Сложным процентом принято называть эффект, возникающий при накоплении прибыли и процентов, в результате чего выплаты по процентам возрастают по экспоненциальному графику. Большинство современных банков принимают клиентов именно под сложные проценты, что, несомненно, выгодно для вкладчика. Важность открытия сложных процентов оценил даже сам Эйнштейн, назвав их главной «движущей силой в мире».
Для того чтобы лучше разобраться, что представляют собой сложные проценты, необходимо перейти к примерам с расчетами.
Как рассчитывается сложный процент?
Для расчета применяется простая формула:
В формуле под SUM понимается окончательная сумма расчета с клиентом, под Х –сумма вложения, под n – количество расчетных периодов. На графике можно увидеть, что подразумевается под экспоненциальным возрастанием суммы:
Для банковских вкладов формула немного сложнее, так как вводится новый элемент уравнения – :
Так, нам нужно знать частоту капитализации. Под капитализацией понимается перерасчет суммы, на которую начисляются проценты – к базовой сумме добавляется , начисленная за последний период. Если перерасчет происходит ежемесячно, частота капитализации (в нашей формуле это D) составляет 30 дней, если раз в квартал – 90 дней.
Остальные незнакомые показатели в формуле расчета банковского сложного процента – это Y – количество дней в году (365 или 366) и P – процентная ставка. Весь блок значений после единицы под скобкой называется коэффициентом процентной ставки .
Рассмотрим пример:
Гражданин И вкладывает 100000 рублей под 15% годовых с ежемесячной капитализацией. Какую сумму он сможет получить через 8 лет:
А) с простого процента?
Б) со сложного процента?
Так, рассчитываем сначала простой процент. 15% от 100000 рублей составляет 15000 рублей. Если 15 тыс. рублей умножить на 8, то получится прибыль с вклада в 120 тыс. рублей. Таким образом, через 8 лет гражданин И сможет снять 220 тыс. рублей.
Для расчета сложного процента подставляем данные в формулу:
Результат расчетов должен неприятно удивить – прибыль составит те же 120 тыс. рублей. Тогда попробуем рассчитать сумму при ежегодной капитализации, а не при ежемесячной:
Мы получим результат, который удовлетворит нас гораздо больше – 306 тыс. прибыли. Делаем вывод: чем реже происходит капитализация, тем выше будет прибыль. Проценты начисляются ежегодно таким образом:
|
Простой (прибыль + сумма) |
Сложный (прибыль + сумма) |
|
Видно, что под сложным процентом растут словно снежный ком. Чем дольше вкладчик не будет их снимать, тем больше будет его прибыль от месяца к месяцу.
Другие полезные формулы
Для расчетов по вкладам могут пригодиться и другие формулы:
- Процентная ставка . Формула показывает, под какой процент нужно внести средства, чтобы получить желаемый результат.
Все показатели нам известны, поэтому попробуем сразу решить пример:
Под какой процент нужно положить 10000 рублей, чтобы через 15 лет получить 80000 рублей?
Понятно, что нужно положить деньги под 15% годовых.
- Количество периодов . Формула показывает, на какое количество процентных периодов нужно внести средства, чтобы достичь желаемого результата:
Опять-такие пробуем решить пример:
На сколько времени нужно внести деньги под 20% годовых в размере 150000 тыс. рублей, чтобы получить 1 млн. рублей?
Нужно внести средства на 10 лет.
Выгода банковского вклада оценивается не только по процентной ставке. Большое влияние на доходность депозита оказывает способ начисления процентов. В финансовой сфере существует понятие простого и сложного процента. Когда применяется тот или иной метод расчета? Как осуществляется начисление процентов по каждому способу? И какой метод выгоднее для вкладчика?
