Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Аспирантура
Рабочая программа дисциплины
Исследование операций в экономике
Специальность: 08.00.05 «Экономика и управление народным хозяйством
(по отраслям и сферам деятельности)»
К. физ. мат..н.,
доцент, профессор МЭБИК
Курск – 2011
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к рабочей программе курса «Исследование операций в экономике»
Программа дисциплины «Исследование операций в экономике» отнесена к блоку факультативных дисциплин основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования специальности 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством.
Исследование операций в экономике – комплексная дисциплина, занимающаяся построением, разработкой и применением математических моделей принятия оптимальных решений. В настоящее время исследование операций является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов прикладной математики, имеющим многочисленные приложения. Развитие исследования операций тесно связано с научно-техническим прогрессом и усложнением техники, со значительным увеличением масштабов мероприятий, проводимых в различных сферах человеческой деятельности, с непропорциональным возрастанием затрат материальных и временных ресурсов на их реализацию; с широким внедрением вычислительной техники и математических методов в сфере управления.
В настоящее время методы исследования операций находят широкое применение в решении самых разнообразных практических задач, начиная от перспективного планирования научных разработок и кончая прогнозированием сферы обслуживания.
Цель курса «Исследование операций в экономике»: способствовать овладению аспирантом методами исследования операций, вооружить его знаниями, умениями и навыками, позволяющими устанавливать связь между строгими математическими исследованиями, с одной стороны, и практическими задачами принятия решений – с другой.
Задачи курса «Исследование операций в экономике»:
способствовать пониманию основных идей, понятий и методов исследования операций;
обучать созданию, анализу и использованию математических моделей задач исследования операций с целью прогнозирования и оптимизации процессов, связанных с различными сферами человеческой деятельности;
демонстрировать практические приложения исследования операций в науке, производстве, управлении, сфере обслуживания, строительстве и т. п.
Для успешного изучения курса «Исследование операций в экономике» не обходимо знание основ высшей алгебры, аналитической геометрии, математического анализа.
В результате изучения дисциплины «Исследование операций в экономике»
аспирант должен знать :
основы линейного программирования;
методы решения задач целочисленного программирования;
методы решения транспортных задач»;
основы теории нелинейного программирования;
основы динамического программирования;
элементы теории стохастического программирования;
элементы теории игр;
основы теории массового обслуживания;
аспирант должен уметь :
строить математические модели задач линейного, целочисленного, нелинейного, динамического программирования;
решать задачи линейного программирования;
решать задачи целочисленного программирования;
решать транспортные задачи;
решать задачи нелинейного программирования;
решать задачи многошаговой оптимизации методом динамического программирования;
находить решение матричных игр.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КУРСА
«Исследование операций в экономике»
Очная форма обучения
Наименование разделов, тем | Всего часов в тру- доем- кости | В том числе аудиторных | Само- стоя- тельная работа |
||||
всего | лекции | семинар-ские, практи- ческие занятия | лабора- торные занятия |
||||
Введение в исследование операций. Основы классической теории оптимизации | |||||||
Итого | |||||||
Форма итогового контроля | экзамен |
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
курса «Исследование операций в экономике»
Тема 1. Введение в исследование операций. Основы классической теории оптимизации
Понятие операции. Цель и задачи исследования операций. Примеры задач исследования операций. Место дисциплины исследования операций среди смежных дисциплин. Введение в классическую теорию оптимизации. Основные понятия и определения: задача оптимизации, виды критериев и их свойства, оптимальное решение. Постановка задачи оптимизации. Типы оптимальных решений. Графическое решение. Понятие градиента и его геометрическая интерпретация. Множество допустимых решений. Этапы исследования операций. Классификация методов исследования операций. Типовые постановки задач, их геометрическая интерпретация и методы решения.
Тема 2. Безусловная одномерная оптимизация
Аналитический и графический анализ функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Процесс численного нахождения оптимального решения. Начальное приближение. Контроль точности. Классификация численных методов. Поисковые методы точечного оценивания: метод обратного переменного шага, квадратичной аппроксимации, метод Пауэлла. Методы последовательного сокращения отрезка неопределенности: равномерный поиск, метод локализации оптимума, половинного деления, золотого сечения, Фибоначчи. Сравнительный анализ одномерных методов сужения интервала.
Тема 3. Безусловная многомерная оптимизация
Аналитический и графический анализ функции. Общая идея численных методов. Методы оценки точности решения. Классификация численных методов. Поисковые методы переборного типа: сканирования с равномерным и переменным шагом. Методы на основе пошаговой одномерной оптимизации: поочередного изменения переменных, Гаусса - Зейделя, Хука-Дживса. Симплексные алгоритмы: обычный симплекс-метод, метод Нелдера-Мида. Методы случайного поиска: ненаправленный случайный поиск, метод случайных направлений. Многомерные методы оптимизации с использованием производных: градиентный, наискорейшего спуска (крутого восхождения). Сравнительный анализ многомерных методов оптимизации.
Тема 4. Модели и методы линейного программирования
Постановка и особенности задач условной оптимизации. Классификация и характеристика методов решения. Линейное программирование. Примеры построения линейных оптимизационных моделей: оптимальная смесь, оптимизация плана производства, распределение ресурсов, загрузка оборудования и др. Геометрическая интерпретация и графический метод решения. Графический анализ устойчивости решения задачи линейного программированиия. Каноническая форма задачи. Методы решения задач линейного программирования. Теоретическая основа симплекс-метода и алгоритм его реализации. Постановка и решение двойственной задачи линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.
Тема 5. Специальные задачи линейного программирования
Целочисленная задача линейного программирования. Методы отсечения. Метод Гомори. Понятие о методе ветвей и границ. Постановка и методы решения транспортной задачи. Закрытая и открытая модель транспортной задачи. Задача о назначениях и выбора кратчайшего пути. Задача коммивояжера. Элементы теории игр. Основные понятия, классификация и описание игр. Матричные игры и понятие седловой точки. Смешанные стратегии. Решение матричных игр методами линейного программирования и графическим способом.
