Одной из основных задач финансовых институтов является оценка рыночных рисков, которые возникают вследствие флуктуации (благоприятном событии) цен акций, сырьевых товаров, обменных курсов, процентных ставок и т.д. Простейшей мерой зависимости инвестора от рыночных рисков является величина изменения капитала портфеля, т.е. прибыли или убытки, возникающие вследствие движения цен активов. Наиболее распространенной на сегодняшний момент методологией оценивания рыночных рисков является Стоимость Риска (Value – at – Risk , VAR). VAR является суммарной мерой риска, способной производить сравнение риска по различным портфелям (например, по портфелям из акций и облигаций) и по различным финансовым инструментам (например, форварды и опционы).
Показатель рисковой стоимости был разработан в конце 1980 – х гг. и сразу же завоевал признание среди крупнейших участников финансового рынка. Впоследствии показатель рисковой стоимости (VAR) стал полноценным стандартом информации о риске фирмы, который мог использоваться внутри самой компании, а также указываться в отчетах для инвесторов и регулирующих органов.
За последние несколько лет VAR стал одним из самых популярных средств управления и контроля риска в компаниях различного типа. Вызвано это было несколькими причинами. Первой причиной стало, несомненно, раскрытие в 1994 г. крупнейшей инвестиционной компанией США Дж.П. Морган системы оценивания риска Riskmetrics TM и предоставление в свободное пользование базы данных для этой системы для всех участников рынка. Значения VAR, полученные с использованием системы Riskmetrics TM и до сих пор являются неким эталоном для оценок VAR. Вторая причина заключается в инвестиционном "климате", который царил в конце 1990 – х годов и был связан с огромными потерями, понесенными финансовыми институтами, в частности, при оперировании на рынках производных ценных бумаг (инструменты финансового рынка, функционирующие на базе основных активов (акций, облигаций и т.д.)). В таблице 3.7. указаны потери, понесенные некоторыми западными компаниями и даты, на которые они были обнародованы. Третьей причиной , является решение организаций, осуществляющих надзор за банками, использовать величины VAR для определения резервов капитала.
Таблица 3.7.
Потери крупных западных компаний за 1993 – 1995гг.
|
Дата отчета |
Компания |
Потери (в млн. руб) |
|
Metallgesellschaft | ||
|
Askin Capital Management | ||
|
Procter & Gamble | ||
|
Paine Webber Bond Mutual Fund | ||
|
Orange County CA | ||
Рисковая стоимость отражает максимально возможные убытки от изменения стоимости финансового инструмента, портфельного активов, компании, которое может произойти за данный период времени с заданной вероятностью его появления. Например, когда говорят, что рисковая стоимость на 1 день составляет 100 тыс. долларов США с доверительным интервалом 95% (или вероятностью потерь 5%), это означает, что потери в течение одного дня, превышающие 100 тыс. долларов, могут произойти не более чем в 5% случаев.
Говоря простым языком, вычисление величины VAR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: "Мы уверены на X % (с вероятностью X %), что наши потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней". В данном предложении неизвестная величина Y и есть VAR. Она является функцией 2 – х параметров: N – временного горизонта и X – доверительного интервала (уровня). Так, например, стандартом для брокерско – дилерских отчетов по операциям с внебиржевыми производными инструментами, передаваемым в Комиссию по биржам и ценным бумагам США, являются N равное 2 – м неделям и X = 99 %. The Bank of International Settlements для оценки достаточности банковского капитала установил X = 99 % и N равным 10 дней. Компания Дж.П. Морган опубликовывает свои дневные значения VAR при 95 % – ом доверительном уровне.
Для определения величины рисковой стоимости необходимо знать зависимость между размерами прибылей и убытков и вероятностями их появления, т.е. распределение вероятностей прибылей и убытков в течении выбранного интервала времени. В этом случае по заданному значению вероятности потерь можно однозначно определить размер соответствующего убытка.
Типичным приемом является использование нормального распределения вероятностей.
Ключевые параметры при определении рисковой стоимости – доверительный интервал и временной горизонт . Поскольку убытки являются следствием колебаний цен на рынке, доверительный интервал служит той границей, которая, по мнению управляющего портфелем, отделяет «нормальные» колебания рынка от экстремальных ценовых всплесков по частоте их проявления. Обычно вероятность потерь устанавливается на уровне 1%, 2,5 или 5% (соответствующий доверительный интервал составляет 99%, 97,5 и 95%), однако риск – менеджер может выбрать какое-либо другое значение в соответствии со стратегией управления капиталом, которой придерживается компания.
Помимо субъективной оценки, доверительный интервал может быть установлен и объективным методом. Для этого строят график реально наблюдаемого (эмпирического) распределения вероятностей прибылей и убытков и совмещают его с графиком плотности нормального распределения. Точки пересечения «хвостов»эмпирического и нормального распределения и будут задавать искомый доверительный интервал.
Следует учитывать, что с увеличением доверительного интервала показатель рисковой стоимости будет возрастать.
Выбор временного горизонта зависит от того, насколько часто производятся сделки с данными активами, а также от их ликвидности. ДЛя финансовых институтов, ведущих активные операции на рынках капитала, типичным периодом расчета является 1 день, в то время как стратегические инвесторы и нефинансовые компании могут использовать и большие периоды времени. Кроме того, при установлении временного горизонта следует учитывать наличие статистики по распределению прибылей и убытков для желаемого интервала времени. Вместе с удлинением временного горизонта возрастает и показатель рисковой стоимости.
Значение рисковой стоимости определяется на основе свойств нормального распределения. Так, если доверительный интервал задан на уровне 95%, то величина рисковой стоимости равна 1,65 стандартного отклонения портфеля. Таким образом, величина рисковой стоимости рассчитывается по следующей формуле:
,
где Z – количество средних квадратических отклонений, соответствующее заданному доверительному интервалу;
t – временной горизонт; p – вектор размера позиций; Q – ковариационная матрица изменений стоимости позиций.
Следует заметить, что концепция рисковой стоимости неявно предполагает, что состав и структура оцениваемого портфеля активов будут оставаться неизменными на протяжении всего временного горизонта. Такое допущение вряд ли оправдано для сравнительно больших интервалов времени, поэтому при каждом обновлении портфеля необходимо корректировать величину рисковой стоимости.
Исторически подход оценки риска, основанный на VAR, впервые был рекомендован Группой Тридцати (The Global Derivatives Study Group, G30) в 1993 г. в исследовании "Derivatives: Practices and Principles". В том же году Европейский Совет в директиве "EEC 6 – 93" предписал установку резервов капитала для покрытия рыночных рисков с использованием моделей VAR. В 1994 г. The Bank of International Settlements рекомендовал банкам раскрытие своих значений VAR. В 1995 г. Базельский комитет по надзору за банками предложил банкам использовать собственные модели оценки VAR в качестве основы для расчета резервов капитала. Требования к размеру резервного капитала V рассчитывались как максимум двух величин: текущего значения VAR (VAR t ) и среднего VAR за предыдущие 60 дней, умноженного на коэффициент со значением между 3 и 4:
Значение фактора λ зависит от однодневного предсказания модели за предыдущие периоды времени. Так, если обозначить через K – число раз, когда однодневные потери превосходили предсказанное значение VAR за последний год (или последние 250 торговых дней), то различают следующие 3 зоны: "зеленая" зона (K меньше или равно 4), "желтая" зона (К в диапазоне от 5 до 9), "красная" зона (К больше или равно 10). Если K лежит в "зеленой" зоне, то λ= 3, если в "желтой" зоне, то 3< λ< 4, если в "красной" зоне, то λ =4.