Понятие простых процентов и как они рассчитываются
Простые проценты – это проценты,начисляющиеся лишь на первоначальную величину вклада, независимо от количества периодов и их продолжительности. Они считаются один раз по окончанию срока депозита. Это обозначает, что сумма процентов за предыдущий период не учитывается при расчете в следующем.Метод расчета простых процентов основан на принципе наращения денег по арифметической прогрессии. Допустим, инвестор в начале года положил в банк на сумму 100 000 руб. под 10% годовых:
- через год он получит сумму, равную первоначально внесенным деньгам плюс начисленные проценты: 100 000 + 10 000 (чтобы высчитать процент нужно сумму вклада умножить на ставку и разделить на 100) = 110 000 (руб.);
- через 2 года сумма составит: 100 000 + (10 000 х 2) = 120 000 (руб.);
- через N лет вкладчик получит: 100 000 + (10 000 х N).
Поскольку банки указывают ставку за год, то чтобы определить доход за другой период (к примеру, 3 месяца), применяя простую ставку процентов, формула будет такой:
S = (P x I x Т / K) / 100, где:
S – сумма насчитанных процентов (руб.);
P – начальная сумма вложенных средств;
I – процентная ставка за год;
Т – срок действия вклада в днях;
K – число дней в году.
То есть при вкладе 100 000 руб. на 3 месяца под 10%
годовыхвычисление простых процентовбудет выполняться так:(100 000 х 10 х 92 / 365) / 100 = 2520,55 (руб.).
Получается, что в конце срока вкладчик получит на руки внесенные 100 000 руб. плюс 2520,55 руб. дохода, т.е. 102 520,55 руб.
Чтобы более наглядно продемонстрировать разницу по использованию простой схемы начисления процентов и сложной, данные занесены в таблицу:
При подсчете коэффициентов использовалась ежегодная капитализация процентов. Из таблицы видно, что:
- если срок вклада меньше года, то множитель, рассчитанный по формуле простых процентов, получается больше. Это даст возможность вкладчику получить больший доход, чем при использовании сложных процентов;
- когда период вклада составляет 1 год – величина коэффициентов сравнивается и является одинаковой. Это говорит о том, что доход с ежегодной капитализацией при начислении по простым процентам и сложным будет равный;
- если срок депозита более года, то коэффициент наращения по сложным процентам выше, чем при использовании обыкновенного простого процента.
Составив аналогичную таблицу
с учетом проведения ежеквартальной капитализации, можно увидеть, что доход
будет одинаков при вкладе на квартал. При более коротких депозитах (на месяц
или два) больший доход будет получаться по простым процентам. При вкладах на
срок более квартала, наоборот, выгоднее будут сложные проценты.
Этот принцип определения доходности вклада зависимо от метода вычисления процентов сохраняется и при расчетах на месяц. Подведя итог, можно сказать, что применение сложного процента выгодно, если период вклада превышает период капитализации. Иначе говоря:
- при ежегодной капитализации оформление депозита выгодно, если срок его действия больше года;
- с применением ежеквартальной капитализации сложные проценты будут выгодными только тогда, когда срок действия депозита больше 3 месяцев;
Если срок депозита меньше, чем периодичность проведения капитализации, то расчет простых процентов по вкладам получится выгоднее.
- При заключении договора помните, что банками в документах не практикуется выражение «простые» или «сложные» проценты. В договоре зачастую пишется фраза «проценты насчитываются в конце срока». А при использовании капитализации указывается, что проценты высчитываются раз в год, квартал или месяц.
- При оформлении вклада на длительный срок может возникнуть необходимость досрочного снятия денег по той или иной причине. Вклады с возможностью досрочного снятия всегда имеют более низкую ставку. В подобных случаях выигрышным может оказаться краткосрочный вклад с возможной пролонгацией и использованием сложного процента. Доход по такому вкладу может получиться больше, даже если процентная ставка по такому депозиту немного ниже.
- Быстро и точно высчитать доходность вклада можно посредством онлайн-калькулятора. Для этого после введения необходимых данных нужно поставить галочку в окне «капитализация» и выбрать период ее проведения (год, квартал или месяц).
Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.
Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.
Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.
Формула сложного процента (расчет в годах)
Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.
Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.
Для расчета сложного процента применяем простую формулу:
- S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
- Р – первоначальная величина вклада;
- n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
- I – годовая процентная ставка.
Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:
через 5 лет
сумма будет равняться 
руб.,
а через 10 лет
она составит 
руб.
Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле
- К – количество дней в текущем году,
- J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).
Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.
На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%
Формула сложного процента (расчет в месяцах)
Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:
где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.
Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.
Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:
через 5 лет (60 месяцев)
сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; 
руб.
а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.
руб.
Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.
Формула сложного процента для банковских вкладов
Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.
Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:
Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:
На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.
Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:
Теперь подставляем данные в основную формулу:
руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;
руб. – за 10 лет*.
*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.
Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.
В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки – i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.
Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.
Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).
Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.
При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле
S = P (1 + i t), (1)
где S – наращенная сумма (стоимость), руб.; P – первоначальная сумма (стоимость), руб.; i – процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t – период начисления процентов.
S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);
ΔР = 11 300 – 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).
Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке – 16 % годовых.
S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, руб.
Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.
В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения , где q – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.
Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:
S = P (1 + i ). (2)
Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11 % годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.
S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, руб.;
ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, руб.
В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 – в високосном году), говорят о точных процентах.
При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором – месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.
Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:
1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;
3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;
4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.
При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.
Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14 % годовых. Определить сумму погашения ссуды.
1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
156=21+28+31+30+31+15;
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 213,3, руб.
2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 205,6, руб.
3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 189,0, руб.
4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 516,7, руб.
Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.
Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.
После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S 2 составит:
S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it) 2 .
Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле
S = P (1 + i t) n , (3)
где i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n – число начислений сложных процентов за весь период.
Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле
Кн = (1 + i t) n , (4)
где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.
Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.
Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.
S = 75 000 (1+ 0,1 · 1) 3 = 99 825, руб.
ΔР = 24 825, руб.
Таким образом, коэффициент наращения составит:
Кн = (1+ 0,1 · 1) 3 = 1,331
Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.
Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.
Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов
Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.
В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (() mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.
Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле
S = P (1+ ) mn , (5)
где i – годовая номинальная ставка, %; (1+ ) mn – коэффициент наращения эффективной ставки; m – число случаев начисления процентов за год; mn – число случаев начисления процентов за период.
S = 20 000 (1+ ) 4·1 = 22 950, руб.
Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.
S = 20 000 (1+ ) 4·3 = 31 279, 1 , руб.
Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.
Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.
I эф = (1+ ) mn – 1 . (6)
Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.
i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.
Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.
Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.
а) i = (1+ ) 4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;
б) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.
Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.
Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.
В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.
Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.
Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n 1 лет она будет равна i 1 , n 2 – i 2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i 1 , i 2 , i n , а при сложных – найти их произведение.
При начислении простых процентов применяется формула
S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)
где i n – ставка простых процентов; t n – продолжительность периода начисления.
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.
S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;
ΔР = 3 150, руб.
При начислении сложных процентов применяется формула
S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)
где i n – ставка сложных процентов; t n – продолжительность периода ее начисления.
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.
S = 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.
Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:
– за первый год: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
ΔР 1 = 1 000, руб.;
– за второй год: S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;
ΔР 2 = 1 050, руб.;
– за третий год: S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;
ΔР 3 = 1 100, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:
ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).
В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:
– в первом году: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
– во втором году: S 2 = 11000 (1+0,105 · 1) = 12 100, руб.;
– в третьем году: S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i 3 = 3 431, руб. (см. пример 10).
При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определение срока операции или уровня процентной ставки.
Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).
Срок ссуды (вклада):
t = · 365 . (9)
Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10 % годовых, чтобы получить 12 000 руб.
t = (
) · 365 = 730 дней (2 года).
Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.
t = (
) = 0,08 = 8 % годовых
Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.
Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.
Начисление процентов — одна из основных операций в экономике и . Самый близкий всем пример — депозит в банке, где вложенные деньги в конце периода возвращаются к владельцу с прибылью.
А что будет, если повторить этот цикл несколько раз ? Тут то и появляется понятие простых и сложных процентов , которым посвящена эта статья.
Инвесторы, которые работают на , сталкиваются с повторным вложением денег (реинвестированием) постоянно. Если банковские депозиты приносят владельцам прибыль через несколько месяцев или даже год, то на валютном рынке прибыль/убыток появляется после каждой сделки.