Тема 6. Условная оптимизация. Нелинейное программирование
Постановка задачи и ее анализ. Выпуклое множество. Выпуклая и вогнутая функции. Выпуклая задача оптимизации. Классификация задач и методов нелинейного программирования. Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Графический метод решения для функции двух переменных. Классические методы решения с ограничениями типа равенств: метод исключения, метод множителей Лагранжа. Неклассические методы решения с ограничениями типа неравенств. Необходимые и достаточные условия Куна - Таккера для условного экстремума. Выпуклая задача квадратичной оптимизации. Постановка и методы решения задачи квадратичного программирования. Поисковые методы решения задач нелинейного программирования: линейной аппроксимации, "скользящего" допуска, возможных направлений, штрафных и барьерных функций.
Тема 7. Динамическое программирование
Общая схема методов динамического программирования. Примеры задач динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Общая схема применения метода динамического программирования. Задача о замене оборудования.
Тема 8. Специальные модели исследования операций
Модели сетевого планирования и управления. Основные элементы сетевой модели. Порядок и правила построения сетевых графиков. Упорядочение и оптимизация сетевого графика. Модели управления запасами. Статические детерминированные модели. Управление запасами при случайном спросе и предложении.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ
по курсу «Исследование операций в экономике
Введение в исследование операций.
Основы классической теории оптимизации
1. Примеры постановок задач исследования операций в управлении экономикой
2. Общая классификация численных методов классической безусловной оптимизации.
3. Постановки задач безусловной и условной оптимизации.
4. Основные этапы исследования операций.
5. Понятие задачи выпуклого программирования. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Безусловная одномерная оптимизация
6. Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной.
7. Классификация и основные идеи численных методов одномерной оптимизации.
8. Сравнительный анализ численных методов одномерной оптимизации.
Безусловная многомерная оптимизация
9. Классификация численных методов многомерной оптимизации. Методы сканирования и локализации оптимума.
10. Методы покоординатного поиска экстремума функции нескольких переменных.
11. Симплексные методы поиска экстремума функции нескольких переменных.
12. Градиентные методы оптимизации.
13. Методы случайного поиска экстремума.
14. Методы случайных направлений
15. Сравнительный анализ численных методов многомерной оптимизации.
Условная оптимизация. Нелинейное программирование
16. Постановка задачи и классификация методов статической условной оптимизации.
17. Постановка задачи нелинейного программирования. Классические методы ее решения для системы ограничений в виде равенств.
18. Поисковые методы решения задачи нелинейного программирования. Методы штрафных и барьерных функций.
19. Постановка и методы решения задачи квадратичного программирования.
Модели и методы линейного программирования
20. Постановка и методы решения задачи линейного программирования. Ее геометрическая и экономическая интерпретации.
21. Каноническая форма задачи линейного программирования. Симплексный метод ее решения.
22. Понятие двойственной задачи линейного программирования. Постановка и экономическая интерпретация.
Специальные задачи линейного программирования
23. Целочисленная задача линейного программирования и методы ее решения.
24. Транспортная задача линейного программирования. Постановка и методы решения.
25. Теория игр. Основные понятия, классификация и описание игр.
Динамическое программирование
26. Постановка и методы решения задачи динамического программирования.
27. Геометрическая и экономическая интерпретации задачи.
Специальные модели исследования операций
28. Сетевые модели планирования и управления.
29. Решение сетевых задач по различным критериям
30. Модели управления запасами в детерминированной постановке.
31. Модели управления запасами в стохастической постановке.
ЛИТЕРАТУРА
по курсу «Исследование операций в экономике»
Основная литература
1. , Коробко методы и модели для менеджмента. – СПб: Лань, 2007 г.
2. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Под ред. . - М.: ЮНИТИ, 20с. - Гриф МО РФ
3. Стронгин операций. Курс лекций. –М: Интуит, 2006 г.
Дополнительная литература
1. Вентцель операций.- М.: Высшая школа, 2001.
2. , Загоруйко операций: Учеб. для вузов/ Под ред. , Изд-во МГТУ им. , 200с.
3. Исследование операций в экономике /, ; Под ред. проф..- М.: ЮНИТИ, 200c.
4. Конюховский методы исследования операций в экономике.- СПб: Питер, 2000.-208 с.
5. , Костевич к решению задач по математическому программированию.- Мн.: Выш. шк., 2001.
6. , Летова оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк., 200с.
7. , Волоценко программирование. –М: Высшая школа, 1990 г.
8. Таха Х. Введение в исследование операций. –М: Мир, 1985 г.
9. исследование операций в задачах, алгоритмах, программах. –М: Радио и связь, 1984 г.
10. , Шахдинаров и модели управления фирмой. –СПб: Питер, 2001 г.
КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
по дисциплине «Исследование операций в экономике»
Тема практического занятия | ||
Типовые постановки задач оптимизации, их геометрическая интерпретация и методы решения. Типы оптимальных решений. Графическое решение. Понятие градиента и его геометрическая интерпретация. Множество допустимых решений. Этапы исследования операций. Классификация методов исследования операций. | ||
Классификация численных методов. Поисковые методы точечного оценивания: метод обратного переменного шага, квадратичной аппроксимации, метод Пауэлла. Методы последовательного сокращения отрезка неопределенности: равномерный поиск, метод локализации оптимума, половинного деления, золотого сечения, Фибоначчи. | ||
Классификация численных методов. Поисковые методы переборного типа: сканирования с равномерным и переменным шагом. Методы на основе пошаговой одномерной оптимизации: поочередного изменения переменных, Гаусса - Зейделя, Хука-Дживса. Симплексные алгоритмы: обычный симплекс-метод, метод Нелдера-Мида. Методы случайного поиска: ненаправленный случайный поиск, метод случайных направлений. Многомерные методы оптимизации с использованием производных: градиентный, наискорейшего спуска (крутого восхождения). | ||
Примеры построения линейных оптимизационных моделей: оптимальная смесь, оптимизация плана производства, распределение ресурсов, загрузка оборудования и др. Геометрическая интерпретация и графический метод решения. Графический анализ устойчивости решения задачи линейного программирования. | ||
Постановка и методы решения транспортной задачи. Закрытая и открытая модель транспортной задачи. Задача о назначениях и выбора кратчайшего пути. Задача коммивояжера. | ||
Основные понятия, классификация и описание игр. Матричные игры и понятие седловой точки. Смешанные стратегии. Решение матричных игр методами линейного программирования и графическим способом. | ||
Постановка и геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Графический метод решения для функции двух переменных. Классические методы решения с ограничениями типа равенств: метод исключения, метод множителей Лагранжа. Неклассические методы решения с ограничениями типа неравенств. Необходимые и достаточные условия Куна - Таккера для условного экстремума. | ||
Примеры задач динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Общая схема применения метода динамического программирования. Задача о замене оборудования. | ||
Порядок и правила построения сетевых графиков. Упорядочение и оптимизация сетевого графика. Модели управления запасами. Статические детерминированные модели. Управление запасами при случайном спросе и предложении. |
УДК 330.115(075.8) ББК22.1я73 А94
Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения:А94 Учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М, 2003. - 444 с. - (Серия «Высшее образование»). ISBN 5-16-001580-9
Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта и содержит учебные материалы и методику решения широкого спектра экономических задач. В методике реализован новый подход к проведению практических занятий с использованием компьютерных технологий обучения в сочетании с программными средствами решения задач.
