Простой процент
:
,
где P
– первоначальный капитал, j –
t
– срок депозита (в годах), I –
называется наращенной суммой
(S). Итак, 
FV
. Коэффициент наращения
a
.) 
. -
S
, обозначают PV=
d
. Итак, 
.
Сложный процент: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.
Процент называется сложным,
когда после начисления процента начальный капитал вместе с наросшим процентом снова кладется на счет в банке, в следующем периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но также и с процента, наросшего в первом периоде. Наращенная сумма
, 
. Время между двумя последовательными капитализациями (начислениями) процента называется периодом капитализации процента 
,m- число капитализаций процента в течение года. Коэффициент наращения
a
(показывающий наращенную сумму в расчёте на одну денежную единицу первоначального капитала), находится по формуле: . Текущая стоимость
– это первоначальный капитал, обеспечивающий заданную наращенную сумму. 
. Коэффициент дисконтирования
d
(показывающий текущую стоимость в расчете на одну денежную единицу наращенной суммы). 
.
Смешанный метод начисления процентов при нецелом числе периодов капитализации: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.
В соответствии со смешанным методом, вначале нужно найти наращенную сумму для целого числа периодов капитализации в сроке депозита. (Здесь через обозначен срок депозита, выраженный в периодах капитализации. Заметим, что 
.) Эта сумма находится по формуле для сложного процента: 
. Затем, для оставшейся дробной части срока депозита начисляется простой процент с капитала (наросшего за целое число периодов капитализации ). Заметим, что периода капитализации – это года. Следовательно, к концу срока депозита наращенная сумма составит: 
. Учитывая, что , формулу можно также записать в виде: .
Общий метод начисления процентов при нецелом числе периодов капитализации: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.
В соответствии с общим методом, наращенная сумма ищется по формуле 
,где- S наращенная сумма, Р- первоначальный капитал, ,m- число капитализаций процента в течение года.
Эквивалентные процентные ставки: экономический смысл, критерий эквивалентности.
Две номинальные годовые процентные ставки и (с числом капитализаций процента в году и , соответственно) называются эквивалентными, если при одном и том же начальном капитале они обеспечивают одинаковый процент за равные промежутки времени. При конечных и условие эквивалентности номинальных годовых процентных ставок и запишется следующим образом: 
, в случае, если 
, 
условие эквивалентности имеет вид: 
.
Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени: экономический смысл и нахождение.
Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
будем понимать количество денег, которое обеспечивается заданной последовательностью платежей в момент времени . 
,(10) где r – эффективная процентная ставка для периодов времени, в которых выражены сроки платежей 
.
Простой процент: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.
Простой процент
определяется как произведение капитала, процентной ставки и времени:
,
где P
– первоначальный капитал, j –
номинальная годовая процентная ставка, t
– срок депозита (в годах), I –
простой процент (в денежном выражении). Сумма первоначального капитала и наросшего процента называется наращенной суммой
(S). Итак, . Наращенную сумму часто обозначают FV
. Коэффициент наращения
показывает наращенную сумму в расчете на одну денежную единицу первоначального капитала (a
.) .Приведенной (текущей) стоимость
-
первоначальный капитал, обеспечивающий наращенную сумму S
, обозначают PV=
Коэффициентом дисконтирования показывает текущую стоимость одной денежной единицы наращенной суммы, т.е. то количество денег, которое нужно положить на счет в настоящий момент времени для того, чтобы обеспечить одну денежную единицу наращенной суммы. Обозначаем буквой d
. Итак, .
Тема: Математические основы финансового менеджмента
Вопросы:
Способы начисления процентов
Сущность простых и сложных процентов
Методы оценки аннуитетов
Ответы:
1.Способы начисления процентов
Процента – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Наращение первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (дохода).
Коэффициент наращения – это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты.
Существует 2 способа определения и начисления процентов:
Дискурсивный способ начисления процентов – проценты начисляются в конце каждого интервала, хи величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала, дискурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного, за определённый интервал, дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипотивный способ начисления процентов – проценты начисляются в начале каждого интервала, сумма процентных денег определяется исходя из наращенной сумме. Процентной ставкой будет, выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый период к величине наращённое суммы, полученной по прошествии этого интервала.
В мировой практике дискурсивный способ наращения процентов получил наибольшее распространение, а антисипотивный способ наращения процентов рассматривается как банковское дисконтирования или банковский учёт векселей, и обычно применяется в периоды высоких темпов инфляции.
