 968 руб.

Количество лиц, доживших до 60 лет 742 (точно 741,968)

Общая сумма выплат 742 000 тыс. руб.

Как видим, наблюдается полная сбалансированность между взносами и выплатами, демонстрирующая соблюдение принципа эквивалентности обязательств страхователей и страховщика (небольшая разница объясняется округлением числа доживших).

Приведенный пример иллюстрирует действие принципа со-лидарной ответственности страхователей - важнейшего стра хового принципа. Дело в том, что страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет тех лиц, которые не дожили до обусловленного возраста (согласно таблице смертности таких окажется в среднем 258 человек из тысячи застрахованных). Если оговоренную сумму он обеспечивает самостоятельно, без солидарной ответственности всех участников, то ему необходимо было бы внести на сберегательный счет 178,43 руб., а не 132,39 руб.

Страхование супружеской пары. Выше постановка задачи личного страхования обсуждалась применительно к отдельному человеку. Распространим теперь методику страхования на супружескую пару, при этом ограничимся страхованием на дожитие.

Пусть речь идет о супружеской паре, имеющей возраст х и у лет. Страховым событием здесь является дожитие до возрастов х+яиу+й или дожитие одного из супругов до оговоренного

возраста. В первом варианте нетто-премия в расчете на один рубль страховой суммы определяется как

Лу = пРх * пРу * V я = -ТрЧ (17.2)

и ху

где п р х и п р у - вероятности прожить еще п лет для каждого из супругов, D YV - коммутационная функция (см.(16.14) и (16.15)).

Во втором варианте страховая сумма выплачивается одному из супругов, например вдове, при условии, что она проживет до у + п лет. Получим следующую величину нетто-премии:

Л\у - пР Х \у * V" = ^" ~ "^f 4 "" (,7 - 3)

У ХУ

где п р х ^ - вероятность того, что супруг (заключивший договор в х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до возраста х + п, а супруга, напротив, доживет до у + п лет (см. (16.7)).

Величину я Яф можно рассчитать с помощью коммутационных чисел. Обратимся к первой дроби в правой части равенства (17.3). Умножим и разделим ее на v>\ Получим знакомое выражение для нетто-премии на дожитие (17.1). Что касается второй дроби, то для ее определения необходимы другие коммутационные числа (см. (16.14) и (16.15)).

Вернемся к формуле (17.3). Умножим и разделим вторую дробь на v^yV 1 . После чего получим

» Е 4у~ D D " ("

У ху

Искомая величина равна разности нетто-премий страхования на дожитие супруги и страхования на дожитие супружеской пары.

ПРИМЕР 17.2. Определим размер нетто-премии страхования на 5 лет на дожитие супругов. Для супружеской пары (х = 50, у = = 45 лет) находим следующие коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 9% (первая строка - для мужчин, вторая - для женщин):

D* = 050 = 1124 " 8 ; D x+n = 0 55 = 673,1;

351

D y = 045=1991,9; D y + n = D	so = 1268,8;
(x + y)/2 = (50 + 45) / 2	= 47,5.
Отсюда
*°xy = D 50; 45 = 10 " 3 1124 > 8 * 1991 - 9:**	к 1,09 475 = 134 799;
*V„ = 0 55; я, = Ю- 3 ж 673,1 ж 1268,8 ,	*1,09 5+475 = 78 770.*
При страховании на дожитие супружеской пары получим
Е т Е . 78770 ш rFxy 5 С 50;45 134 799	0,58435.
При страховании на дожитие вдовы:
1268,8 78 770 *\ Е , = Ј=„,« = ! = 0,63698 - 0,58435 - 0,05263. л с х\|у 5 С 50\|45 1991,9 134 799 " ,wus, ° u,JOW "**

§17.2. Страхование жизни

Этот вид страхования (life insurance), называемый также страхованием на случай смерти, является наиболее распространенным. Страховая сумма, равная 5, выплачивается в случае смерти застрахованного. Допустим, страховой договор заключается в возрасте х лет. Если смерть наступит на первом году страхования, а выплата страховых сумм наследникам производится в конце года наступления страхового события, то с учетом вероятности этого события современная величина выплаты (на момент заключения контракта) составит q x (Sv); если страховой случай наступит во втором году, то аналогичная по содержанию величина равна 2 Я Х (^) и Т -Д-

Единовременную нетто-премию определим исходя из принципа эквивалентности обязательств. Искомая величина равна современной стоимости страхового аннуитета или математическому ожиданию суммы дисконтированных выплат. Поскольку необходимые значения вероятностей находятся на основе таблицы смертности как d x /l x (см. § 16.2), то искомая величина премии при условии, что страхование пожизненное, определяется как

A=-rvS+ -^-v 2 ^ + ... + -7- v«- x S.