Разработка и внедрение моделей VAR происходит стремительным образом. В инвестиционных компаниях и банках методология VAR может применяться по крайней мере в 4 – х направлениях деятельности.
1) Внутренний мониторинг рыночных рисков. Институциональные инвесторы могут вычислять и производить мониторинг значений VAR по нескольким уровням: агрегированному портфеля, по классу актива, по эмитенту, по контрагенту, по трейдеру/портфельному менеджеру и т.д. С точки зрения мониторинга точность оценивания величины VAR уходит на второй план поскольку в данном случае важна величина относительного, а не абсолютного значения VAR, т.е. VAR управляющего или VAR портфеля по сравнению с VAR эталонного портфеля, индекса, другого менеджера или того же менеджера в предыдущие моменты времени.
2) Внешний мониторинг. VAR позволяет создать представление о рыночном риске портфеля без раскрытия информации о составе портфеля (который может быть довольно запутанным). Кроме того, регулярные отчеты с использованием цифр VAR, предоставляемые начальству, могут служить одним из аргументов того, что риск, который взяли на себя управляющие менеджеры, находится в приемлемых рамках.
3) Мониторинг эффективности хеджа. Значения VAR могут использоваться для определения степени того, насколько хеджирующая стратегия выполняет поставленные цели. Менеджер может оценить эффективность хеджа путем сравнения величин VAR портфелей с хеджем и без хеджа. Если, например, разница между этими двумя величинами невелика, то возникает вопрос о целесообразности хеджирования или правильно ли хеджирование применяется.
4) "Что – если" анализ возможных трейдов. Методология VAR позволяет дать больше свободы и автономии управляющему персоналу, так как становится возможным сократить всевозможные бюрократические процедуры, связанные с утверждением тех или иных сделок (особенно с производными инструментами). Это достигается через мониторинг транзакций (сделок) с использованием VAR. Например, высшее руководство может просто установить правило для своих брокеров – дилеров подобного рода: "Никакая операция не должна приводить к увеличению значения VAR более чем на X% начального капитала" и после этого не вдаваться впоследствии в подробности каждого конкретного трейда.
Таким образом, компании могут использовать значения VAR для создания отчетов для менеджеров, акционеров и внешних инвесторов, так как VAR позволяет агрегировать всевозможные рыночные риски в одно число, имеющее денежное выражение. С помощью методологии VAR становится возможным вычислить оценки риска различных сегментов рынка и отождествить наиболее рисковые позиции. Оценки VAR могут использоваться для диверсификации капитала, установки лимитов, а также оценки деятельности компании. В некоторых банках оценка операций трейдеров, а также их вознаграждение вычисляется исходя из расчета доходности на единицу VAR.
Нефинансовые корпорации могут использовать технику VAR для оценки рисковости денежных потоков и принятия решений о хеджировании (защите капитала от неблагоприятного движения цен). Так одной из трактовок VAR является количество незастрахованного риска, которое принимает на себя корпорация. Среди первых нефинансовых компаний, начавших применять VAR для оценки рыночного риска, можно отметить американскую компанию Mobil Oil, немецкие компании Veba и Siemens, норвежскую Statoil.
Инвестиционные аналитики используют VAR для оценивания различных проектов. Институциональные инвесторы, такие как пенсионные фонды, используют VAR для расчета рыночных рисков. Так как было отмечено в исследовании New York University Stern School of Business, около 60% – ов пенсионных фондов США используют в своей работе методологию VAR.
Как уже отмечалось, для заданного временного интервала , где t – текущий момент времени, и доверительного уровня p VAR есть убыток на временном интервале , который произойдет с вероятностью 1 – p.
Приведем простой пример: пусть дневное значение VAR для данного портфеля есть $2 миллиона при 95% доверительном уровне. Такое значение VAR означает, что при отсутствии резких изменений в рыночных условиях однодневный убыток превысит $2 миллиона в 5% случаев (или 1 раз в месяц, если исходить из того, что в месяце 20 рабочих дней).
Говоря математическим языком, VAR = VAR t,T определяется как верхняя граница одностороннего доверительного интервала:
Probability (R t (T) < – VAR}) = 1 – α,
где α есть доверительный уровень, R t (T) есть ставка роста капитала портфеля на интервале при "непрерывном способе начисления процентов":
R t (T) = log (V(t+T)/ V(t)),
где V(t+T) и V(t) есть значения капитала портфеля в моменты времени t+T и t соответственно. Другими словами, V(t+T) = V(t) * exp(R t (T)).
Отметим, что R t (T) является случайной величиной и характеризуется, таким образом, некоторым вероятностным распределением. Значение VAR определяется из распределения приращений портфеля следующим образом:
,
где F R (x) = Probability (R ≤ x) есть функция распределения ставки роста портфеля, f R (x) есть плотность распределения R t (T).
Традиционными техниками аппроксимации распределения R t (T) являются:
параметрический метод;
моделирование по историческим данным
метод Монте – Карло
анализ сценариев
Если изменения капитала портфеля характеризуются параметрическим распределением, то VAR может быть вычислен через параметры этого распределения.
На рисунке 3.19. представлена плотность нормального распределения и указана квантиль Z 1 – α . Площадь под графиком функции плотности левее Z 1 – α (площадь "левого хвоста") равняется 1 – α.
Предполагается, что ставка роста актива μ= 0. Тогда VAR= – V t z 1 – α σ , где V t есть значение капитала портфеля в текущий момент времени t.
Пример 1: Случай одного актива.
На следующем графике 3.20. приведена гистограмма месячных ставок роста индекса FTSE – 100 с 1988 по 1995 гг.
Для вычисления VAR воспользуемся тем фактом, что вероятность вероятность в "левом хвосте" нормального распределения есть известная функция стандартного отклонения σ, а именно, 5% вероятности нормального распределения находится левее 1,65 стандартных отклонений от среднего значения μ. В данном примере имеем оценки μ=0.76% и σ=4,58%. При условии, что текущее значение капитала портфеля есть 1 млн фунтов стерлингов, значение VAR на интервале времени 1 месяц при 95% – ом доверительном уровне есть:
VAR = 1"000"000 (0.0076 – 1.65 0.0458)= 68"012 ф. ст.
Пример 2: Случай двух активов.
Рассмотрим теперь предыдущий пример портфеля, состоящего из "индекса FTSE 100"(предполагается, что инвестор может сформировать свой портфель из акций таким образом, что каждая акция имеет тот же вес, что и в индексе FTSE – 100. Таким образом, приращение такого портфеля будет равно приращению индекса FTSE – 100.), но с точки зрения инвестора, для которого базовой валютой является доллар США. Таким образом, портфель теперь состоит из двух "активов": фондового индекса, деноминированного в фунтах стерлингов, и обменного курса GBP/USD.