2.Сущность простых и сложных процентов
Известны 2 основные схемы дискретного начисления процентов:
Схема простых процентов предполагает неизменность базы с которой происходит исчисление. Процесс дисконтирования по схеме простых процентов определяется по формуле:
Схема сложных процентов предполагает изменность за счёт капитализации процентов начисленных но не выплаченных к основной сумме. Наращение сложных процентов:
Мультиплицирующий множитель в процессе наращения для определения бедующей стоимости, его значения табулированы.
Процесс в котором заданы исходная сумма и ставка называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения.
Процесс в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка называется процессом дисконтирования , искомая величина – приведённой суммой , а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.
Процесс дисконтирования по простым процента осуществляется по формуле:
Процесс дисконтирования по схеме сложных процентов осуществляется по формуле:
Дисконтирующий множитель ля определения настоящей суммы, его значения табулированы.
4.Методы оценки аннуитетов
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определённого количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Примеры аннуитетов: пенсионный фонд, погашение заёмщиком кредита.
Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения задач:
Прямой – т.е. производится оценка с позиции будущего и реализуется схема наращения (Схема наращения аннуитета постнумерандо.
А-сумма аннуитета
FM3(i;n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета в процессе наращения, значения так же табулированы
Схема наращения для аннуитета пренумеранда реализуется по формуле
FV=A*FM3(i;n)*(1+i)
Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего, реализуется схема дисконтирования.
Процесс дисконтирования для аннуитета постнумеранда осуществляется по формуле
A*FM4(i;n) –дисконтирующий множитель для аннуитета, его значения так же табулированы.
Процент дисконтирования для пренумерендо: =A*FM4(i;n)*(1+i)
В случае когда требуется оценить интегральный эффект какой-либо операции по наращению со сложной внутренней структурой (изменение значения ставок, периодов начисления процентов и прочее) удобно использовать понятие эффективной ставки. Принято, что эффективная ставка j является сложной.
Так, например, определим эффективную ставку для операции представляющей собой случай неоднократного начисления процентов за период, на котором определена ставка начисления (3.5). Приравняв выражения для получения результатов наращения для рассматриваемой операции (3.5) и выражение для наращенной суммы для сложных процентов (3.1), полагая фигурирующую в (3.1) ставку эффективной j,
S = P ´ (1 + j ) n = P ´ (1 + i c /m ) m ´ n ,
т.е. приводящей к такому же результату наращения. Ее величина определяется для данного примера выражением
j = (1 + i c /m ) m ´ n – 1.
Следует отметить, что данное выражение для значения эффективной ставки наращения сложных процентов справедливо только для рассмотренного случая (m раз начисления сложных процентов на периоде), а в каждом ином случае, при определении эффективной ставки для другой финансовой операции выражение для ее определения будет другим.
В общем случае, для произвольной финансовой операции выражение для определения эффективной ставки начисления сложных процентов имеет вид
j = (S /P ) 1/n – 1, (3.9)
P – исходная сумма рассматриваемой операции наращения;
S – результирующая сумма рассматриваемой операции наращения, величина n ´ T определяет срок рассматриваемой операции наращения;
n – количество периодов T рассматриваемой операции наращения;
T – период на котором определена эффективная ставка j .
Выражением (3.9) удобно пользоваться для общей оценки эффективности различного рода финансовых операций, для которых подробности и детали их проведения остаются недоступны, то есть оценка в режиме «черного ящика». Формула (3.9) требует только входных данных (P ) и результирующих данных (S ) при этом определяется основной параметр оценки финансовых операций – эффективная ставка, характеризующая доходность данной операции.
ПРИМЕР 1. Определить эффективную ставку работы предприятия вложившего в бизнес 150 000 руб. и получившее отдачу от вложения в размере 250 000 руб. через два года.
Решение : Исходная сумма средств Р = 150 000 руб., наращенная сумма S = 250 000 руб. срок n = 2 года. Воспользуемся выражением (3.9) j = (250 000/150 000) 1/2 – 1 = 1,29 – 1 = 0,29 (j = 29%).
ПРИМЕР 2. Определить эффективную ставку для пятилетнего депозита, на втором году которого простая ставка 10% увеличивается в два раза.