Умножим и разделим каждое слагаемое на V х и используем коммутационную функцию D x . После чего получим

A=S

*x+\ + -^±i- v x+2 + + _% o>

D„ D„ D

\ ~x **x **x

Применив коммутационную функцию М х (см. (16.13)), окончательно имеем

Л/
A x --f& 07.5)

Пожизненное страхование жизни встречается не так уж часто. Обычно практикуют страхование на срок. Пусть этот срок равен п годам. Нетто-премия в этом случае составит

Л/. ~~ А/„._

л --r^ s -

ПРИМЕР 17.3. Найдем величину премии в виде доли от страховой суммы для сорокалетнего мужчины при пожизненном страховании жизни:

Мдо 431,4

A ^^ = ^ s= -i^iJ s=0 - 14678S -

Для варианта с ограничением срока страхования двадцатью годами получим:

М 40~ М 60 431,4-134,7
Их - «Л* - ~%^S iiiiJ -S = 0.10094S.

Как видим, ограничение срока заметно снизило стоимость страхования.

На практике часто премии выплачиваются в рассрочку. Последнее равносильно замене разовой выплаты премии постоянной рентой. Пусть рассрочка осуществляется посредством платежей пренумерандо в течение / лет. Условие равенства обязательств сторон в страховании запишем следующим образом:

М х - М х+п

где R - член страхового аннуитета (размер ежегодной премии), а^л - стоимость немедленного ограниченного страхового аннуитета (см. (16.22)).

После несложных преобразований имеем

A/ v ~~ Л/.
* = s-N & (17J)

ПРИМЕР 17.4. Допустим, единовременный взнос в примере 17.3 (пожизненное страхование) заменяется на выплаты в рассрочку в течение 20 лет. В этом случае

Чю 431,4
R = - -S = ■ S = 0,01581 S.

N A0" N 60 30376 " 3082

Смешанное страхование. Нетрудно объединить страхование на дожитие и на случай смерти. Если страховое возмещение обоих рисков одинаково, то в расчете на один рубль страховой суммы получим следующую сумму единовременной нетто-пре-мии:

А + Л ~ п ~* 07-8)

Для рассрочки платежей в течение / лет получим

D+ М- М х+п
*- N - N s - (> 7 -9)

1У х n x+t

§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем

Проблема пенсионного обеспечения затронула в последнее десятилетие все развитые страны, что в значительной мере связано с заметным старением населения. Не избежала этой проблемы и Россия. Свой вклад в ее решение вносят негосударственные пенсионные фонды (НПФ). Пенсионные фонды не но-

вость для России. До 1917 г. подобного рода учреждения функционировали в стране под названием пенсионные и эмеритальные кассы.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе НПФ представляет собой своеобразный долгосрочный инвестиционный процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (взносы в фонд) и последовательное наращение средств за счет доходов от инвестиций свободных денежных средств, на втором -- получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий. Особенности данного процесса определяются принятыми правилами, регламентирующими взносы и выплаты пенсий (пенсионные схемы).

В длительно действующих пенсионных фондах скапливаются громадные средства. Например, активы пенсионных фондов стран Европейского союза в 1993 г. составляли более 1,2 трлн долл.

По условиям финансирования пенсионные схемы, практикуемые в России, подразделяются на:

- нефондируемые (предусматривается выплата пенсий из те
кущих поступлений); эти схемы не представляют большо
го интереса в отношении применения количественного
финансового анализа;

-- фондируемые, или накопительные, (для обеспечения выплат пенсий создаются целевые фонды);

- частично фондируемые (целевые фонды создаются не для
всех участников; например, только для лиц, выходящих
на пенсию).