Пусть текущее значение обменного курса есть 1.629 долл за фунт ст.. Тогда капитал инвестиционного портфеля в долларах США есть 1"000"000/1.629= $613"874. Таким образом, значение 1 – месячного VAR фондового индекса при 95% – ом доверительном уровне есть:
VAR equity =$613"874 (0.0076 – 1.65 0.045)=$40"915
Оценками стандартного отклонения и среднего обменного курса GBP/USD на интервале времени 01/88 – 01/95 являются 0.0368 и – 0.001 соответственно. Таким образом, 1 – месячное значение VAR обменного курса GBP/USD есть:
VAR forex =$613"874 (– 0.001 – 1.65 0.0368)=$37"888
Теперь мы в состоянии вычислить суммарный VAR портфеля, используя то, что вариация портфеля из двух активов, имеющих совместное нормальное распределение, равняется сумме вариаций каждого актива и двойной корреляции между этими активами, умноженной на стандартные отклонения активов:
(VAR portfolio) 2 =(VAR equity) 2 +(VAR forex) 2 +2 ρ VAR equity VAR forex ,
где ρ есть коэффициент корреляции между ставками роста индекса FTSE – 100 и обменного курса GBP/USD. Оценкой ρ является – 0.2136, т.е. индекс FTSE – 100 и курс GBP/USD обратно коррелированы. Таким образом, 1 – месячный VAR портфеля при 95% – ом доверительном уровне есть
Таким образом, можно ожидать, что потери портфеля составят более 8% – ов начального капитала в 5 – ти из 100 месяцев в будущем.
Как можно легко заметить, VAR портфеля оказался меньше суммы VAR индекса и обменного курса (равной $78"803). Это явилось следствием диверсификации портфеля : так как активы имеют отрицательную корреляцию, то убытки по одному активу компенсируются прибылью по другому активу.
Кроме того, как и следовало ожидать, величина VAR для, например, американского инвестора в индекс FTSE – 100 оказывается большей по сравнению с величиной VAR для британского инвестора (равной GBP68"012*1.629=USD41"751), инвестирующего свои средства в тот же "актив – индекс". Это явилось следствием дополнительного риска, который несет в себе обменный курс GBP/USD.
В приведенных выше примерах нормальное распределение было избрано лишь для иллюстративных целей в силу простоты проводимых вычислений. На практике, как известно, приращения цен активов имеют, как говорят, более тяжелые "хвосты" по сравнению с нормальным законом, т.е. в реальности наблюдается больше "экстремальных" событий по сравнению с тем, что можно было бы ожидать при нормальном распределении. VAR по своей природе, как раз и имеет дело с предсказанием событий из "хвостов" распределения (с событиями из "левого хвоста" для "длинных" позиций по активу и с событиями из "правого хвоста" для "коротких" позиций по активу). Подобные события "катастрофического риска", хорошо известны в страховом и перестраховочном бизнесе.
Метод моделирования по историческим данным состоит в конструировании распределения изменений портфеля R t (T) по историческим данным. В данном случае делается только одна гипотеза о распределении доходности капитала портфеля: "будущее" будет вести себя также как и "прошлое". Для примера 1, разобранного выше, имеем что 5% – ая квантиль исторических приращений индекса FTSE – 100 есть – 6.87% (отмечена вертикальной линией на гистограмме). Таким образом, используя исторические данные, получаем следующую оценку VAR для портфеля из "индекса FTSE – 100":
VAR=GBP 1"000"000 * (– 6.87%)=GBP 68"700
(сравните с величиной VAR=GBP 68"012 из примера 1).
Метод Монте – Карло заключается в определении статистических моделей для активов портфеля и их моделировании посредством генерации случайных траекторий. Значение VAR вычисляется из распределения ставок роста капитала портфеля, аналогичного тому, которое изображено на гистограмме для индекса FTSE – 100, но полученного в результате искусственного моделирования.
Метод анализа сценариев изучает эффект изменения капитала портфеля в зависимости от изменения величин рисковых факторов (напр., процентной ставки, волатильности) или параметров модели. Моделирование происходит в соответствии с определенными "сценариями". Так многие банки оценивают величину "PV01" своих портфелей с "фиксированной доходностью" (fixed – income portfolios, т.е. портфелей, состоящих из инструментов "на процентную ставку": облигаций, форвардов на процентную ставку, свопов и т.д.), которая вычисляется как изменение капитала портфеля при параллельном сдвиге кривой доходности на 100 базисных пунктов.
Использование того или иного метода должно основываться на таких факторах как качество базы данных, простота реализации метода, наличие быстродействующих компьютеров, требования к надежности полученных результатов и т.д.
Хотелось бы отметить, что методология VAR не является универсальным способом предупреждения финансовых потерь. Она всего лишь помогает компаниям представить являются ли риски, которым они подвержены, теми рисками, которые они хотели бы на себя принять или думают, что они на себя приняли . VAR не может сказать управляющему компании "сколько риска нужно взять", а может только сказать "сколько риска уже взято". VAR может и должен использоваться не взамен, а в дополнение к другим методам анализа риска таким, например, как Shortfall – at – Risk (SAR, Средняя Величина Убытка ), когда интересуются не только граничной величиной капитала , ниже которой следует ожидать убыток с определенной долей вероятности, а и размером этого убытка.
Как правило, расчет рисковой стоимости сопровождается детальным анализом нескольких возможных сценариев, моделированием эмпирических распределений вероятностей и тестированием портфеля на устойчивость к изменениям основных параметров. Величина рисковой стоимости, как обобщающая оценка рыночного риска, нужна в первую очередь для принятия оперативных решений высшим руководством компании.
Неразрывно связаны и непосредственно зависят друг от друга. При увеличении потенциальной прибыли растет и уровень риска. И если интуитивно осознание данного понятия не вызывает проблем, то с реальной оценкой все сложнее.
Виды рисков
В своей деятельности каждому инвестору приходится мириться с целой группой разных рисков – кредитным, рыночным и системным, а также риском ликвидности.
При этом ключевое значение имеет рыночный риск, ведь именно в нем кроются вероятные потери инвестора в случае возможного изменения цен.
Зачастую сложнее всего произвести оценку рисков инвестиционного портфеля , ведь в нем может быть десятки, а то и сотни инструментов, каждый из которых торгуется на мировом рынке. Казалось бы, что риск портфеля можно выразить в виде стандартного отклонения его цены. Но и здесь много побочных факторов, которые не дают провести качественную оценку. К примеру, управляющие предпочитают получать данные о риске с учетом размера вероятных потерь, а не стандартного отклонения.
Нюансы метода VaR
Сегодня метод оценки рисков VaR пользуется большой популярностью среди ряда инвесторов и банков. Его задача – выразить существующие инвестиционные риски одним числом. По своей сути VaR – это общий объем потерь, который не превышает потери в цене портфеля за какой-то временной промежуток и с учетом существующей вероятности.
Для точного вычисления необходимо знать функции распределения портфельной прибыли в течение определенного временного промежутка. Чаще всего вычисление величины VaR осуществляется для периода от одного до десяти дней. При этом уровень достоверности очень высок – до 99%.
