Фрактал Мандельброта – изучение и применение в торговле. Использование фракталов на форекс. Индикаторы фракталов и их модификации. Фрактал Мандельброта — подробное описание. Как настраивать и пользоваться индикатором фракталом на Форекс

Существует бесконечное множество различных фракталов. Один из них носит имя Мандельброта. Фрактал Мандельброта – это множество точек на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность

при начальном условии , не уходит в бесконечность.

Рис. 3.6. Фрактал Мандельброта

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou ), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату изучал рекурсивные процессы вида (3.2). Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании (3.2).

Фату нашел, что орбита при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований – своё для каждого значения c . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность .

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер. Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта – один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

Если использовать обозначения и , где – мнимая единица, то итеративная последовательность (3.2) преобразуется в:

На рис 3.6.показан графический образ фрактала Мандельброта (на комплексной плоскости). Как обычно, действительная ось расположена горизонтально, а мнимая – вертикально. Закрашенная черным область – это и есть множество Мандельброта. Оттенки белого и голубого соответствуют его дополнению к множеству комплексных чисел. Белым цветом обозначены точки с координатами p и q , которые достаточно «медленно» уходят в бесконечность, синим цветом – точки, которые «быстро» уходят в бесконечность.

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём, самая большая в центре представляет собой кардиоиду . Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой.

Чтобы построить изображение фрактала Мандельброта, подобное тому, что показано на рис. 3.6, необходимо использовать алгоритм (3.3) и теорему Фату. Сравнение с числом 2 (в англоязычной литературе его называют «bail-out ») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе.

Изображение, полученное таким способом, является лишь приближением к реальному множеству Мандельброта. Более качественные результаты можно получать, увеличивая максимальное количество итераций, однако при этом пропорционально возрастает и время расчётов.

Строго математически, изображение множества Мандельброта должно быть чёрно-белым. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, равный количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля.

Множество Мандельброта

Расширенное определение

Вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки c {\displaystyle c} на комплексной плоскости следующим образом:

c = x + i ⋅ y , Z 0 = 0 , Z 1 = Z 0 2 + c = = x + i y Z 2 = Z 1 2 + c = = (x + i y) 2 + x + i y = = x 2 + 2 i x y − y 2 + x + i y = = x 2 − y 2 + x + (2 x y + y) i , Z 3 = Z 2 2 + c = … {\displaystyle {\begin{aligned}c&=x+i\cdot y,\\Z_{0}&=0,\\Z_{1}&=Z_{0}^{2}+c=\\&=x+iy\\Z_{2}&=Z_{1}^{2}+c=\\&=(x+iy)^{2}+x+iy=\\&=x^{2}+2ixy-y^{2}+x+iy=\\&=x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i,\\Z_{3}&=Z_{2}^{2}+c=\ldots \end{aligned}}}

Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости , то есть заменив z n {\displaystyle z_{n}} на x n + i ⋅ y n {\displaystyle x_{n}+i\cdot y_{n}} , а c {\displaystyle c} на p + i ⋅ q {\displaystyle p+i\cdot q} , мы получим:

x n + 1 = x n 2 − y n 2 + p , {\displaystyle x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+p,} y n + 1 = 2 x n y n + q . {\displaystyle y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+q.}

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду . Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений.

История множества Мандельброта

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (фр. Pierre Fatou ), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел . Фату изучал рекурсивные процессы вида

z → z 2 + c . {\displaystyle z\to z^{2}+c.}

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой z 0 {\displaystyle z_{0}} при преобразовании z → z 2 + c {\displaystyle z\to z^{2}+c} .

Фату нашел, что орбита z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований - своё для каждого значения c {\displaystyle c} . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension » («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта - один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

Построение множества

Несложно доказать, что как только модуль z n окажется больше 2 (или, в терминах действительной и мнимой частей, x n 2 + y n 2 > 4), последовательность станет стремиться к бесконечности. В случае |c | ⩽ 2 это можно доказать с помощью метода математической индукции . При |c | > 2 точка c заведомо не принадлежит множеству Мандельброта, что также можно вывести методом индукции, используя равенство z 0 = 0. (Хотя в этом случае может существовать другое z 0 , для которого соответствующая последовательность ограничена по модулю, но для некоторого n выполняется неравенство |z n | > 2.)