Решение : Первоначальную сумму обозначим как P . Наращенная сумма за пять лет S = P + I 1 + I 2 = P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3). Тогда j = (P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3)/P ) 1/5 – 1 = 1,0985 – 1 = 0,0985 (j = 8,95%).
ПРИМЕР 3. Определить эффективную ставку операции покупки векселя за четыре года до погашения, с простой учетной ставкой 10%.
Решение: Цена покупки в данном случае является исходной сумме P = S (1 – 0,1 ´ 4), S – номинал векселя – наращенная сумма. Тогда, согласно (3.9), эффективная ставка будет равна j = (S /S ´ (1 – 0,1 ´ 4)) 1/4 – 1 = 0,1362 (j = 13,62%).
Упражнения
1. Найти величину депозита в 14 000 руб. при ставке сложных процентов i c = 10% за 6 лет? Овет:24 801,85 руб.
2. При какой ставке сложных процентов i c деньги удваиваются через 12 лет? Овет: 5,94%.
3. Чему равно значение сложной процентной ставки, если 10 млн руб. возросли до 25 млн руб. за 7 лет? Овет: 25,84%.
4. При заданной ставке сложных процентов 10 млн руб. прирастают до 15 млн руб. за 10 лет. Какой будет наращенная сумма в конце 6 года? Овет:12754245,01 руб.
5. Облигация стоит 1 875 руб. и по ней выплачивается 2 500 руб. через 8 лет. Какая ставка сложных процентов обеспечит этот рост? Овет: 3,66%.
6. Найти годовую эффективную процентную ставку (норму), соответствующую ставке1,5%, при ежемесячной капитализации процентов. Овет:1,51%.
7. Сумма денег инвестируется при ставке i c = 10%на один год с квартальной капитализацией. Какая ставка простых процентов накопила бы такую же сумму в конце первого года? Овет: 10,38%.
8. 10 млн руб. инвестируются на 5 лет при норме i c = 5% с ежегодным увеличением процентной ставки на 0,5%. Какая эффективная ставка j накопит равную сумму за то же самое время? Овет:5,99%.
9. Клиент поместил на депозитный счет 1 000 000 руб. на 3 года при ставке сложных процентов 1,7% годовых. Определить доход от капитализации процентов к концу срока. Овет:870 руб.
10. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 3 000 000 руб. на срок с 5.01.2003 г. до 20.03.2005 г. при ставке сложных процентов 15% годовых. Смешанным способом рассчитать проценты за пользование кредитом, используя схему 365/365. Ответ: 1059965,55 руб.
11. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 6 700 000 руб. на срок с 15.06.2004 г. до 23.09.2005 г. при ставке сложных процентов 5% годовых с ежеквартальным начислением. Рассчитать проценты, начисленные за предоставление кредита, используя схему 365/360. Ответ: 444076 руб.
12. Выдан кредит на сумму 30 000 руб. сроком с 15.01.2005 г. до 20.03.2007 г. при ставке сложных процентов 12% годовых. Рассчитать коэффициент наращения, используя схему 360/360. Ответ: 1,27.
13. Банк выдал кредит 50 000 руб. В договоре в первые полгода указана сложная ставка 20% годовых, каждые полгода ставка увеличивается на 3%, срок договора 2 года. Определить наращенную сумму за весь срок кредита. Ответ: 77444,98 руб.
14. В кредитном договоре указана сложная ставка 20% годовых, каждые два года ставка увеличивается на 1,5%, срок договора 10 лет. Определить коэффициент наращения по операции. Ответ: 4,98.
15. По окончании договора, через 90 дней после его подписания должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит был выдан под простую ставку 30% годовых. Какова величина кредита? Ответ: 931121,45 руб.
16. Что больше – доход от капитализации процентов или величина депозита при сложной ставке 19% за 8 лет? Ответ: больше доход от капитализации процентов.
1. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег.
2. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения.
3. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения.
4. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения.
5. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени.
6. Понятие эффективной ставки наращения. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде.
Похожая информация.
Цели занятия :
Изучить формулу сложных процентов, сравнить графики зависимостей, выражающих простые и сложные проценты, способствовать формированию навыков решения практических задач по теме;
Воспитывать интерес к знаниям, способствовать профессиональному самоопределению.
Раздаточный материал : таблица «Коэффициенты наращения сложных процентов» (приложение 1), печатные формулы простых и сложных процентов, заготовка для графика.
Ход урока
Защита домашнего задания.