К фондируемым схемам относятся:

сберегательные (отличительные особенности: не учитываются вероятности дожития каждого участника фонда, предусматривается наследование накоплений, отсутствует солидарность участников в обеспечении выплат, оговаривается конкретный срок выплат); данный метод обеспечения старости представляет собой покупку индивидуальной финансовой ренты;
страховые (солидарность участников, нет наследования накоплений, учитываются вероятности дожития застрахованных);

355

- смешанные сберегательно-страховые схемы (предусматри
вается последовательное использование двух схем, напри
мер, на этапе накопления применяется сберегательная
схема, на этапе выплат пенсий - страховая).

Страховые схемы различаются по охвату участников фонда:

индивидуальные схемы, в которых пенсии эквивалентны индивидуальным накоплениям для каждого участника,
групповые схемы, в которых пенсии и накопления эквивалентны для всех участников фонда "в массе".

Сбалансированность взносов и выплат (иначе говоря, эквивалентность обязательств) - необходимое условие для нормального ведения дела и важный элемент гарантии выполнения обязательств НПФ по выплатам пенсий. В страховых схемах баланс обеспечивается на основе применения страховых принципов, которые реализуются с помощью актуарных расчетов. В сберегательных схемах баланс достигается на основе теории верных финансовых рент.

При применении любой из пенсионных схем с фондированием сталкиваются с необходимостью решения двух задач. Первая выступает в двух "сопряженных" вариантах: определение размера пенсии по величине установленных взносов либо расчет величины взносов по заданным размерам пенсии.

Вторая задача заключается в расчете страховых резервов. В следующих параграфах главы обсуждаются обе задачи.

§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы

В российских НПФ получили распространение как страховые, так и сберегательные пенсионные схемы. В методических целях анализ удобнее начать с последних. В таких схемах платежи (взносы и пенсии) не увязываются с вероятностями их выплат, поэтому нет необходимости применять таблицы смертности и коммутационные числа, где аргументом является возраст. Строго говоря, здесь, по-видимому, нет оснований и для применения терминов "премия" и "пенсия". Однако для единообразия сохраним эти термины и в сберегательных схемах обеспечения старости.

Для расчета премий, очевидно, следует применять формулы, определяющие современные стоимости рент, если премия вы-

плачивается единовременным взносом, или размеры членов ограниченных, постоянных рент, если премии выплачиваются в рассрочку. Соответствующие методы были подробно обсуждены в гл. 5, поэтому ограничимся примером, в котором пенсия выплачивается в виде годовой, ограниченной ренты пренуме-рандо. Рассмотрим методы расчета суммы единовременного взноса и размеров последовательных взносов в фонд в течение ряда лет. Для записи формул примем следующие обозначения:

R - годовая сумма пенсии, Е - размер единовременного взноса,

А - сумма, накопленная на индивидуальном счете участника фонда на начало выплат пенсии, х - возраст застрахованного в момент заключения договора, L - возраст выхода на пенсию, w - возраст в момент окончания действия контракта, п - срок накопления, п = L - х, / - срок выплат пенсии, / = w - L.

Как показано на рис. 17.1, общий срок делится на два периода. В первом - в возрасте от л: до L лет - взнос в сумме Е (здесь и далее речь идет о "чистых" взносах, аналогах нетто-премии в страховых схемах) увеличится до величины А. Эта сумма обеспечивает оговоренные выплаты до возраста w во втором периоде.

Накопления

х L w Возраст

Рис 17.1

ПРИМЕР 17.5. Определим размеры премий, необходимые для обеспечения выплат страховой пенсии. Пенсионные выплаты, отложенные на 20 лет, должны производиться в размере 10 тыс. руб. в год, пренумерандо. Срок выплат f = 15 лет.

Таким образом, выплаты представляют собой отложенную на 20 лет, ограниченную годовую финансовую ренту, член которой равен 10 тыс. руб. Очевидно, что единовременный взнос равен современной стоимости будущих выплат. Положим, что на взнос начисляются проценты по ставке / = 9%. Общая формула для расчета имеет вид

Е = А х v n = R х a t; i x (1 + i)v n t

где v - дисконтный множитель по ставке /, а п ; ,(1 + /) - коэффициент приведения постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.3),

4 = 10 000а 15; 9 х 1,09 = 10 000 х 8,060688 х 1,09 = 87 861 руб.,

Е = 87 861 х 1,09-2° = 15 677 руб.

Динамика пенсионных накоплений схематично показана на рис. 17.2.