Для студентов экономических вузов и преподавателей. ББК 22.1я73
ISBN5-16-001580-9 | ©М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов, 2003 | |
Предисловие.......................................................................................................................................................................................... | ||
Глава 1. Оптимизация плана производства........................................................................................................................................ | ||
Глава 2. Оптимальное смешение....................................................................................................................................................... | ||
Глава 3. Оптимальный раскрой......................................................................................................................................................... | ||
Глава 4. Планирование финансов...................................................................................................................................................... | ||
Глава 5. Транспортная задача............................................................................................................................................................ | ||
Глава 6. Задача о назначениях........................................................................................................................................................... | ||
Глава 7. Сетевой анализ проектов. Метод СРМ............................................................................................................................... | ||
Глава 8. Сетевой анализ проектов. Метод PERT............................................................................................................................. | ||
Глава 9. Анализ затрат на реализацию проекта............................................................................................................................. | ||
Глава 10. Стратегические игры........................................................................................................................................................ | ||
Глава 11. Нелинейное программирование...................................................................................................................................... | ||
Глава 12. Модели управления запасами......................................................................................................................................... | ||
Глава 13. Модели систем массового обслуживания...................................................................................................................... | ||
Глава 14. Имитационное моделирование....................................................................................................................................... | ||
Глава 15. Целочисленные задачи линейного программирования................................................................................................ | ||
Глава 16. Основы теории принятия решений................................................................................................................................. | ||
Список основной литературы.......................................................................................................................................................... | ||
Список дополнительной литературы.............................................................................................................................................. | ||
Предисловие
Студент экономического вуза, прослушавший курс «Исследование операций», должен знать основные экономические проблемы, при решении которых возникает необходимость в математическом инструментарии. Он должен ориентироваться в экономической постановке задачи и определять по ней, в каком разделе исследования операций следует искать средства ее решения; должен уметь формализовать экономическую задачу, т.е. описать ее с помощью известной математической модели, провести расчеты и получить количественные результаты. Однако самое главное - студент должен уметь анализировать эти результаты и делать выводы, адекватные поставленной экономической задаче.
В каждой главе материал изложен в такой последовательности: цели, модели, примеры, вопросы, задачи, ситуации.
Цели. Устанавливаются цели изучения темы. Перечисляются основные понятия, которые должны быть изучены, и навыки, которые должны быть приобретены после изучения материала, предлагаемого в рамках данной темы.
Модели. Приводится описание экономико-математических моделей, необходимых для выполнения заданий по данной теме. Формулируются условия для применения этих моделей. Материал этого раздела можно рассматривать как краткий конспект лекции по теме.
Примеры. Демонстрируется, как описанные модели могут использоваться для решения экономических задач. При этом приводятся формулировка задачи, описание модели, необходимой для решения задачи, результаты расчетов по модели и анализ этих результатов.
Вопросы. Наиболее простая форма контроля знаний. Предлагается набор из нескольких вопросов и варианты ответов, один из которых верен.
Задачи. Основная форма контроля результатов обучения по программе подготовки бакалавров. Предлагается набор задач для самостоятельного решения. Решение любой задачи предполагает построение соответствующей модели, проведение необходимых расчетов и получение ответов на поставленные в задаче вопросы.
Ситуации. Основная форма контроля результатов обучения по программе подготовки магистров. Приводится описание конкретных экономических ситуаций, которые необходимо проанализировать. Цель такого анализа - научить использовать для исследования сложных экономических проблем полученные навыки решения задач. Нет и не может быть однозначных ответов на все вопросы, содержащиеся в заданиях к изложенным ситуациям. В этом принципиальное отличие ситуации от обычной задачи. Как правило, описание конкретной ситуации не содержит всей необходимой информации. Читателю приходится делать предположения и вносить необходимые добавления. Поэтому, анализируя одну и ту же ситуацию, два студента могут получить разные результаты. И оба результата будут верны. Цель анализа ситуации не сводится к получению ответа. Важен не результат, а процесс анализа.
Некоторые задачи и ситуации заимствованы из других источников и представлены в переработанном виде.
В конце каждой главы приведены ответы на вопросы и решения задач.
Данное учебное пособие можно использовать при традиционной форме проведения практических занятий, когда студенты все вместе решают задачу, предложенную преподавателем. Более современным представляется подход, основанный на использовании компьютерной технологии обучения в сочетании с программными средствами решения задач. Именно такую технологию проведения практических занятий уже более 15 лет используют авторы. В ее основе - компьютерный учебник «Исследование операций в экономике». Он содержит теоретический материал, многие из приведенных в данном учебном пособии задач, а также средства контроля правильности их решения с выборочной диагностикой ошибок.
Некоторые разделы исследования операций, например динамическое программирование, не представлены в этой книге, потому что авторы не могут предложить читателю удобное программное обеспечение для получения количественных оценок по соответствующим моделям.