Для точного расчета VaR необходимо учитывать несколько основных параметров – заданный временной интервал (для которого производится вычисление), а также состав и функцию распределения общей цены инвестиционного портфеля.
Казалось бы, что получить информацию о составе портфеля не сложно, но на практике с этим возникают проблемы, особенно если речь идет о больших компаниях. В арсенале последних может быть тысячи активов, уследить за которыми довольно сложно. Еще один важный момент – фиксация стоимости инструментов. Как осуществить задачу, ведь в каждой стране торговые сессии проходят в свое время. Какой период выбирать? На практике чаще всего используется время закрытия торгов.
Методы оценки VaR
Для максимального удобства оценки рисков и удовлетворения запросов различных категорий инвесторов было разработано три основных метода оценки VaR . У каждого из них есть свои особенности:
1) Исторический метод подразумевает исследование изменения цены сформированного портфеля за какой-то период времени в прошлом. Для расчета производится выборка исторических данных по стоимости активов за фиксированный (уже пройденный) промежуток. Только после этого производится расчет VaR. Преимущества данного метода – простота, ведь можно оценить портфель с любыми активами, в том числе и производными (фьючерсами, опционами и так далее). Недостаток – огромные трудозатраты по сбору исторических данных.
2) Аналитический метод подразумевает выявление и учет в расчете факторов рынка, которые оказывают влияние на стоимость портфеля. Преимущество метода в том, что большая часть необходимых параметров уже есть под рукой, следовательно, расчет VaR происходит довольно быстро. Недостаток – низкое качество и точность расчета. Особенно, если в портфеле содержатся бумаги с нелинейными функциями платежей.
3) Метод Монте-Карло подразумевает моделирование вероятных изменений цены с учетом ряда предположений. Здесь также учитываются рыночные факторы, которые могут повлиять на цену портфеля. Преимущество данного метода – возможность легкой перенастройки с учетом экономических прогнозов. Недостаток – расчет показывает не конечную цену портфеля, а лишь вероятный сценарий событий. Да и вычисления занимают много времени.
Выводы
На сегодняшний день VaR считается общепризнанной методикой оценки рисков не только для участников развитой финансовой системы Запада, но и ряда регулирующих органов. С помощью этой методики можно подобрать «ключик» к числовому измерению риска, к чему так стремятся многие инвесторы.
Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш
Выдержка из книги «Анализ кредитных рисков».
Существуют различные методологии оценки возможных потерь по финансовым инструментам и портфелям., отметим основные из них:
- VaR (Value-at-Risk - «стоимость под риском»);
- Shortfall;
- Аналитические подходы (например, дельта-гамма подход);
- Stress Testing (новая методика).
Рассмотрим наиболее распространенный метод количественной оценки величины рыночного риска торговых позиций - VaR :
VaR - это выраженная в денежных единицах базовой валюты оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени (временной горизонт) потери с заданной вероятностью (уровень доверия). Базой для оценки VaR является динамика курсов и цен инструментов за установленный период времени в прошлом.
Временной горизонт часто выбирается исходя из срока нахождения финансового инструмента в портфеле или его ликвидности, исходя из минимального реального срока, на протяжении которого можно реализовать на рынке данный инструмент без существенного убытка. Временной горизонт измеряется числом рабочих или торговых дней.
Уровень доверия, или вероятность, выбирается в зависимости от предпочтений по риску, выраженных в регламентирующих документах банка. На практике часто используется уровень в 95% и 99%. Базельский комитет по банковскому надзору рекомендует уровень в 99%, на который ориентируются надзорные органы.
Величина VaR рассчитывается тремя основными методами:
- параметрическим;
- методом исторического моделирования;
- методом Монте-Карло.
Параметрический метод расчёта VaR
Данный метод может использоваться для оценки рыночного риска финансовых инструментов, по которым банк имеет открытую позицию. Стоит отметить, что параметрический метод плохо подходит для оценки риска активов с нелинейными ценовыми характеристиками. Основным недостатком данного метода является предположение о нормальном распределении доходностей финансовых инструментов, которое, как правило, не соответствует параметрам реального финансового рынка. Для параметрического расчёта VaR необходимо регулярно рассчитывать волатильность котировок ценных бумаг, валютных курсов, процентных ставок или иных риск-факторов (переменная, от которой в наибольшей степени зависит изменение стоимости открытых банком позиций).
Базовая формула для определения VaR с учетом стоимости позиции актива имеет следующий вид:
VaR = V* λ *σ,
Где:
λ - квантиль нормального распределения для выбранного доверительного уровня. Квантиль показывает положение искомого значения случайной величины относительно среднего, выраженное в количестве стандартных отклонений доходности портфеля. При вероятности отклонения от среднего, равного 99%, квантиль нормального распределения составляет 2,326, при 95% - 1,645;
σ - волатильность изменения риск-фактора. Волатильность - это стандартное (среднеквадратическое) отклонение изменения риск-фактора относительно его предыдущего значения;
V - текущая стоимость открытой позиции. Под открытой позицией понимается рыночная стоимость финансовых инструментов, купленных или проданных банком для получения прибыли или иных целей таким образом, что количество финансовых инструментов, находящихся в рассматриваемый момент на балансовых или забалансовых счетах, не равно нулю.
Пример
Инвестор владеет акциями компании стоимостью 10 млн.руб. Заданный уровень доверия 99% с временным горизонтом в один день. Однодневная волатильность цены акций (σ) = 2,15.
VaR = 10 * 2,33* 2,15 = 50,09 млн.руб.
Другими словами, вероятность того, что убытки инвестора превысят 50 млн.руб. в течение ближайших суток, равна 1 %. Убытки, превышающие 50 млн.руб. ожидаются в среднем один раз в 100 дней торгов.
Метод исторического моделирования расчета VaR
Данный метод основан на предположении о стационарности поведения рыночных цен в ближайшем будущем.
Сначала выбирается период времени (число рабочих или торговых дней), за который отслеживаются исторические изменения цен всех активов, входящих в портфель. Для каждого периода времени моделируются сценарии изменения цены. Гипотетическая цена актива рассчитывается как его текущая цена, умноженная на прирост цены, соответствующий данному сценарию. Затем производится полная переоценка всего текущего портфеля по ценам, смоделированным на основе исторических сценариев, и для каждого сценария вычисляется, насколько может измениться стоимость текущего портфеля. После этого полученные результаты ранжируются по номерам в порядке убывания (от самого большого прироста до самого большого убытка). И, наконец, в соответствии с желаемым уровнем доверия величина VaR определяется как такой максимальный убыток, который равен абсолютной величине изменения с номером, равным целой части числа (1- квантиль при заданном уровне доверия) * число сценариев.
В отличие от параметрического метода, метод исторического моделирования позволяет наглядно и полно оценить риск, он хорошо подходит для оценки риска активов с нелинейными ценовыми характеристиками. Преимущество исторического моделирования заключается в том, что он исключает высокое влияние модельного риска и основан на реально наблюдавшейся в прошлом модели, без учета предположений о нормальном распределении или какой-либо другой стохастической модели динамики цен на рынке. Стоит отметить, что при расчете VaR данным методом присутствует высокая вероятность ошибок измерения при малом периоде исторической выборки. Кроме того, из выборки не исключаются наиболее старые наблюдения, что резко ухудшает точность модели.