Простые проценты
Обязательная задача (текст заготовлен на доске). Предприятие располагает собственным капиталом в 100 млн. руб. и берет в банке взаймы под 10% годовых еще 50 млн. руб. Норма прибыли предприятия (рентабельность производства) составляет 30%. Чему равен доход предприятия за год работы?
Решение . 1) 100 + 50 = 150 млн. руб. - общий капитал;
2) 150·0,3 = 45 млн. руб. - полученная прибыль на 150 млн. руб.;
3) 50·0,1 = 5 млн. руб. - выплата за ссуду;
4) 45 – 5 = 40 млн. руб. - доход предприятия.
Ответ : 40 млн. руб.
Кроме обязательной задачи, учащимся было предложено творческое задание : составить задачи с использованием различных источников информации.
1. По итогам деятельности разреза «Нерюнгринский» за 2007 г.:
* Почва или порода, расположенные на поверхности месторождения полезного ископаемого, которые необходимо удалить для того, чтобы начать разрабатывать само месторождение.
Определить, на сколько процентов перевыполнен план.
2. По работе системы образования (по материалам газеты «Час досуга»). На 01.09.2007 года в школах Нерюнгринского района 10,5% педагогов имели высшую категорию и 32,5% имели 1-ю категорию.
Вычислим, какой процент учителей нашей школы имеет высшую, а какой - 1-ю категорию. Сравним с данными по району.
Всего в СОШ № 18 - 65 педагогов.
7: 65·100 = 10,7%.
15: 65·100 = 23,1%.
Получается, что в нашей школе преподавателей высшей категории примерно столько же, сколько в среднем по району, а учителей 1-й категории меньше, чем в районе.
3. Работа администрации города с письмами граждан. В газете «Индустрия Севера» за 16 января 2007 года помещен материал о пресс-конференции главы муниципального образования «Нерюнгринский район» В.В. Старцева с представителями городских и республиканских СМИ, в котором, в частности, сказано: «За минувший год к главе администрации поступило 681 письменное обращение. Все они рассмотрены, 50% решены положительно, в 175 случаях отказано, по 138 дано разъяснение. По поводу зарплаты в 2006 г. к главе обращались 32 раза, а в 2007-м - 21 раз». Выясним, на сколько процентов обращений к главе администрации по поводу зарплаты в 2006 г. было больше, чем в 2007 г.?
Решение . 32 - число обращений в 2006 году (В ); 21 - число обращений в 2007 году (А ). Найти, на сколько процентов В больше А .
Воспользуемся формулой
Итак, в 2006 г. к главе администрации поступило на 52,4% обращений больше, чем в 2007 г.
Изучение нового материала.Сложные проценты
Почему в 2007 году писем по поводу заработной платы в администрацию города поступило на 53% меньше, чем в 2006 году?
(Учащиеся выдвигают предположения. )
Каждое высказанное предположение может быть верным, а может быть и ложным. Для того чтобы узнать истинную причину, нам, видимо, на данный момент недостаточно информации. Чтобы полностью владеть ситуацией, необходимо быть хорошо информированным по существу вопроса.
На предыдущих занятиях мы с вами рассматривали задачи на проценты, задачи на простые проценты, но этим не исчерпывается применение процентов в экономике, и сегодня мы расширяем свои знания в этой области. Тема нашего занятия: «Сложные проценты».
Рассмотрим задачу .
Пусть банк выплачивает по сберегательному вкладу простые проценты по ставке i в год, причем эта ставка остается неизменной в течение двух лет. Как выгоднее поступить вкладчику?
Вспомним формулу вычисления простых процентов:
S n = S 0 (1 + in )
1 + in = Q ,
где Q - коэффициент наращения по простым процентам.
1-й способ . Если вкладчик закроет счет через год, то он получит сумму
S 1 = S 0 (1 + i ).
Допустим, что он положит эту сумму еще на один год на тех же условиях, тогда он получит:
S 2 = S 1 (1 + i ) = S 0 (1+ i ) 2 .
2-й способ . Если он не переоформит свой вклад, то согласно формуле простых процентов получит за два года:
S 2 = S 0 (1 + 2 i ).
Равны ли эти суммы? Сравним их:
S 0 (1 + i ) 2 – S 0 (1 + 2i ) = S 0 (1 + 2i + i 2 –1 – 2i ) = S 0 i 2 .