Авторы благодарят А. Б. Ароновича за сотрудничество при подготовке глав 10 и 11, а также Н.В. Васильеву, чей опыт практических занятий по курсу «Исследование операций» позволил внести полезные коррективы в материал учебного пособия.
Глава 1. Оптимизация плана производства
В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана производства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказаться для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается также задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления
микроэкономическими объектами.
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:
целевую функцию;
ограничения;
допустимый план;
множество допустимых планов;
модель линейного программирования;
двойственные оценки;
границы устойчивости.
Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальнымс точки зрения выбранного критерия - максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.
Введем обозначения:
п - количество выпускаемых продуктов;
т - количество используемых производственных ресурсов (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила);
а ij - объем затрат i- го ресурса на выпуск единицы j -й продукции; сj - прибыль от выпуска и реализации единицы j- го продукта;
b i - количество имеющегося i -го ресурса;х j - объем выпуска j -го продукта.
Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного программирования:
Здесь (1) - целевая функция (максимум прибыли);
(2) - система специальных ограничений (constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов;
(3) - система общих ограничений (на неотрицательность переменных);
хj -переменная (variable).
Задача (1)-(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум. Задача линейного программирования в стандартной форме на минимумимеет вид
Вектор х = (x 1 ,x 2 , ...,x n ), компонентых j которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называетсядопустимым решением илидопустимым планом задачи ЛП.
Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.
Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минимального) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.
С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойственной задачей ЛП.
Двойственной к задаче ЛП (1)-(3) является задача
Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)-(9) является задача (1)-(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.
Компонента y i * оптимального решения двойственной задачи (7)-(9) называетсядвойственной оценкой
å n a ijx j≤ | ||
(Dual Value) ограничения j = 1 | исходной задачи ЛП. |
|
c j xj | ||
Пусть ϕ = max (j = 1 | ), где х j - компонента допустимого решения задачи (1)-(3). |
|
Тогда при выполнении условий невырожденности оптимального решения имеют место следующие соотношения:
Изменим значение правой части b i одного основного ограничения(RHS) исходной задачи ЛП.
Пусть b i ′ - минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решениеу*
двойственной задачи не изменится. Тогда величину b i ′ называют нижней границей(Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.
Пусть b i ′′ - максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решениеy*
двойственной задачи не изменится. Тогда величину b i ′′ называют верхней границей(Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.
Изменим значение одного коэффициента с j целевой функции исходной задачи ЛП.
Пусть c ′ j - минимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение
x * исходной задачи не изменится. Тогда величинуc ′ j называют нижней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.
Пусть c ′ j ′ - максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное
решение х * исходной задачи не изменится. Тогда величинуc ′ j ′ называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.
Пример 1. Сколько производить?
Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:
1. Сколько продукта 1 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?
2. Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?
3. Какова максимальная прибыль?
4. На сколько возрастет максимальная прибыль, если запасы сырья увеличатся на 1 т?
5. На сколько возрастет максимальная прибыль, если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400
Решение. Пустьх 1 - объем выпуска продукта 1 в тоннах,х 2 - объем выпуска продукта 2 в тоннах. Тогда задача может быть описана в виде следующей модели линейного программирования:
Используя пакет РОМ for WINDOWS (далее- POMWIN ), исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:
Решая эту задачу, получаем следующий результат:
В нижней строке указан объем выпуска каждого продукта, удовлетворяющий ограничениям на ресурсы и обеспечивающий максимальную прибыль. Величина 988,24 - максимальное значение целевой функции.
Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует производить 16,47 т продукта 1 и 14,12 т продукта 2.
Максимальная прибыль равна 988,24 тыс. руб.
В правом столбце таблицы указаны двойственные оценки для каждого ограничения. Так, величина 3,82 показывает, что при увеличении запаса сырья на 1 т (до 121) максимальное значение целевой функции для нового оптимального плана увеличится по сравнению с 988,24 на 3,82 тыс. руб. Аналогично можно интерпретировать значение двойственной оценки 1,32 для второго ресурса.
Следующая таблица содержит дополнительную информацию, предоставляемую пакетом POMWIN:
Два правых столбца таблицы - границы устойчивости по значениям коэффициентов целевой функции (верхняя часть таблицы) и правых частей ограничений (нижняя часть).
Так, в случае если прибыль, получаемая от реализации 1 т продукта 1, изменится, но останется в пределах от 21 до 40,83, количество продукта 1 в оптимальном плане не изменится.
В случае если запас сырья изменится, но останется в пределах от 85,71 до 166,66, двойственная оценка этого ресурса не изменится.
Соответственно, если допустимый объем трудозатрат изменится в пределах от 288 до 560 ч, двойственная оценка этого ресурса не изменится.
Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч, то максимальная прибыль увеличится на 132 тыс. руб.
Пример 2. Производить или покупать?
Фирма производит два типа химикатов. На предстоящий месяц она заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов:
Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже в таблице приведен фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе:
Из-за ограниченных возможностей, связанных с существующим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фирма не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязательства по контракту. Выход заключается в следующем: фирма должна купить какое-то количество этих химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой фирмой и на закупку их со стороны:
Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько - закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с минимальными издержками.
1. Сколько химикатов типа 1 следует производить фирме?
2. Сколько химикатов типа 2 следует производить фирме?
3. Сколько химикатов типа 1 следует закупать со стороны?
4. Сколько химикатов типа 2 следует закупать со стороны?
5. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?
6. Следует ли изменить объем закупок химикатов типа 2 со стороны, если их цена возрастет до 75 тыс. руб. за тонну?
7. На сколько возрастут минимальные издержки, если фонд времени работы реактора 2 сократится с 400 до 300 ч?
Решение. Введем обозначения:
x 1 - количество продукта 1, производимого компанией;z 1 - количество продукта 1, закупаемого компанией;x 2 - количество продукта 2, производимого компанией;z 2 - количество продукта 2, закупаемого компанией.