Поэтому все, кто интересуется , будут регулярно работать с простыми и сложными процентами. Давайте же разберемся, что же означают эти понятия.
Простой процент — прибыль по многоразовым вкладам за каждый период времени всегда начисляется только на первоначальную сумму .
Пример: депозит 5000$ под 20% годовых. По схеме простого процента и в первый, и во второй, и в любой другой год прибыль составит 1000$. Чтобы узнать прибыль за N лет, просто умножьте прибыль за один год на число N.
Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов всегда равна начальной сумме вложений . Это могут быть специальные банковские депозиты, проценты по кредиту. Также простой процент используется, когда инвестор регулярно выводит прибыль — в каждый период времени работает первоначальная сумма.
Сложный процент — проценты по многоразовым вкладам за каждый период начисляются на первоначальную сумму и всю полученную до этого прибыль .
Пример: депозит 5000$ под 20% годовых. В первый год прибыль составит 5000$ * 20% = 1000$, во второй (5000$ + 1000$) * 20% = 1200$, в третий (5000$ +1000$ + 1200$) * 20% = 1440$ и так далее.
Каждый раз, когда инвестор хочет несколько раз «прокрутить» свои деньги через инвестиционный инструмент, он сталкивается со сложным процентом. Полученная прибыль на первом круге реинвестируется и проценты уже начисляются на более крупную сумму.
В инвестициях на рынке Форекс сложный процент используется постоянно, потому что сумма вложений меняется постоянно — фактически после каждой сделки. Многие инвесторы используют тактику «вложил и забыл», оставляя полученную прибыль работать вместе со стартовым вкладом.
Разница между простыми и сложными процентами на первый взгляд кажется не такой уж большой. Но чем больше проходит времени, тем очевиднее становится преимущество сложных процентов:
Простые и сложные проценты на одном графике
Конечно, это всё теория и на практике добиться 30-кратного реинвестирования прибыли совсем непросто. Но факт остаётся фактом — сложные проценты могут сослужить хорошую службу инвестору. И чтобы умело их использовать, нужно правильно их считать, в чём помогут несколько полезных формул.
Формулы сложных процентов по вкладам и примеры решения задач
- начальная сумма вклада (K нулевая или К 0)
- (R) — переводится из процентов в число (10% = 0.1)
- количество периодов реинвестирования, то есть лет (n)
А конечную сумму вклада мы назовем просто K. Её можно рассчитать по формуле:
Конечная сумма при расчёте сложных процентов по вкладу
Пример задачи: Инвестор П. положил на депозит в банке 10000$ под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 5 лет?
Для начала, давайте узнаем конечную сумму вклада по формуле:
K = 10000$ * (1 + 0.1) 5 = 16105.1$
Прибыль (P) — это разница между конечной и стартовой суммой вклада. Считаем:
P = K — К 0 = 16105.1$ — 10000$ = 6105.1$
P (%) = K/К 0 — 1 = 16105.1$ / 10000$— 1= 61.05%
Используя формулу сложных процентов, вы всегда можете предсказать результат инвестирования в будущем. Впрочем, бывают ситуации, когда вам нужно узнать не конечную, а стартовую сумму вклада. Её можно найти по той же формуле сложных процентов по вкладам, но надо немного её изменить:
Формула расчёта сложных процентов для поиска стартовой суммы вклада
Пример задачи: Инвестор В. хочет узнать, сколько ему надо вложить рублей под 20% годовых сейчас, чтобы через 3 года стать рублёвым миллионером.
Используем формулу:
К 0 = 1000000₽ / (1 + 0.2) 3 = 578703.7₽
Кроме суммы вклада, через формулу можно найти и остальные параметры. Например, зная стартовую и конечную сумму, можно узнать процентную ставку или количество периодов реинвестирования.
Начнем с процентной ставки:
Формула расчёта сложных процентов по вкладу для поиска нужной процентной ставки
Пример задачи: Инвестор Р. хочет выяснить, вклад с какой процентной ставкой ему нужен, чтобы заработать 10000$ за 3 года, изначально вложив 20000$.