Накопления

40 60 75 " Возраст

Рис. 17.2

Если страховой договор предусматривает рассрочку взносов (равными платежами) в течение m лет (п * л?), то необходимый размер ежегодного взноса пренумерандо легко получить на основе следующего равенства:

Rti . = Av n .

п го; i ™ *

Как показано выше, Av n = 15 677,

*10; 9 = а 10; 9 х = 6,41766 х 1,09 = 6,99525.

Окончательно имеем

*=^i^- = 2241 " 1py6 -

Таким образом, имеется альтернатива - выплатить единовременно 15,7 тыс. руб. или ежегодно на протяжении 10 лет по 2,2 тыс. руб.

Короткое замечание об учете инфляции. Безусловно этот фактор должен быть учтен при определении размера пенсии вне зависимости от выбранной схемы. За рубежом обычно (при низких темпах инфляции) для этого увеличивают применяемую в расчетах процентную ставку на величину ожидаемого долгосрочного темпа инфляции. При большом темпе такой прием невозможен. Единственный разумный путь - периодическая корректировка пенсии с учетом реально полученного дохода от инвестирования накоплений.

§17.5. Страховые пенсионные схемы

Пенсионное страхование по существу представляет собой последовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разовой выплаты пенсии, равной 5, определяется стоимостью страхования на дожитие до 60 лет (см. (17.1)). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге стоимость страхования составит:

{ Е Х + 2 Е Х + ... + ^.^yEj

где w - максимальный возраст, учитываемый в расчете.

Проще, однако, воспользоваться страховыми аннуитетами, о которых речь шла в гл. 16.

Необходимость в расчете нетто-тарифов (нетто-премий в ра-чете на 1 руб. установленной пенсии) возникает при использовании схемы, в которой за исходную принимается величина пенсии. Тариф может быть определен для единовременного взноса (покупка пенсии разовым платежом) или при условии, что премия выплачивается в рассрочку. Обсудим оба варианта, но только для пенсионных схем индивидуального страхования. Актуарные расчеты в групповом пенсионном страховании требуют более обширной информационной базы, расширенных таблиц смертности (где учитывается выход из состава группы участников в связи с увольнением и выходом на пенсию по инвалидности).

Единовременный взнос. Поскольку речь идет о разовом взносе, то нетто-тариф, очевидно, равен стоимости аннуитета, соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия - произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Например, для годовых пенсий пренумерандо имеем

Е х = Rxa x = R-jt, (17.10)

Где а х - стоимость немедленного годового аннуитета пренумерандо (см. (16.18)), R - размер годовой пенсии.

В свою очередь для отложенной на п лет пенсии получим

^-Лх^-Л-^*-, (17.11)

Где ^а х - стоимость отложенного годового аннуитета пренумерандо (см. (16.20)).

Таким же способом получим суммы единовременных взносов и для других условий выплаты пенсий. Формулы для расчета стоимости страховых аннуитетов приведены в табл. 16.3.

ПРИМЕР 17.6. Необходимо определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 1 тыс. руб., выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно. В этом случае имеем отложенный, пожизненный аннуитет пренумерандо. Норматив доходности равен 9%. Для приведенных данных получим

N 6 o 3082,2 а ллосс 20|*-55J - 1 " 04855 " 0ТК У да

^40 = 1 х 1.0*855 1,04855 тыс. руб.

Если бы пенсия страховалась не пожизненно, а на срок 15 лет, то ее стоимость в момент выхода на пенсию составила (см. (16.22)):

с л N eo - N 75 3082,2 - 684,24

5,0 = 1 * "6015! = Б = 389J7 = 6 " 16173 ТЫС * РУ 6 "

В свою очередь для страхователя 40 лет получим (см. (16.24)):

с л ^60 - ^75 3082,2 - 684,24 ло „ с „

Е 4о = 1 х 201*60:151 = -q = ^^ = 0,81577 тыс. руб.

Заметим, что чем выше процентная ставка (норматив доходности), тем ниже тариф страхования и оно более привлекательно для клиента. Однако при этом повышается риск для страховщика - он обязан обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств.

Нетрудно найти и стоимость сберегательно-страховой пенсионной схемы. Пусть до пенсионного возраста применяется сберегательная схема, после - страховая. Если пенсия выплачивается с 60 лет, а единовременный взнос в х лет, то стоимость для пожизненной пенсии пренумерандо равна

Е х = R х *

ПРИМЕР 17.7. Вернемся к примеру 17.6 (вариант с выплатой пенсий в течение 15 лет).