Модель линейного программирования приведена в следующей таблице:
Условия неотрицательности переменных: x 1 ³ 0 ;x 2 ³ 0 ;z 1 ³ 0 ;z 2 ³ 0 . Таблица исходной информации для расчетов вPOMWIN имеет следующий вид:
Результаты расчетов:
Таблица двойственных оценок и границ устойчивости:
Из таблицы двойственных оценок и границ устойчивости видно, что в пределах изменения закупочной цены на химикат типа 2 от 61 до 76 (ее фактическое значение 66) оптимальный план не изменится.
Из таблицы также видно, что изменение ресурса времени работы реактора 2 в пределах от 225 до 765 не приведет к изменению двойственной оценки соответствующего ограничения.
Ответы: 1. 55,55 т. 2. 38,89 т. 3. 44,44 т. 4. 81,11 т. 5. 11 475,56 тыс. руб. 6. Нет, не следует. 7. Ha 111 тыс. руб.
Вопросы Вопрос 1. Дана задача линейного программирования
Если эта задача имеет решение, то какие знаки имеют переменные y 1 иy 2 двойственной задачи? Варианты ответов:
Вопрос 2. На предприятии - два цеха. Проведены оптимизационные расчеты по определению программы развития предприятия с минимальными затратами. Получены оптимальный план и двойственные оценки ограничений по загрузке мощностей двух цехов. Оказалось, что двойственная оценка ограничений на производственные мощности первого цеха равна нулю, а второго - строго положительна. Это означает, что:
1) информации для ответа недостаточно;
2) мощности обоих цехов недогружены;
3) мощности обоих цехов использованы полностью;
4) мощности цеха 1 использованы полностью, а цеха 2 недогружены;
5) мощности цеха 1 недогружены, а цеха 1 использованы полностью.
Вопрос 3. Рассматривается задача планирования нефтеперерабатывающего производства, описанная в виде модели линейного программирования. Критерий - минимум издержек. В результате решения лимитирующим фактором оказалась мощность Оборудования, измеряемая в тоннах перерабатываемой нефти. В каких единицах измеряется двойственная оценка соответствующего ограничения?
Варианты ответов:
1) т/руб.; 2) руб./ч; 3) ч/руб.; 4) руб./т; 5) т.
Вопрос 4. Рассматривается задача оптимизации плана производства нефтепродуктов. Объем производства измеряется в тоннах. Задача решается на минимум издержек. Учитывается ограничение на время использования оборудования. В каких единицах измеряется значение коэффициентов матрицы для этого ограничения?
Варианты ответов:
Вопрос 5. Рассматривается задача оптимизации производственной программы. Критерий - максимум прибыли. Оптимальное значение критерия - 100. Двойственная оценка ограничения по трудозатратам равна 0,5, по объему производства - 1,5. Чему будет равна максимальная прибыль, если общий объем трудозатрат сократится на 10 единиц?
Варианты ответов:
1) 85; 2) 90; 3) 95; 4) 100; 5) 110.
Вопрос 6. Для всякого ли многогранника существует задача линейного программирования, допустимым множеством которой он является?
Варианты ответов:
1) да, для всякого;
2) нет, только для многогранника, имеющего более трех вершин;
3) нет, только для многогранника с положительными координатами вершин;
4) нет, только для выпуклого многогранника с неотрицательными координатами вершин;
5) нет, только для выпуклого многогранника.
Вопрос 7. Допустимое решение задачи линейного программирования:
1) должно одновременно удовлетворять всем ограничениям задачи;
2) должно удовлетворять некоторым, не обязательно всем, ограничениям задачи;
3) должно быть вершиной множества допустимых решений;
4) должно обеспечивать наилучшее значение целевой функции;
5) не удовлетворяет указанным выше условиям.
Вопрос 8. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:
при условиях
Оптимальное значение целевой функции в этой задаче равно: 1) 1600; 2) 1520; 3) 1800; 4) 1440; 5) не равно ни одному из указанных значений.
Вопрос 9. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: пои условиях
Какая из следующих точек с координатами (X, Y) не является допустимой? Варианты ответов:
5) ни одна из указанных.
Вопрос 10. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:
при условиях
Множество допустимых планов имеет следующие четыре вершины: (48, 84), (0, 120), (0, 0), (90, 0).
Чему равно оптимальное значение целевой функции? |
||||
Варианты ответов: | ||||
ни одному из указанных значений. |
||||
Задача 1. Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти производится 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме - 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти.
1. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом режиме?
2. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать во втором режиме?
3. Каков минимальный ежедневный расход нефти?
4. На сколько тонн увеличится ежедневный минимальный расход нефти, если потребуется производить
в день 80 т светлых нефтепродуктов?
Задача 2. Фирма «Television» производит два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».
В цехе 1 производят телевизионные трубки. На производство одной трубки к телевизору «Астро» требуется потратить 1,2 человекочаса, а на производство трубки к «Космо» - 1,8 человекочаса. В настоящее время в цехе 1 на производство трубок к обеим маркам телевизоров может быть затрачено не более 120 человекочасов в день.
В цехе 2 производят шасси с электронной схемой телевизора. На производство шасси для телевизора любой марки требуется затратить 1 человекочас. На производство шасси к обеим маркам телевизоров в цехе 2 может быть затрачено не более 90 человеко-часов в день.
Продажа каждого телевизора марки «Астро» обеспечивает прибыль в размере 1500 руб., а марки «Космо» - 2000 руб.
Фирма заинтересована в максимизации прибыли. Вопросы:
1. Сколько телевизоров «Астро» следует производить ежедневно?
2. Какова максимальная ежедневная прибыль телевизионной компании?
3. На сколько рублей в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе 2 возрастет на 5 человекочасов?
4. Следует ли изменить план производства, если прибыль от телевизора «Космо» увеличится до 2200 руб.?
Задача 3. Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров: мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков.
Производство каждого изделия осуществляется на трех участках. Затраты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка:
Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма ежедневно будет располагать следующими ресурсами рабочего времени на каждом из участков: 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3.
1. Сколько пар носков следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль?