K = К 0 + P = 20000$ + 10000$ = 30000$
А теперь можно использовать формулу:
R = (30000$ / 20000$) ^ 1/3 — 1 = 14.47%
Чтобы получить такую доходность, банковский депозит не подойдёт, а вот консервативный — вполне.
Расчёт сложных процентов по вкладу — поиск нужного количества периодов реинвестирования
Пример задачи: сколько лет нужно держать деньги на депозите в банке под 25% годовых, чтобы 50000 рублей превратить в 100000?
Подставляем в формулу:
n = log 1+0.25 100000/50000 = 3.11 лет
Кстати, если речь идёт о банке, то 3.11 лет округляются до 4 — вы обычно не можете снять свои деньги до окончания периода действия вклада. Условия конкретного инвестиционного инструмента всегда стоит учитывать при решении подобных задач.
Кроме рассмотренных нами задач существуют и более сложные. Например, довольно распространённая история — у инвестора есть вклад с возможностью пополнения. Часть каждой зарплаты отправляется туда и надо выяснить, какой же будет результат по итогам.
Пример задачи: Инвестор З. вложил 1000$ и откладывает 50$ каждый месяц. Процентная ставка — 1% в месяц. Какая сумма накопится через 5 лет?
Чтобы узнать результат, нужно создать табличку:
Расчёт результатов инвестирования с доливками, с учётом сложных процентов
В первый месяц сумма инвестиций составила 1000$, на неё начислен 1% — итого 1010$. Во второй месяц работают уже 1010$ и еще 50$, которые инвестор внёс дополнительно. Итого — 1070.10. И так далее…
Разумеется, считать эти таблички каждый раз — довольно напряжно, решать логарифмы — тем более. Поэтому специально для вас при помощи программы Microsoft Excel я сделал небольшой файлик для решения задач по сложным процентам.
Многие формулы сложных процентов по вкладам на обычном калькуляторе не посчитаешь — нужно использовать специальные программы или сайты. Microsoft Excel позволяет делать практически любые прикладные расчёты быстро и удобно — всего-то нужно скачать файл и работать с ним.
По формулам из статьи я сделал небольшой калькулятор для расчёта сложных процентов. Вот так выглядит одна из страниц:
Скриншот из калькулятора сложных процентов с капитализацией.
С помощью файла вы сможете решить задачи, которые мы рассматривали по ходу статьи:
- расчёт конечной суммы вклада;
- расчёт начальной суммы вклада;
- расчёт нужной процентной ставки;
- расчёт срока инвестирования;
- расчёт конечной суммы вклада с учётом добавочных вложений или снятия прибыли.
Как получить калькулятор сложных процентов от Вебинвеста? Очень легко — воспользуйтесь формой ниже:
Sp-force-hide { display: none;}.sp-form { display: block; background: #ffffff; padding: 10px; width: 450px; max-width: 100%; border-radius: 0px; -moz-border-radius: 0px; -webkit-border-radius: 0px; border-color: rgba(214, 189, 90, 1); border-style: solid; border-width: 2px; font-family: Arial, "Helvetica Neue", sans-serif; background-repeat: no-repeat; background-position: center; background-size: auto;}.sp-form input { display: inline-block; opacity: 1; visibility: visible;}.sp-form .sp-form-fields-wrapper { margin: 0 auto; width: 430px;}.sp-form .sp-form-control { background: #ffffff; border-color: #cccccc; border-style: solid; border-width: 1px; font-size: 15px; padding-left: 8.75px; padding-right: 8.75px; border-radius: 4px; -moz-border-radius: 4px; -webkit-border-radius: 4px; height: 35px; width: 100%;}.sp-form .sp-field label { color: #444444; font-size: 13px; font-style: normal; font-weight: bold;}.sp-form .sp-button { border-radius: 4px; -moz-border-radius: 4px; -webkit-border-radius: 4px; background-color: #b3901e; color: #ffffff; width: 100%; font-weight: 700; font-style: normal; font-family: Arial, sans-serif; box-shadow: none; -moz-box-shadow: none; -webkit-box-shadow: none; background: linear-gradient(to top, #7f6615 , #ddb432);}.sp-form .sp-button-container { text-align: center; width: auto;}