Пример:
В 400 сценариях оказалось 300 случаев убытка и 100 случаев прироста. VaR (95%) - это абсолютная величина 21-го по величине убытка (400+1-1(1-0,05)*400=21, где 0,05 - квантиль при уровне доверия 95%), т.е. изменения под номером 380.
Метод Монте-Карло расчета VaR
Метод Монте-Карло, или метод стохастического моделирования, является самым сложным методом расчета VaR, однако его точность может быть значительно выше, чем у других методов. Метод Монте-Карло очень схож с методом исторического моделирования, он также основан на изменении цен активов, только с заданными параметрами распределения (математическим ожиданием, волатильностью). Метод Монте-Карло подразумевает осуществление большого количества испытаний - разовых моделирований развития ситуации на рынках с расчетом финансового результата по портфелю. В результате проведения данных испытаний будет получено распределение возможных финансовых результатов, на основе которого путем отсечения наихудших согласно выбранной доверительной вероятности может быть получена VaR-оценка. Метод Монте-Карло не подразумевает свертывания и обобщения формул для получения аналитической оценки портфеля в целом, поэтому и для результата по портфелю и для волатильностей и корреляций можно использовать значительно более сложные модели. Метод заключается в следующем. По ретроспективным данным (периоду времени) рассчитываются оценки математического ожидания и волатильность. С помощью датчика случайных чисел данные генерируются с помощью нормального распределения и заносятся в таблицу. Далее вычисляется траектория моделируемых цен по формуле натурального логарифма и производится переоценка стоимости портфеля.
Так как оценка VaR методом Монте-Карло практически всегда производится с использованием программных средств, данные модели могут представлять собой не формулы, а достаточно сложные подпрограммы. Таким образом, метод Монте-Карло позволяет использовать при расчете рисков модели практически любой сложности. Преимущество метода Монте-Карло заключается еще и в том, что предоставляется возможность использовать любые распределения. Кроме того, метод позволяет моделировать поведения рынков - трендов, кластеров высокой или низкой волатильности, меняющихся корреляций между факторами риска, сценариев "что-если" и т.д. При этом стоит отметить, что данный метод требует мощных вычислительных ресурсов и при простейших реализациях может оказаться близок к историческому или параметрическому VaR, что приведет к наследованию всех их недостатков.
Недостатком метода оценки рисков VaR является то, что он игнорирует очень многие значительные и интересные детали, необходимые для реального представления рыночных рисков. VaR не учитывает, какой вклад в риск вносит рынок, какие структурные изменения портфеля увеличивают риск, а также какие инструменты хеджирования контролируют специфический риск. Модель не дает информации о наихудшем возможном убытке за пределами значения VaR (при заданном уровне доверия 95% остается неизвестным, какими могут быть потери в оставшихся 5% случаев).
В качестве альтернативной меры оценки рыночного риска может использоваться методология Shortfall, которая представляет собой среднюю величину потерь, превышающих VaR. Shortfall - более консервативная мера риска, чем VaR. Для одного и того же уровня вероятности Shortfall требует резервировать больший капитал. Таким образом, он позволяет учитывать большие потери, которые могут произойти с небольшой вероятностью. Он также более адекватно позволяет оценить риск в таком распространенном на практике случае, когда распределение потерь имеет «толстые хвосты» функции распределения (отклонения на краях распределения плотности вероятностей от нормального распределения).
Расчет риска в соответствии с Положением ЦБ РФ № 313-П
Величина рыночного риска включается в расчет норматива достаточности собственных средств (капитала) банка в соответствии с Инструкцией Банка России от 16.01.2004 г. № 110-И «Об обязательных нормативах банков». Порядок расчета кредитными организациями размера рыночных рисков предусмотрен Положением ЦБ РФ «О порядке расчета кредитными организациями величины рыночного риска» от 14.11.2007 г. N 313-П. Совокупная величина рыночного риска рассчитывается по формуле:
РР = 12,5 * (ПР + ФР) + ВР,
Где:
РР - совокупная величина рыночного риска;
ПР - величина рыночного риска по финансовым инструментам, чувствительным к изменениям процентных ставок (далее - процентный риск);
ФР - величина рыночного риска по финансовым инструментам, чувствительным к изменению текущей (справедливой) стоимости на долевые ценные бумаги;
ВР - величина рыночного риска по открытым кредитной организацией позициям в иностранных валютах и драгоценных металлах.
Рассмотрим методы оценки риска, в частности рыночного, с помощью меры риска VaR (Value at Risk). Для этого разберем практический пример оценки риска для акции компании ОАО «Газпром».
Рыночный риск. Определение
Рыночный риск (англ. Market risk ) – это вероятность неблагоприятного изменения стоимости активов. На изменение стоимости влияют множество макро-, мезо-, микроэкономических факторов, к которым можно отнести цены на сырье (нефть, сталь, платина и т.д.); цены на драгоценные металлы (золото, серебро); изменения отраслевых индексов производства, национальных показателей (ВВП, безработица, ключевая процентная ставка, инфляция), уровня спроса и предложения и т.д.
Рыночные риски находятся в системе финансовых рисков и можно выделить их следующие виды:
- Фондовый риск (Equity risk) – вероятность потерь в случае неблагоприятного изменения стоимости ценных бумаг на фондовом рынке.
- Процентный риск (Interest rate risk) – вероятность потерь при изменении банковских процентных ставок.
- Товарный риск (Commodity risk) – вероятность непредвиденных потерь в случае изменения стоимости товаров.
- Валютный риск (Currency risk) – вероятность потерь из-за изменения курса валют.
Рыночные риски оценивают различные инвестиционные компании, инвестиционные и хеджевые фонды, частные инвесторы, банки, предприятия, финансовые агенты, поставщики и т.д. для минимизации возможных убытков и создания резервов. Как мы видим, рыночные риски влияют на самых различных участников финансового рынка.
Методы оценки риска
Для того чтобы управлять возможными потерями и определять резервы для страхования потерь необходима количественная оценка риска. Основная аксиома любого управления заключается в том, что управлять можно только тем, что можно количественно измерить. Все методы оценки рыночных риском можно условно разделить на две группы:
- Статистические методы оценки риска
- Стандартное отклонение доходностей (σ)
- Метод Value at Risk (Var)
- Метод CVaR
- Экспертные методы оценки риска
- Рейтинговые методы
- Бальные методы
- Метод Дельфи
К преимуществам статистических методов можно отнести возможность объективной оценки вероятности возникновения непредвиденных убытков и их абсолютного размера. Экспертные методы оценки позволяют учесть слабоформализуемые факторы риска и разработать различные сценарии его снижения.
Г.Марковиц в начале 60-х годов предложил оценивать риск как изменчивость стоимости ценных бумаг на фондовом рынке. То есть чем сильнее изменяется цена актива, тем выше риск вложения в него. Недостатками данного способа были в неспособности спрогнозировать размер и вероятность будущих убытков.