МЕТОД - совокупность приемов и способов теоретического познания или практического освоения действительности. Например, в области познания существуют следующие методы: наблюдение, эксперимент, идеализация, аналогия, индукция, дедукция, анализ, синтез, формализация и пр.
Словарь терминов и понятий по обществознанию. Автор-составитель А.М. Лопухов. 7-е изд. переб. и доп. М., 2013, с. 216.
Научный метод
НАУЧНЫЙ МЕТОД (от др.-греч. μέθοδος - способ, путь познания). Выделяются два подхода (стратегический и тактический) к дефиниции научного метода: 1) метод как способ, средство достижения цели и задач исследования; 2) метод как система принципов, правил, приемов и процедур познания. Структура научного метода включает: методологические подходы и принципы; процедуры и операции, направленные на сбор, регистрацию, хранение, поиск, систематизацию и преобразование информации. Основу научного метода, по мнению большинства исследователей, составляют подходы и принципы (теория метода). Подход определяет основной путь решения исследовательской задачи, т. е. раскрывает стратегию исследования. В современной исторической науке используются различные подходы - эволюционный, системный, структурно-функциональный, модельный, цивилизационный, формационный и проч. Все методологические подходы связаны с определенными теориями познания...
Методы исторического исследования
МЕТОДЫ ИСТОРИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ - 1) категория частнонаучных методов, используемых в исторической науке; 2) вспомогательная историческая дисциплина, объектом исследования которой выступают методы исторического исследования, их информационный потенциал, возможности и ограничения, методологические и методические вопросы реализации. В исторической науке при определении содержания методов исторического исследования выделяется два подхода: 1) акцент делается на их тесную связь с изучением исторических источников: под историческими методами подразумеваются приемы критики исторических источников, прежде всего письменных...
Классификации метод
КЛАССИФИКАЦИИ МЕТОД - 1) процесс отнесения (распределения) классифицируемого объекта к определенной группе (разделу) на основе нахождения у объекта заданного признака; 2) система классов, предназначенных для характеристики качественно однородной совокупности предметов (понятий). В исторической науке метод классификации используется для систематизации и анализа исторических явлений (источников, массовых объектов) и представляет собой последовательность логических процедур: определение объекта классификации; обоснование принципа (основания) деления; выделение разделов классификации. Классификация должна отвечать требованиям однозначности, всеобщности и единства основания...
Вспомогательные методы исторического исследования
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИСТОРИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ - методы исторического исследования, разработанные в рамках вспомогательных исторических дисциплин, которые выступают в качестве самостоятельных отраслей исторической науки, обладающих своим объектом и предметом исследования и ориентированных на изучение определенных видов исторических источников или их свойств.
Метод (Шапарь, 2009)
МЕТОД (метод исследования) (греч. methodos) - способ организации деятельности, обосновывающий нормативные приемы осуществления научного исследования. Путь исследования, вытекающий из общих теоретических представлений о сущности изучаемого объекта. Сюда относятся и самые общие принципы, лежащие в основе познания и практики, и вполне конкретные приемы обращения с тем или иным предметом - понятие метода распространяется на различные области практики.
Метод (Грицанов, 1998)
МЕТОД (греч. methodos - путь к чему-либо, прослеживание, исследование) - способ достижения цели, совокупность приемов и операций теоретического или практического освоения действительности, а также человеческой деятельности, организованной определенным образом. М. в науке - это также и заданный сопряженной гипотезой путь ученого к постижению предмета изучения. В границах античной философии было впервые обращено внимание на взаимосвязь результата и М. познания. Систематическое исследование М. связано с генезисом экспериментальной науки.
Метод (Райзберг, 2012)
МЕТОД - способ поиска, выработки, построения, обоснования, передачи новых знаний, умений, совокупности процедур и операций теоретического и эмпирического познания, освоения реальной действительности, преобразования и использования всего сущего. В экономике и социологии широко используются исторический, сравнительный, генетический, статистический, опросно-наблюдательный, документальный, модельный, математический, эвристический методы.
Райзберг Б.А. Современный социоэкономический словарь. М., 2012, с. 277.
Метод аксиоматический
МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ - способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые ее положения - аксиомы или постулаты, из которых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых доказательствами. Правила, по которым должны проводиться эти рассуждения, рассматриваются в логике - в учении о дедукции-, все понятия, с которыми имеют дело в доказательствах (кроме небольшого числа первоначальных понятий), вводятся на основе определений, разъясняющих их смысл через ранее введенные или известные понятия.
Адрес 153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, д. 34, корпус А, ауд. 206 Аудитории Ауд. А-205 (Телефон: 269796) Ауд. А-206 (Телефон: 269748)
Руководитель
Фото Должность декан Степень доктор экономических наук Звание Профессор E-mail karyakin economic ispu ru Информация
В 1979 году закончил ИЭИ по специальности «Электрические машины». В 1987 году защитил кандидатскую диссертацию в ИЭИ на тему: «Разработка и совершенствование процедур, алгоритмов и моделей автоматизированного проектирования силовых трансформаторов при решении задач структурно-параметрической оптимизации по специальности «Системы автоматизированного проектирования» 05.13.12. В 1999 году защитил докторскую диссертацию в ИвГУ на тему: «Совершенствование управления предприятиями в наукоемких отраслях на основе динамических структур: Теоретико-методические аспекты» по специальности 08.00.05, 08.00.28 "Экономика и управление в народном хозяйстве".
Научные интересы
: стратегический менеджмент, управление персоналом, организационное поведение, энергетическая безопасность, информационные системы в экономике.
Публикации
более 230 наименований. Среди них 22 учебных пособия и 5 монографий, 102 статьи в отечественных и зарубежных журналах и сборниках трудов.
Секретарь: Щудрова Наталья Сергеевна
Штатные сотрудники
Фото 
Должность доцент Степень кандидат экономических наук E-mail ivanova-oe bk ru Информация
В 2008 г. закончила ИГЭУ по специальности 080507.65 «Менеджмент организации» (спец. «Финансовый менеджмент»). В 2011 г. в ЯрГУ защитила диссертацию на соискание ученой степени кандидата экономических наук по специальности 08.00.05 «Экономика и управление в народном хозяйстве (управление инновациями)» на тему: «Инновационный потенциал энергетических сетевых компаний: оценка и использование при формировании инвестиционной стоимости».