Стоимость смешанной пенсионной схемы в возрасте 40 лет составит

Е 4о = 1 х "60:151 * v2 ° = 6,16173 х 1,09- 20 - 1,099 тыс.руб.

Размеры единовременных взносов (выплаты пенсий в течение 15 лет) для трех вариантов пенсионных схем приведены в следующей таблице.

Таблица 17.1 Стоимости страхования по трем пенсионным схемам

Страховая схема оказывается более дешевой по сравнению со сберегательной, смешанная схема занимает промежуточное место по размеру единовременного взноса для сорокалетнего застрахованного. Однако, нельзя забывать, что страховые схемы не предусматривают наследования остатков средств на счете участника. Сберегательная схема, наоборот, предполагает это.

Совместим три кривые, характеризующие динамику накопления для трех видов пенсионных схем (см. рис. 17.3).

361

8061 j
	/ 6162\
1438
1099
816 4			W
816 4	0 60	75	*^ Возраст* 1**
	Рис. 17.3

Рассрочка взносов. В практике страхования премии часто выплачиваются в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчете нетто-тарифов с рассрочкой для описания взносов можно воспользоваться ограниченными (на период рассрочки) аннуитетами. С другой стороны, пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. В силу эквивалентности финансовых обязательств обоих участников стоимости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае, когда один аннуитет (взносы) является немедленным, ограниченным, второй (Пенсии) - пожизненным, отсроченным, причем оба предусматривают ежегодные платежи постнумерандо, получим следующее равенство:

Pa x.t] = R n a *

(17.12)

Где Р - годовая сумма взносов (нетто-премии), R - годовая сумма пенсии.

D _ r n a x _ D "x+n+\ N x+{ /Vjc+z+i

а х-А

N.
= R

^Yjc+1 Wjc+/+I

Например, если первая выплата пенсии производится, допустим, в 60 лет (х + п + 1 = 60), возраст при заключении страхового контракта 40 лет, а рассрочка равна 10 годам, то

УУ 60

p - R N _ N

Выражения, аналогичные (17.12), могут уравнивать стоимости различных видов аннуитета. Например, если оба аннуитета предусматривают годовые выплаты пренумерандо, то вместо (17.12) получим

П *x:t]

„a* N,

p=R f~ = R Y^lT- (,7И)

a x:t] 1У х 1У хН

ПРИМЕР 17.8. Определим размер премии для следующих условий. Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пенсия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо. В этом случае на основе (17.14) получим

Чем больше период рассрочки, тем, очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий

Р = 10 000 х --=77- = 10 000 х ~-

n ao" n so 30375,6 - 10465,3

1548,0 руб.

Расчет размера пенсии по сумме взносов. Пусть на счет застрахованного ежегодно поступают взносы. Эти взносы, разумеется, должны быть "очищены" от нагрузки, которая поступает в пользу страховой организации. Очевидно, что каждый взнос обеспечивает некоторую сумму пенсии. Для начала положим, что пенсия обеспечивается единовременным взносом Е. Тогда из соотношений типа Е = Ra x находим размеры пенсий R. Так, для немедленной пенсии пренумерандо имеем R = Е/а х , для отложенной пенсии R = Е/ п а х и т.д.

Пусть теперь постоянная премия выплачивается в рассрочку в течение / лет, причем взносы одинаковы. Размер пенсии без корректировки на инфляцию определяется элементарно - достаточно решить уравнение (17.12) или аналогичные выражения относительно R. Например, для отложенной годовой пенсии пренумерандо с ограниченным периодом взносов получим

R= Р

a x:t\

Перейдем теперь к ситуации, когда взносы производятся последовательно в течение некоторого срока и изменяются по времени. Первый взнос Р { можно рассматривать как единовременную премию, обеспечивающую пенсию в сумме Л, и т.д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале года. Пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда для каждого взноса можно написать равенство °«fi

",

*y*Vi

р,

40

2939,5

150

440 925

143,05

41

2677,7

200

535 540

174,75

42

2437,7

400

975 080

316,36

43

2217.8

300

665 340

215,86

44

2016,6

800

1 613 280

523,42

Итого

4 230 165

1372,45

364

Договор страхования представляет собой двустороннюю сделку, согласно которой страхователь уплачивает страховой взнос, а страховщик обязуется выплатить страховую сумму при наступлении указанных в договоре событий. Страховая премия - цена этой сделки, и с точки зрения определения ее величины необходимо подчеркнуть следующее: она уплачивается в начале договора страхования, а выплата страховой суммы, как правило, происходит через некоторое время (если вообще имеет место). События, в случае наступления которых страховщик обещает выплатить страховую сумму, могут носить только случайный характер.