Метод оценки рыночного риска. Мера риска VaR (Value at Risk)
В 80-е годы был предложен новый критерий риска – VaR (Value at Risk) , который позволил комплексно оценить возможные убытки в будущем с выбранной вероятностью и за определенный промежуток времени. Для расчета меры риска VaR на практике используют несколько способов:
- Метод исторического моделирования («дельта нормальный», «ручной способ»).
- Метод параметрической модели.
- Статистическое (имитационное) моделирование с помощью метода Монте-Карло.
Оценка риска по методу VaR на основе исторического моделирования в Excel
Рассмотрим пример оценки риска актива на фондовом рынке по модели VaR на основе дельта нормального моделирования вероятности и размера убытка. Возьмем котировки акции ОАО «Газпром» и рассчитаем возможные убытки по данному виду актива. Для этого необходимо закачать котировки с сервиса finam.ru («Экспорт данных») или с сайта finance.yahoo.com, если вы будете оценивать рыночный риск для иностранных компаний. По рекомендации Bank of International Settlements для расчета VaR необходимо использовать не менее 250 данных по стоимости акции. Были взяты дневные котировки по ОАО «Газпром» за период 31.01.2014 – 31.01.2015.
Оценка рыночного риска методом Value at Risk (VaR)
Доходность акции ОАО «Газпром» =LN(B6/B5)
Расчет доходности акции ОАО «Газпром»
Следует отметить, что корректность использования дельта нормального метода оценки риска достигается только при подчинении факторов риска (доходности) нормальному закону распределения (Гауссовому). Для определения принадлежности распределения доходности Гауссовому распределению можно воспользоваться классическими статистическими критериями – Коломогорова-Смирнова или Пирсона.
Математическое ожидание =СРЗНАЧ(C5:C255)
Стандартное отклонение =СТАНДОТКЛОН(C5:C255)
Расчет параметров функции распределения доходностей акции
Следующим этапом в расчете меры риска VaR является определение квантиля данного нормального распределения. В статистике под квантилем понимают – значение функции распределения (Гаусса) по заданным параметрам (математического ожидания и стандартного отклонения) при которых функция не превышает данное значение с заданной вероятностью. В нашем примере уровень вероятности был взят 99%.
Рассчитаем в Excel значение квантиля для распределения доходностей акции ОАО «Газпром».
Квантиль =НОРМОБР(1%;E5;F5)
Оценка квантиля в Excel
Прогнозирование будущей стоимости акции на основе метода VaR
где:
P t +1 – минимальная стоимость акции в следующем периоде времени t с заданным уровнем квантиля.
Для прогнозирования будущей стоимости акции (актива) на несколько периодов вперед следует использовать модификацию формулы:
где:
q – квантиль распределения доходностей акции;
P t – стоимость акции в момент времени t;
P t +1 – минимальная стоимость акции в следующем периоде времени t при заданном уровне квантиля;
n – глубина прогноза возможной минимальной стоимости акции.
Формула расчета будущей стоимости акции в Excel будет иметь вид:
Минимальная стоимость акции ОАО «Газпром» на следующий день =(1+G5)*B255
Минимальная стоимость акции ОАО «Газпром» через 5 дней =B255*(1+G5*КОРЕНЬ(5))
Прогнозирование минимальной стоимости акции с заданной вероятностью
Значения P t +1 показывает, что с вероятностью 99% акции ОАО «Газпром» не опустятся ниже цены равной 137.38руб, а значение P t +5 показывает возможную минимальную стоимость акции с вероятностью 99% на 5 следующих дней. Для расчета абсолютного значения возможного убытка следует определить процентное изменение стоимости акции. Формулы расчета в Excel будут следующие:
Относительное изменение стоимости акции
Относительное снижение стоимости акции на следующий день =LN(F9/B255)
Относительное снижение стоимости акции за пять дней =LN(F10/B255)
Абсолютное изменение стоимости акции
Абсолютное снижение стоимости акции на следующий день = F9-B255
Абсолютное снижение стоимости акции за пять дней =F10-B255
Таким образом читать экономический смысл показателя VaR заключается в следующем: в течение следующего дня стоимость акции ОАО «Газпром» с вероятностью 99% не окажется ниже 137,38руб. и абсолютные убытки не превысят 6,44руб (5%) на акцию. И аналогично для оценки VaR на пять дней вперед: в течение пяти дней стоимость акции ОАО «Газпром» с вероятностью 99% не опуститься ниже 129,42 руб., и потеря капитала не превысит 11% (14,4руб на акцию).
Оценка меры риска VaR на основе «ручного способа» в Excel
Второй метод расчета меры риска VaR называется «ручным способом», так как позволяет не привязываться к распределению, по которому изменяется стоимость актива. Это одно из его главных преимуществ по отношению к дельта нормальному методу. Для оценки рыночного рискам будем использовать те же входные данные – котировки ОАО «Газпром». Этапы расчета VaR следующие:
Расчет максимума и минимума доходностей акции ОАО «Газпром»
По рассчитанной доходности акции ОАО «Газпром» определяем максимум и минимум доходности. Для этого воспользуемся формулами:
Максимальное значение доходности акции =МАКС(C5:C255)
Минимальное значение доходности акции =МИН(C5:C255)
Выбор количества интервалов группировки доходностей/убытков акции
Для ручного способа оценки риска необходимо взять количество интервалов деления группировки доходностей. Количество может быть любое, в нашем примере мы возьмем N=100.
Определение ширины интервала группировки доходностей
Ширина интервала или шаг изменения группы необходим для построения гистограммы и рассчитывается как деление максимального разброса доходностей к количеству интервалов. Формула расчета интервала следующая:
Размер интервала доходностей акции =(E5-F5)/H5
Оценка меры риска VaR «ручным способом»
На следующем этапе необходимо построить гистограмму распределения доходностей по выбранным интервалам. Для этого рассчитываем границы всех групп доходностей (всего их 100). Формула расчета следующая:
Граница доходностей акции =H5+$E$11
Расчет границы доходностей в Excel для акции ОАО «Газпром»
После определения границ групп доходностей строим накопительную гистограмму. Для этого заходим в надстройку «Данные» → «Анализ данных» → «Гистограмма».
В открывшемся окне заполняем «Входные интервалы», «Интервалы карманов», также выбираем опцию «Интегральный процент» и «Вывод графика».
Пример построения гистограммы доходностей ОАО «Газпром»
В результате будет сформирован новый рабочий лист с графиком и частотой попадания доходности/убытка в тот или иной интервал. График накопительным итогом имеет следующий вид:
Гистограмма накопительной доходности в Excel
Итак первый столбец полученной таблицы это квантиль данного для распределения доходностей/убытков, вторая частота попадания доходностей в тот или иной интервал, третья отражает вероятность появления убытков. В таблице с накопительной вероятностью попадания в тот или иной интервал необходимо найти уровень ~1%.
Определение квантиля доходностей акции «ручным способом»
Значение квантиля соответствует -0,039, тогда как при дельта нормальном способе оценки риска квантиль составил -0,045. Для оценки рисков воспользуемся уже полученными формулами оценки и рассчитаем размер убытков. На рисунке ниже показана оценка возможных убытков на следующий день и в течение пяти дней с вероятностью 1% составят 4 и 9% соответственно.