Сертификаты, удостоверения
Научные интересы
: управление инновациями, развитие инновационной инфраструктуры регионов и территорий, модернизация национальной инновационной системы.
Публикации
: автор более 80 научных трудов и учебно-методических публикаций.
Функции:
заместитель декана по 1-2 курсам и заочному отделению.
Контакты
: корпус А, ауд. 205
Фото 
Должность доцент Степень кандидат исторических наук Звание Доцент E-mail kor_tv mail ru Информация
В 1997 году закончила ИвГУ по специальности «Историк. Преподаватель истории». В 2002 году защитила кандидатскую диссертацию в ИвГУ на тему «Женское движение во Франции 1789 - 1914 гг.» по специальности 07.00.03 - всеобщая история.
Научные интересы
: гендерная история, социальная история, политическая история, социология общественных движений, история женского образования, воспитательная работа, компетентностный подход.
Публикации
: автор 71 публикации, их них: 3 монографии, 4 учебных пособия, 11 учебно-методических разработок, 2 электронных учебных пособия.
Повышение квалификации
Функции : заместитель декана по воспитательной работе.
Фото 
Должность доцент Информация
В 1990 году с отличием окончил Ивановский энергетический институт им. В.И. Ленина, квалификация инженер -промтеплоэнергетик.
Сертификаты, удостоверения
:
Сертификат №0180-02.06 - независимого эксперта по расчету и экспертизе нормативов технологических потерь при передаче тепловой энергии, удельного расхода топлива на отпущенную электрическую и тепловую энергию от тепловых электростанций и котельных и нормативов создания запасов топлива на тепловых электростанциях и котельных, выдан Межрегиональной ассоциацией «Энергоэффективность и нормирование», Межрегиональным институтом менеджмента энергоэффективности, г. Москва, 2006 г.
Свидетельство №Э-0066 о подготовке энергоаудиторов и энергоменеджеров, выдано Нижегородским учебно-научным инновационным центром энергосбережения НГТУ, 2000 г.
Удостоверение №Э-135 о краткосрочном повышении квалификации по «Энергетическому аудиту и энергосбережению в бюджетной сфере и промышленности», выдано Нижегородским учебно-научным инновационным центром энергосбережения НГТУ, 2001 г.
Свидетельство о повышении квалификации СПК-0068 по экономике и управлению производством, выдано ФПКП ИГЭУ, 2002 г.
Удостоверение №ГУ06-925 о краткосрочном повышении квалификации по расчету и экспертизе технологических потерь тепловой энергии, удельных расходов топлива и нормативов создания запасов топлива, выдано Межрегиональным институтом менеджмента энергоэффективности ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», г. Москва, 2006 г.
Свидетельство о повышении квалификации на ФПКП по программе "Вопросы технологии обучения", №УПК-231 выдано ФПКП ИГЭУ, 2007 г.
Научные интересы
: энергосбережение, энергетический менеджмент, энергетический аудит, цены и тарифы на энергию, оценка экономической эффективности инвестиционных проектов.
Публикации
: автор более 85 публикаций, из них 8 учебно-методических и более 40 научно-исследовательских работ.
Функции: заместитель декана по профориентации, член ревизионной комиссии профсоюзной организации.
Фото 
Должность доцент Степень кандидат экономических наук Звание Доцент E-mail tarasova_as eiop ispu ru Информация
В 2002 году окончила ИГЭУ по специальности «Экономика и управление на предприятии». В 2009 году защитила кандидатскую диссертацию в ИГХТУ на тему: «Совершенствование методов обеспечения финансовой устойчивости оптовых генерирующих компаний Российской Федерации» по специальности 08.00.10 «Финансы, денежное обращение и кредит».
Сертификаты , удостоверения :
Сертификат ГОУ ВПО «Московский Государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)», г. Москва по направлению «Менеджмент».
Сертификат ГОУ ВПО «Московский Государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)», г. Москва по программе «Эффективное управление финансами высшего учебного заведения».
Сертификат Корпоративном энергетическом университете, г. Москва по программе повышения квалификации преподавателей Вузов «Экономика и управление в современной электроэнергетике.
Научые интересы
: стратегический анализ, инвестиционная политика компаний, финансовая устойчивость, внешнеэкономическая деятельность.
Публикации
: автор 23 публикаций, в том числе 1 монографии, 4 методических пособий и 17 научных статей.
Функции:
заместитель декана по III-IV курсам и магистратуре.
Контакты
: корпус А, ауд. 205
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
Исследование операций в экономике
Введение
Графическое решение задач линейного программирования
Решение задач линейного программирования симплекс-методом
Транспортная задача
Задача о назначениях
Задача о ранце
Заключение
Литература
Введение
Успешная реализация достижений научно-технического прогресса в нашей стране тесным образом связана с использованием экономико-математических методов и средств вычислительной техники при решении задач из различных областей человеческой деятельности. Исключительно важное значение приобретает использование указанных методов и средств при решении экономических задач.
Управление и планирование являются наиболее сложными функциями администрации предприятий, менеджеров, руководителей хозяйственных органов и штабов различного уровня. Характер управления и планирования определяет путь достижения цели и оказывает существенное влияние на качество решения поставленной задачи. В современных условиях повышается ответственность за качество принимаемых управленческих решений. Несколько неудачных управленческих решений и предприятие вступает в стадию банкротства.
В настоящее время существует две группы методов принятия управленческих решений:
) логический (когда решение принимается на основании опыта, интуиции и других личностных качеств лица, принимающего решение);
) формально-логический или формализованный (когда решение принимается на основе изучения предварительно-построенной модели). При этом появляется возможность оценить последствия каждого из вариантов и выбрать наилучший по некоторому критерию. В этой группе методов важную роль играют экономико-математические модели.
Образ реальной действительности, в котором отражены характерные для изучаемого явления признаки или черты реального объекта (оригинала), именуют моделью, а сам процесс построения моделей называют моделированием.