Величина премии должна быть достаточной, чтобы:

покрыть ожидаемые претензии в течение страхового периода;
создать страховые резервы;
покрыть издержки страховой организации на ведение дел;
обеспечить определенный размер прибыли.

Ситуация, когда оплата услуги производится заранее, до ее предоставления, представляет собой обратный («перевернутый») экономический цикл. Такой порядок действий имеет место в страховании. Обратный экономический цикл в страховании существенно затрудняет расчет страховых премий и служит причиной появления математических резервов.

Когда товар изготавливается на заказ и его оплата осуществляется заранее, то производитель может достаточно точно рассчитать себестоимость товара и установить цену, гарантирующую безубыточность подобной операции. Отклонения в себестоимости изделия могут произойти только в результате внезапного изменения цен на сырье и комплектующие. В стабильной экономике случаи резкого изменения цен встречаются не часто, а возможные небольшие отклонения можно учесть при формировании цены или при согласовании заказа. Кроме того, в подобных сделках оговаривается конкретное время, когда товар должен быть поставлен заказчику. Иными словами, степень неопределенности относительно себестоимости товара и сроков доставки мала, и, следовательно, при расчете цены можно оперировать детерминированными величинами.

Совсем другая ситуация складывается в страховании. Чтобы договор мог считаться договором страхования, необходимо присутствие в нем элемента случайности. В результате страховщик в момент заключения договора, как правило, не знает, произойдет ли страховой случай по данному договору вообще, и если произойдет, то когда именно в течение срока страхования, и в каком размере наступит ущерб. Элемент случайности должен существовать как для страхователя, так и для страховщика.

Любые действия страхователя или страховщика, приводящие к исчезновению из договора страхования элемента случайности (сговор между страхователем и страховщиком, действия страхователя, направленные на наступление страхового случая, и т. д.) противоречат основным принципам страхования.

При расчетах страховых премий следует исходить из предположения случайности факта наступления страхового случая и (или) величины ущерба и их независимости от воли страхователя и страховщика.

На практике в договоре страхования могут присутствовать следующие случайные факторы:

возможность наступления страхового случая (рисковые виды страхования, срочное страхование на случай смерти);
возможность невыполнения страхователями своих финансовых обязательств перед страховщиком;
момент наступления страхового случая (пожизненное страхование на случай смерти);
величина ущерба (все виды страхования, носящие компенсационный характер).

В итоге страховщик в момент заключения договора страхования не знает ни реальной «себестоимости» услуги, ни точного момента ее предоставления. Степень неопределенности очень велика, и добиться равновесной цены в пределах одной сделки невозможно. Необходимо иметь совокупность похожих договоров страхования. Только в этом случае при расчете премий можно использовать средние значения и достичь финансового равновесия в пределах всей совокупности. Чем больше объем совокупности, тем точнее определяются условия финансового равновесия.

Таким образом, при расчете премий необходимо оценивать случайные явления количественно, что требует применения особых подходов, основанных на положениях теории вероятностей и математической статистики. Кроме того, в страховании жизни приходится использовать методы долгосрочных финансовых исчислений и элементы демографической статистики. Указанные особенности позволили выделить совокупность приемов и методов, используемых при вычислении страховых премий, в отдельную отрасль математики - теорию риска и теорию актуарных расчетов.

Исторически понятие «актуарные расчеты » использовалось только для определения совокупности методов исчисления тарифов и резервов по страхованию жизни. Однако в последнее время термин все чаще распространяется и на расчеты по другим видам страхования.