Так какой же способ выгоднее для вкладчика?
Первый способ, так как вкладчик получает при этом на S 0 i 2 больше.
Величина S 0 i 2 - приращение на проценты, полученные за первый год, или так называемые «проценты на проценты».
Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов, в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты. Исходная сумма, или база (S 0), для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом начисления (в нашей задаче это 1 год), а для простых процентов база постоянна.
Запишем в словари.
Капитализацией процентов называется присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления.
Выведем формулу расчета наращенной суммы S n с годовой процентной ставкой i при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год.
(К доске вызывается ученик для вывода формулы.)
S
1 = S
0 + S
0 i
= S
0 (1 + i
);
S
2 = S
1 + S
1 i
= S
1 (1 + i
) = S
0 (1 + i
) 2 ;
S
3 = S
0 (1 + i
) 3 ;
.. . . . . . . . . . . . .
S n
= S
0 (1 + i
) n
.
Мы получили формулу сложных процентов , где S n - наращенная сумма через n лет,
S 0 - базовая сумма,
i - процентная ставка по сложным процентам,
n - число периодов наращения.
Эта формула является геометрической прогрессией со знаменателем q = 1 + i .
Пример 1. Вы положили в банк 10 тыс. руб. на срочный вклад при сложной процентной ставке 10% годовых. Сколько денег вы получите через два года?
Дано : S 0 = 10 000 руб., i = 0,1, n = 2.
Найти : S 2 .
Решение . S 2 = S 0 (1 + i ) 2 ;
S 2 = 10 000(1 + 0,1) 2 = 10 000·1,21 =12 100 руб.
Ответ : 12 100 руб.
Для начисления сложных процентов в банках используют «Таблицы коэффициентов наращения по сложным процентам», рассмотрим их (таблицы имеются на столах у учащихся; см. образец).
Найдем отношение
где Q c - коэффициент наращения по сложным процентам; тогда
S n = S 0 Q c .
Пример 2 . Назовите по таблице коэффициент наращения по ставке:
а) 15% годовых для n = 4 [Q c = 1,7490];
б) 8% годовых для n =5 [Q c = 1,4693].
Пример 3 . (Выполняется письменно. )Вкладчик открыл счет в сбербанке на сумму 15 000 руб. с годовой процентной ставкой, равной 8%. Какую сумму он будет иметь на счете через 3 года? через 5 лет?Решение . 1) Найдем Q с по таблице: Q c = 1,2567:
15 000·1,2597 = 18 895,5 руб.
2) Найдем Q с по таблице: Q c = 1,4693;
15 000·1,4693 = 22 039,5 руб.
Самостоятельная работа с последующей самопроверкой
Заполните таблицу (столбец S n закрыт до самопроверки):
| S 0 , тыс. руб. | i , % | S n , тыс. руб. | ||
Графики коэффициентов наращения по простым и сложным процентам
Сравните коэффициенты наращения по простым и сложным процентам при i = 18% годовых. Заполните таблицу и постройте график зависимости Q и Q с от n. (Учащиеся работают в парах. )
| Q = 1 + in | |||||
| Q c = (1 + i) n |
Какой совет вкладчикам банка вы можете дать, проанализировав взаимное расположение графиков?
Наращение по сложным процентам выгоднее для вкладчиков.
Пример из классической литературы
Михаил Евграфович Салтыков-Щедрин описывает в романе «Господа Голавлевы» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой “на зубок” 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей...»
Задание . Попробуйте по приведенным цифрам вычислить процентную ставку, которую платил ломбард в то время по вкладам. Возраст Порфирия в момент расчетов примем равным пятидесяти годам.
Решение . Пусть ставка равна x %, тогда
S 50 =100(1 + x ), 800 =100(1 + x ) n , x ≈ 3,9.
Итак, в то время ломбард платил 3,9% годовых.
Задание на дом
Что выгоднее: заплатить за учебу в вузе 10 000 у.е. в начале обучения или 15 000 у.е. по окончании учебы (через 5 лет). Процентная ставка равна 10% годовых.
Практическое задание . Посетите операционный зал сбербанка и выпишите:
Виды вкладов;
Годовые процентные ставки по ним;
Срок наращения;
Минимальный взнос.
Составьте задачу и решите ее.
Приложение 1
Коэффициенты наращения сложных процентов
|
Ставка процентов |
Количество сроков нарастания |
||||||