Результат оценки «ручным способом» меры риска VaR в Excel
Сложность использования метода оценки риска VaR
Отечественный фондовый рынок имеет достаточно высокую степень волатильности, на рынке наблюдаются «тяжелые хвосты» – то есть возникновение частых кризисов с большим размером убытков. В результате модель VaR не может точно спрогнозировать возможные будущие потери инвестора. Следует отметить, что данная модель хорошо применима для товарных низковолательных рынков нежели фондовых.
Резюме
В данной статье мы рассмотрели методы оценки риска на примере акции ОАО «Газпром», для этого пошагово разобрали, как строится современная оценка риска Value at Risk (VaR) в Excel двумя способами: дельта нормальным моделированием и «ручным способом».
В настоящей главе рассматривается методика определения риска портфеля, получившая название VaR. Мы определим понятия абсолютного и относительного VaR, диверсифицированного и не диверсифицированного VaR и приведем метод расчета параметрической модели VaR. В заключение главы определим понятие EaR.
В 90-е годы прошлого века теория и практика управления портфелем обогатилась концепцией VaR (Value at Risk). На русский язык VaR можно перевести как стоимость (портфеля), которой рискует инвестор. Появление методики VaR объясняется тем, что во многих случаях дисперсия не может рассматриваться как подходящий показатель измерения риска портфеля. Например, дисперсия не учитывает возможную скошенность в распределении доходности портфеля, если оно не является симметричным. Наиболее ярким случаем являются портфели, включающие значительную долю производных инструментов. Таким образом, VaR - это показатель, оценивающий риск портфеля. Следует подчеркнуть, что VaR оценивает рыночный риск. Он позволяет количественно оценить ожидаемые потери в стоимости портфеля в "нормальных условиях" функционирования рынка.
VaR - это показатель риска, который показывает, какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Соответственно VaR также говорит о том, что потери в стоимости портфеля в течение этого периода времени будут меньше данной величины с определенной вероятностью. Доверительную вероятность можно определить как показатель, говорящий о том, какое количество раз из каждых 100 раз потери в стоимости портфеля не превысят данного уровня. Поэтому VaR призван ответить на следующий вопрос: "Какой может оказаться максимальная потеря в стоимости портфеля, например, в 95% случаев в течение следующего дня?" Уровень доверительной вероятности задается заранее и зависит от характера компании, владеющей портфелем, и от субъективного подхода управляющего портфелем к этому вопросу. Обычно он равен 95% или 99%. Следует подчеркнуть, что выбор того или иного уровня доверительной вероятности не говорит об отношении инвестора к риску, так как VaR - это только определенная точка в распределении ожидаемых результатов доходности портфеля.
Пусть стоимость портфеля инвестора составляет 100 млн. руб., VaR для одного дня равен 2 млн. руб. с доверительной вероятностью 95%. Данную информацию можно интерпретировать следующим образом: а) вероятность того, что в течение следующих 24 часов потери в стоимости портфеля составят меньше 2 млн. руб. равна 95% или б) вероятность того, что в течение следующих 24 часов потери в стоимости портфеля превысят 2 млн. руб. равна 5%, или в) инвестор вправе ожидать, что в среднем его потери в течение 95 дней из каждых 100 дней не превысят 2 млн. руб., или что они окажутся больше 2 млн. руб. в течение 5 дней из каждых 100 дней.
При расчете VaR для некоторого временного интервала предполагается, что состав портфеля за этот период остается неизменным. В противном случае необходимо пересчитывать и значение VaR, так как новые активы, включаемые в портфель, как правило, изменяют и его риск.
Наиболее распространенный период, для которого рассчитывается VaR, -это один день или точнее - 24 часа. Однодневный VaR также обозначают как DEaR (Daily Earning at Risk). Базельский банк международных расчетов рекомендует банкам рассчитывать 10-дневный VaR с доверительной вероятностью 99% для определения минимального уровня собственных средств. Можно рассчитывать данный показатель и для более длительных периодов времени. Однако в этом случае состав портфеля должен оставаться неизменным. Для крупных институциональных инвесторов это условие вряд ли выполнимо. В целом, чем больше период времени, для которого рассчитывается VaR, тем больше будет и его величина, так как естественно, что на более длительном отрезке времени возрастает и вероятность более крупных потерь. Выбор более короткого периода VaR диктуется и самим подходом к статистической оценке данного показателя. Чтобы получить объективную оценку VaR, необходимо некоторое минимальное количество наблюдений. Например, если для оценки требуется 250 наблюдений, то однодневный VaR можно определить на основе данных за один год. Если же определяется десятидневный VaR, то 250 наблюдений с не перекрывающимися периодами в десять дней потребуют данных практически за семь лет. Для текущей оценки данные семилетней давности могут оказаться уже и не достаточно представительными. Кроме того, по ряду инструментов они могут просто отсутствовать физически.
При анализе риска с помощью VaR задача сводится к тому, чтобы построить распределение убытков и прибылей, которые может принести портфель инвестора в течение определенного периода времени и определить ту точку на этом распределении, которая бы соответствовала требуемому уровню доверительной вероятности. Существуют разные методики определения VaR, Все их можно разделить на две группы: параметрические модели (их еще называют аналитическими или дисперсионно-ковариационными) и непараметрические модели. Модель называется параметрической, если нам известна функция распределения случайной величины и параметры ее распределения. В параметрической модели VaR предполагается, что доходность финансовых активов следует определенному виду вероятностного распределения, обычно нормального. Используя прошлые данные статистики, определяют ожидаемые значения доходностей, дисперсий и ковариаций доходностей активов. На их основе рассчитывают VaR портфеля для заданного уровня доверительной вероятности по следующей формуле:
Примером параметрической модели VaR являются "Рискметрики" банка Дж.П.Морган, обнародованные им в 1994 г.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год равно 25%.
Так как необходимо определить однодневный VAR, то вначале рассчитаем стандартное отклонение доходности акции для одного дня, учитывая, что в году 250 торговых дней:
По таблице нормального распределения (функция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. VaR портфеля равен:
Таким образом, в течение следующих 24 часов максимальные потери в стоимости портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95% могут составить 260,7 тыс. руб. Другими словами, в течение следующих 24 часов вероятность потерять сумму денег меньше 260,7 тыс. руб. равна 95%, а сумму больше 260,7 тыс. руб. - 5%.
Существуют понятия абсолютного и относительного значения VaR. В приведенном выше примере был представлен абсолютный VaR. Абсолютный VaR можно определить как максимальную сумму денег, которую может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Относительный VaR отличается от абсолютного тем, что он рассчитывается относительно ожидаемой доходности портфеля. Его значение учитывает, что инвестор с заданной вероятностью не только может потерять сумму равную абсолютному VaR, но и не получить сумму равную средней ожидаемой доходности портфеля за рассматриваемый период. Так, в примере 1 однодневный абсолютный VaR с доверительной вероятностью 95% составлял 260,7 тыс. руб. Допустим, что на основании данных за прошлый год средняя доходность портфеля за день составляла 0,1%. От 10 млн. руб. это составляет 10 тыс. руб. Тогда относительный VaR равен:
Если ожидаемая доходность портфеля равна нулю, то значения абсолютного и относительного VaR совпадают.