Использование цифровых и знаковых символов позволяет создать категорию моделей, которая включает формально-логические и математические модели.
Любое управление в экономике связано с выработкой и принятием управленческих решений, воплощающихся в управленческие воздействия. Субъекты управления стремятся определить последствия определённого решения. Прежде чем осуществлять управляющее воздействие, принимать окончательное решение, желательно проверить его действенность, послед-ствия, результат. При этом фактически используются логические модели процессов управления, мысленные сценарии их протекания. Но возможности даже квалифицированного, опытного специалиста воспроизвести в своём мозгу картину поведения объекта управления под влиянием управляющих воздействий довольно ограничены. Приходится прибегать к помощи математических расчётов, дополняющих мысленные представления, иллюстрирующих ожидаемую картину управляемого процесса в виде цифр, кривых, графиков, таблиц. Использование математических методов при формировании представлений об экономических объектах и процессах в ходе экономического анализа, прогнозирования, планирования называют применением экономико-математических методов.
Наиболее распространённая форма, основной инструмент воплощения экономико-математических методов - это экономико-математическое моделирование. Математическое моделирование опирается на математическое описание моделируемого объекта (процесса) в виде формул, зависимостей с помощью математических символов, знаков.
Экономико-математическая модель представляет собой формализованное описание управляемого экономического объекта (процесса), включающее заранее заданные параметры, показатели и искомые неизвестные величины, характеризующие состояние объекта, его функционирование, объединённые между собой связями в виде математических зависимостей, соотношений, формул. Модель способна быть только аналогом моделируемой системы, отражающим основные, существенные свойства изучаемой управляемой системы, которые наиболее важны с позиций управления.
Благодаря моделированию субъект управления способен в ходе анализа иметь дело не с реальным объектом управления, а с его аналогом в виде модели. Это значительно расширяет возможности поиска лучших способов управления, не нарушая функционирования реального объекта управления в период выработки управленческих решений. Появляется возможность применить вычислительную технику, использовать компьютеры, для которых математический язык моделей является самым удобным. Благодаря компьютерам можно производить многовариантные модельные расчёты, что повышает шансы на отыскание лучших вариантов.
Для того чтобы принять обоснованное решение необходимо получить и обработать огромное количество информации. Ответственные управленческие решения зачастую связаны с судьбами людей, принимающих их, и с большими материальными ценностями. Но сейчас недостаточно указать путь, ведущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных путей выбрать наиболее экономный, учитывающий особенности течения и развития управляемого процесса и наилучшим образом соответствующий поставленной задаче.
Процесс управления производственной системой представляет собой процесс принятия решений, что всегда связано с выбором из множества возможных решений, допускаемых обстоятельствами решаемой задачи, то есть имеется множественность имеющихся вариантов. Выбранное решение должно соответствовать некоторому критерию целесообразности. Этим объясняется связь задач принятия управленческих решений с методами теории оптимизации.
В процессе выработки решений приходится формализовать зависимость между отдельными элементами системы, применять математический аппарат, общие кибернетические принципы и закономерности, то есть использовать экономико-математические методы.
Известно, что экономический эффект от рациональных методов управления и планирования, применяемых в широких масштабах и на высоком уровне, способен в ряде случаев повысить эффект от существенного увеличения мощностей. Возникает потребность в новых математических методах, позволяющих анализировать ритм производства, взаимоотношения между людьми и между коллективами.
Математические машины, внедряемые в производство и управление и используемые в научно-исследовательской работе, создают огромные возможности для развития различных отраслей науки, для совершенствования методов планирования и автоматизации производства. Однако без строгих формулировок задач, без формально-математического описания процессов не может быть достигнут необходимый уровень использования техники. Возникают вопросы, связанные с формализацией физических, экономических, технических и других процессов. Формализация задачи - необходимый этап для перевода каждой прикладной экономической задачи на язык математических машин.
Для постановки задачи математического программирования необходимо сформулировать цель управления и указать ограничения на выбор параметров управления, обусловленные особенностями управляемого процесса. Задача математического программирования сводится к выбору системы параметров, обеспечивающей оптимальное (в заданном смысле) качество процесса управления в рамках сформулированных ограничений.
Всё вышесказанное доказывает необходимость применения экономико-математических методов и моделей в управлении для принятия обоснованных управленческих решений.
В данной курсовой работе даётся представление о возможностях практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении конкретных экономических задач.
.Графическое решение задач линейного программирования.
Решить графически задачу 4x1+x2 → max,
при следующих ограничениях:
x1+7x2≤140
x1+10x2≤150
x1+20x2≤100
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x1+x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x1+x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Область допустимых решений представляет собой многоугольник Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1+7x2=140
x1+20x2=100
Решив систему уравнений, получим: x1 = 5.7534, x2 = 3.5616
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: (X) = 4*5.7534 + 1*3.5616 = 26.5753
2. Решение задач линейного программирования симплекс - методом.
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 5x1 + 5x2 + 11x3+9 при следующих условиях-ограничений.
При вычислениях значение Fc = 9 временно не учитываем. линейный программирование математический экономический x1 + x2 + x3 + x4≤0
x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4≤0
x1 + 5x2 + 10x3 + 15x4≤0
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.
x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 0
x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 0
x1 + 5x2 + 10x3 + 15x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 0
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
11111007532010351015001 Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x5, x6, x7
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,0,0,0) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
БазисBx1x2x3x4x5x6x7x501111100x607532010x70351015001F(X0)0-5-5-110000
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Итерация №0. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:(0: 1, 0: 3, 0: 10) = 0 Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx5011111000x6075320100x703510150010F(X1)0-5-5-1100000
Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x3.
Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3.
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
Bx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 70: 11: 11: 11: 11: 11: 10: 10: 10-(0 3):17-(1 3):15-(1 3):13-(1 3):12-(1 3):10-(1 3):11-(0 3):10-(0 3):10-(0 10):13-(1 10):15-(1 10):110-(1 10):115-(1 10):10-(1 10):10-(0 10):11-(0 10):10-(0 -11):1-5-(1 -11):1-5-(1 -11):1-11-(1 -11):10-(1