Согласно теории риска величина выплаты по конкретному договору страхования представляет собой случайную величину. Следовательно, сумма выплат по всем договорам также будет величиной случайной: она может принять любое значение из диапазона от нуля до максимально возможной суммы выплат, равной совокупной страховой сумме по всем договорам. Если страховщик хочет обеспечить 100%-ную гарантию того, что сумма нетто-премий превысит сумму выплат, он должен сформировать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы (в этом случае нетто-премия по каждому договору равна страховой сумме). В результате страхователь с учетом нагрузки должен был бы заплатить больше, чем может получить при наступлении страхового случая. Разумеется, такие условия неприемлемы, поэтому при расчете страховых премий страховщики вынуждены принимать гарантию безопасности меньше 100%, хотя и достаточно близкую к ней. На практике величина гарантии безопасности колеблется в пределах от 85 до 99,9%.

Исходное неравенство для определения величины нетто-премий можно записать следующим образом:

Вероятность {Сумма выплат < Сумма нетто-премий} ≥ γ, (3.13)

Где γ - заданная страховщиком величина гарантии безопасности.

Сумма выплат представляет собой сумму отдельных случайных величин - выплат по договорам страхования. Возможность наступления страхового случая по одному договору не зависит, за редким исключением, от выплат по другим договорам. Иными словами, мы имеем дело с независимыми случайными величинами. Согласно центральной предельной теореме сумма большого числа независимых случайных величин при соблюдении определенных условий распределена по нормальному закону (распределения Гаусса). На основе характеристик каждой случайной величины теория вероятностей позволяет оценить параметры распределения их суммы. Зная закон распределения и его параметры, можно решить исходное неравенство и найти необходимую величину страхового фонда. Величина нетто-премии определяется исходя из требуемого размера фонда.

Выплаты осуществляются из страхового фонда, формируемого из нетто-премий. Следовательно, величина нетто-премий должна отражать риск, который представляет собой данный договор для страховщика. Количественно риск оценивается через вероятную величину выплаты (от нуля до максимально возможной выплаты по данному договору). Максимально возможная выплата по определению равна страховой сумме.

Если по договору страхования предусмотрена ответственность страховщика на случай наступления разного рода событий, т. е. одновременно предоставляются несколько видов гарантий, то нетто-премия по такому договору будет определяться как сумма нетто-премий по всем включенным видам гарантий.

Ожидаемую величину выплаты, а следовательно, и нетто-премию, можно выразить как произведение страховой суммы на коэффициент, отражающий степень риска страховщика. Он называется нетто-тарифом, или нетто-ставкой.

На размер нетто-ставки влияют:

вероятность наступления страхового случая по данному договору;
ожидаемая тяжесть страхового случая (т. е. отношение ожидаемой величины выплаты по страховому случаю к страховой сумме по данному договору).

Чаще всего нетто-ставка выражается в процентах от страховой суммы либо в рублях со 100 руб. страховой суммы.

Например: Т n = 10 руб. со 100 руб. страховой суммы, S = 100 000 руб., следовательно:

P n = 10 × (100 000: 100) = 10 000 руб.

Если нетто-ставка выражена в процентах, то формулу для расчета нетто-премии можно записать следующим образом:

Р n = S × T n

(3.14)

где Р n - нетто-премия, руб.;

S - страховая сумма, руб.;

T n - нетто-тариф, %.

Части страховой премии, уплачиваемые поэтапно, называются страховыми взносами, поэтому часто страховую премию отождествляют со страховыми взносами, или страховыми платежами.

Величина страховой суммы определяется соглашением страхователя со страховщиком. При страховании имущества или предпринимательского риска, страховая сумма не должна превышать их действительной стоимости (страховой стоимости). В договорах личного страхования и договорах страхования гражданской ответственности при добровольном страховании страховая сумма определяется сторонами по их усмотрению. В случае обязательного страхования страховая сумма устанавливается законом.

Нетто-премия представляет собой основную часть брутто-премии. По аналогии с ней брутто-премию тоже удобно представлять как произведение страховой суммы на страховой тариф, или тарифную ставку. Тарифная ставка, определяющая величину всего страхового взноса, называется брутто-ставкой и представляет собой платеж со 100 руб. страховой суммы или процентную ставку от страховой суммы:

Р b = S × T b

(3.15)

где Р b - страховая брутто-премия, руб.;

Т b - брутто-ставка, %;

S - страховая сумма, руб.

Брутто-ставка имеет ту же структуру, что и страховая премия. Она состоит из уже упомянутой нетто-ставки, которая определяет величину нетто-премии, и нагрузки, отражающей долю расходов страховщика в страховой премии.