Рассмотрим еще один пример на расчет абсолютного значения VaR.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции двух компаний. Уд. вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, второй - 40%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%, второй - 1,9%, коэффициент корреляции доходностей акций равен 0,8.
Определяем стандартное отклонение доходности портфеля:
По таблице нормального распределения (функция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. По формуле (9.1) определяем VaR портфеля:
Аналогично примеру 2 находится VaR для портфеля, состоящего и из акций большего количества компаний. В этом случае дисперсия доходности портфеля рассчитывается по формуле (1.30).
При расчете риска портфеля вместо формулы (1.30) удобно воспользоваться матричной формой записи (см. формулу (1.39)). Тогда дисперсию доходности портфеля в примере 2 найдем как:
где 2,4 - ковариация доходностей акций.
Стандартное отклонение доходности портфеля равно:
В примере 2 VaR можно определить также другим способом. Вначале определить VaR по каждой акции и после этого VaR портфеля. В этом случае VaR портфеля рассчитывается по формуле:
где V - матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге;
VT- транспонированная матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге, т.е. матрица-строка;
р - корреляционная матрица размерности пхп (п - число активов в портфеле).
Определим в примере 2 абсолютный VaR для первой акции:
Абсолютный VaR для второй акции равен:
Абсолютный VaR портфеля составляет:
Инвестор может держать средства в иностранных ценных бумагах. В этом случае он подвергается помимо риска падения курсовой стоимости бумаг и валютному риску. Риск состоит в том, что иностранная валюта подешевеет. В результате ее конвертации в национальную возникнут потери. Поэтому показатель VaR портфеля должен отразить данный факт. Рассмотрим вначале портфель, состоящий из одной акции иностранной компании.
Российский инвестор купил акции компании А на 357,143 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции составляет 1,58%. Курс доллара 1долл.=28 руб., стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,6%, коэффициент корреляции между курсом доллара и ценой акции компании А равен 0,2. Определить VaR портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95%.
Текущий курс доллара равен 28 руб., поэтому рублевый эквивалент позиции инвестора составляет:
Это означает, что в настоящий момент инвестор рискует суммой в 10 млн. руб., и данный риск обусловлен двумя факторами: возможным падением котировок акций компании А и падением курса доллара. Реализация любого из данных рисков приведет к падению стоимости портфеля ниже суммы в 10 млн. руб. Поскольку цена акций компании А и валютный курс имеют корреляцию существенно меньшую чем плюс один, то общий риск портфеля уменьшается за счет эффекта диверсификации. Поэтому дисперсия доходности портфеля равна:
Стандартное отклонение доходности составляет:
Однодневный VaR портфеля равен:
В данной задаче дисперсию портфеля можно было определить с помощью матричного исчисления, а именно:
В примере 2 мы привели еще один способ нахождения VaR портфеля с помощью формулы (9.2) на основе расчета VaR по каждому активу. Решим пример 3 с помощью данной формулы. Вначале определяем показатели VaR для акции (VaR a) и валютного курса (VaR b):
VaR портфеля составляет:
Рассмотрим пример, когда портфель инвестора включает разные валюты.
Курс доллара составляет 1долл.=28 руб., курс евро - 1евро=34 руб. Банк купил на спотовом рынке 357,143 тыс. долл. и осуществил короткую продажу 294,118 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете на один день составляет 0,6%, евро - 0,65%, коэффициент корреляции равен 0,85. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95%.
Рассчитаем VaR в рублях, так как банк закроет свои позиции в иностранных валютах, конвертировав их в рубли. Долларовая позиция банка в рублях составляет:
Позиция по евро в рублях:
Поскольку банк продал евро, то для дальнейших расчетов его позицию следует записать со знаком минус, т.е. - 10млн.руб.
VaR по долларовой позиции равен:
VaR по евро равен:
VaR портфеля согласно формуле (9.2) составляет:
В приведенных выше примерах мы рассчитывали однодневный VaR на основе стандартных отклонений для одного дня. Однако данные могут быть заданы в расчете на год. Один из вариантов расчета состоит в том, чтобы перевести годичное стандартное отклонение в однодневное по формуле:
После этого можно воспользоваться приведенными выше алгоритмами.
Знаете ли Вы, что: Форекс-брокер Exness ни под каким предлогом ни одного ордера своих клиентов без их согласия за всю историю своего существования.
Другой подход состоит в том, чтобы матрицу ковариаций, составленную из годичных значений, перевести в матрицу с однодневными значениями. Кроме этого, данную матрицу также удобно сразу скорректировать в соответствии с заданным уровнем доверительной вероятности. Тогда годичную матрицу ковариаций следует умножить на коэффициент:
Пусть в примере 4 годичное стандартное отклонение изменения курса доллара равно 9,4868%, а евро - 10,2774%, количество торговых дней в году 250. Определить однодневный VaR для доверительной вероятности 95%.
Коэффициент К равен:
Ковариационная матрица на основе годичных значений равна (стандартные отклонения берем в десятичных значениях):
Умножим матрицу В на коэффициент К. Получим матрицу Q":
После этого VaR портфеля находим по формуле:
VaR портфеля согласно формуле (9.3) равен:
В примерах мы рассчитывали VaR с учетом корреляций между активами портфеля. Такой VaR называют диверсифицированным. Если определить VaR без учета корреляций, то получим не диверсифицированный VaR. Он представляет собой простую сумму индивидуальных VaR активов портфеля. Покажем это для портфеля из двух активов. Пусть стандартные отклонения и уд. Веса первого и второго активов соответственно равны сг1, вх и ст2, в2, стоимость портфеля составляет Р. Тогда VaR портфеля для уровня доверительной вероятности а равен:
Если коэффициент корреляции между доходностями активов равен единице, то формула (9.4) принимает вид:
Формула (9.5) говорит о том, что в случае полной положительной корреляции между активами VaR портфеля является суммой индивидуальных VaR входящих в него активов. Поскольку корреляции могут изменяться со временем, то наряду с показателем диверсифицированного VaR целесообразно рассчитывать и не диверсифицированный VaR. Он покажет максимум возможных потерь (при нормальных условиях рынка) для данного уровня доверительной вероятности в случае неустойчивости корреляций или ошибки их оценок.
Допущение нормальности распределения доходности портфеля позволяет легко переводить значения VaR из одного уровня доверительной вероятности в другой. VaR портфеля для доверительной вероятности z 1 равен:
для доверительной вероятности z 2:
Выразим значение Ра из формулы (9.6):
И подставим в формулу (9.7):
Таким образом, зная величину VaR 1 для доверительной вероятности z 1 , по формуле (9.8) легко получить VaR 2 для доверительной вероятности z 2 .
Аналогичным образом можно пересчитывать значения VaR для разных периодов времени. Пусть VaR портфеля для периода t 1 равен:
для периода t 2:
Выразим значение Paz из формулы (9.9):
и подставим в формулу (9.10):
Таким образом, зная величину VaR 1 для периода времени t 1 , по формуле (9.11) легко получить VaR 2 для периода времени t 2 .
Содержание