Договор страхования представляет собой двустороннюю сделку, согласно которой страхователь уплачивает страховой взнос, а страховщик обязуется выплатить страховую сумму при наступлении указанных в договоре событий. Страховая премия - цена этой сделки, и с точки зрения определения ее величины необходимо подчеркнуть следующее: она уплачивается в начале договора страхования, а выплата страховой суммы, как правило, происходит через некоторое время (если вообще имеет место ). События, в случае наступления которых страховщик обещает выплатить страховую сумму, могут носить только случайный характер.

Величина премии должна быть достаточной, чтобы:

покрыть ожидаемые претензии в течение страхового периода;
создать страховые резервы;
покрыть издержки страховой организации на ведение дел;
обеспечить определенный размер прибыли.

Ситуация, когда оплата услуги производится заранее, до ее предоставления, представляет собой обратный ("перевернутый") экономический цикл. Такой порядок действий имеет место в страховании. Обратный экономический цикл в страховании существенно затрудняет расчет страховых премий и служит причиной появления математических резервов.

Когда товар изготавливается на заказ и его оплата осуществляется заранее, то производитель может достаточно точно рассчитать себестоимость товара и установить цену, гарантирующую безубыточность подобной операции . Отклонения в себестоимости изделия могут произойти только в результате внезапного изменения цен на сырье и комплектующие. В стабильной экономике случаи резкого изменения цен встречаются не часто, а возможные небольшие отклонения можно учесть при формировании цены или при согласовании заказа. Кроме того, в подобных сделках оговаривается конкретное время, когда товар должен быть поставлен заказчику. Иными словами, степень неопределенности относительно себестоимости товара и сроков доставки мала, и, следовательно, при расчете цены можно оперировать детерминированными величинами.

Совсем другая ситуация складывается в страховании. Чтобы договор мог считаться договором страхования, необходимо присутствие в нем элемента случайности. В результате страховщик в момент заключения договора, как правило, не знает, произойдет ли страховой случай по данному договору вообще, и если произойдет, то когда именно в течение срока страхования, и в каком размере наступит ущерб . Элемент случайности должен существовать как для страхователя, так и для страховщика.

На практике в договоре страхования могут присутствовать следующие случайные факторы:

возможность наступления страхового случая (рисковые виды страхования, срочное страхование на случай смерти);
возможность невыполнения страхователями своих финансовых обязательств перед страховщиком;
момент наступления страхового случая (пожизненное страхование на случай смерти);
величина ущерба (все виды страхования, носящие компенсационный характер).

В итоге страховщик в момент заключения договора страхования не знает ни реальной "себестоимости" услуги, ни точного момента ее предоставления. Степень неопределенности очень велика, и добиться равновесной цены в пределах одной сделки невозможно. Необходимо иметь совокупность похожих договоров страхования. Только в этом случае при расчете премий можно использовать средние значения и достичь финансового равновесия в пределах всей совокупности. Чем больше объем совокупности, тем точнее определяются условия финансового равновесия.

Исторически понятие "актуарные расчеты" использовалось только для определения совокупности методов исчисления тарифов и резервов по страхованию жизни. Однако в последнее время термин все чаще распространяется и на расчеты по другим видам страхования.

Исходное неравенство для определения величины нетто-премий можно записать следующим образом:

Вероятность {Сумма выплат < Сумма нетто-премий} >= y, (3.13)

Ожидаемую величину выплаты, а следовательно, и нетто-премию, можно выразить как произведение страховой суммы на коэффициент, отражающий степень риска страховщика. Он называется нетто-тарифом, или нетто-ставкой.

На размер нетто-ставки влияют:

вероятность наступления страхового случая по данному договору;
ожидаемая тяжесть страхового случая (т. е. отношение ожидаемой величины выплаты по страховому случаю к страховой сумме по данному договору).

Чаще всего нетто-ставка выражается в процентах от страховой суммы либо в рублях со 100 руб. страховой суммы.

Например: Т n = 10 руб. со 100 руб. страховой суммы, S = 100 000 руб., следовательно:

P n = 10 x (100 000: 100) = 10 000 руб.

Р n = S x100

(3.14)

где	Р n	-	нетто-премия, руб.;
	S	-	страховая сумма, руб.;
	T n	-	нетто-тариф, %.

Нетто-премия представляет собой основную часть брутто-премии.

Общие принципы расчета нетто и брутто-ставки

n1.doc

Популярное