Сравнение |z n | с этим числом (в англоязычной литературе его называют «bail-out ») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе.

Добавление цвета

Строго математически, изображения множеств Мандельброта и Жюлиа должны быть чёрно-белыми. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, соответствующий количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля.

Порядок определения, попадает ли точка z 0 внутрь множества (традиционно закрашиваемого чёрным цветом) или нет (закрашивается цветом, зависящим от скорости движения к бесконечности) следующий: на каждой итерации для z n = x n + y n ·i вычисляется значение модуля | z n | = x n 2 + y n 2 {\displaystyle |z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}} , которое затем сравнивается с «границей бесконечности» (обычно берётся значение, равное 2). Здесь важно обратить внимание, что уже на данном этапе можно ввести определённую оптимизацию вычислений, если проверять не x n 2 + y n 2 > 2 {\displaystyle {\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}>2} , а x n 2 + y n 2 > 4 {\displaystyle x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4} , что значительно снизит время расчётов.

Таким образом, если |z n | 2 ⩽ 4 при любом числе итераций (на практике - при всех вычисленных итерациях), то цвет точки чёрный, в противном случае он зависит от последнего значения n , при котором |z n | 2 ⩽ 4. Значение n , фактически, обозначает скорость движения z n в бесконечность и может быть просто индексом в таблице цветов или использоваться как параметр в более сложном алгоритме.

Данный алгоритм определяет, что если точка удаляется больше чем на 2 от начала координат, то она лежит снаружи множества Мандельброта. Для того, чтобы определить, что точка лежит внутри множества, есть много способов. Самое простое решение - ограничить количество итераций неким максимумом. Если точка не вышла за указанную границу, можно считать, что она находится внутри множества.

Точкам около границы множества нужно больше итераций для ухода в бесконечность. Поэтому такие области прорисовываются заметно дольше. Чем дальше от границ множества, тем выше скорость ухода в бесконечность. Для таких точек требуется меньше итераций.

Оптимизация

Одним из способов уменьшения объёма вычислений при вычислении общей картины множества может служить проверка, попадает ли точка в область главной кардиоиды . Формула кардиоиды в полярных координатах выглядит следующим образом:

Таким образом, для точки (x , y) {\displaystyle (x,y)} необходимо вычислить

ρ = (x − 1 4) 2 + y 2 , {\displaystyle \rho ={\sqrt {\left(x-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+y^{2}}},} θ = atn 2 ⁡ (y , x − 1 4) , {\displaystyle \theta =\operatorname {atn} _{2}\left(y,x-{\frac {1}{4}}\right),} ρ c = 1 2 − 1 2 cos ⁡ θ . {\displaystyle \rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .}

Если ρ ⩽ ρ c {\displaystyle \rho \leqslant \rho _{c}} , то точка (x , y) {\displaystyle (x,y)} попадает внутрь множества и закрашивается чёрным цветом, а итеративные вычисления можно пропустить.

На практике наибольшее уменьшение объёма вычислений даёт трассировка границы: если есть некоторая замкнутая кривая, не пересекающая ось абсцисс, каждая точка которой уходит за предел bail-out за одинаковое число итераций или, наоборот, принадлежит множеству Мандельброта, то любая точка внутри этой кривой будет обладать тем же свойством, и следовательно вся область внутри границы закрашивается одинаковым цветом.

Связь с множеством Жюлиа

Множество Мандельброта изначально было построено как каталог множеств Жюлиа : каждой точке на комплексной плоскости соответствует своё множество Жюлиа. Точки, принадлежащие множеству Мандельброта, соответствуют связным множествам Жюлиа, а точки не принадлежащие - несвязным .

Отсюда понятно, что интересные варианты множества Жюлиа соответствуют точкам, лежащим на границе множества Мандельброта. Точки глубоко внутри образуют простые геометрические фигуры, а внешние выглядят как пыль, окружающая цветные пятна. Некоторые программы, например, Fractint, позволяют пользователю прямо на экране указать точку, для которой необходимо построить соответствующее множество Жюлиа, упрощая поиск красивых изображений.

Множество Мандельброта и само содержит структуры, напоминающие множество Жюлиа: для любого c {\displaystyle c} область множества Мандельброта около c {\displaystyle c} напоминает центр множества Жюлиа с параметром c {\displaystyle c} . Если сильно увеличить множество Мандельброта в граничной точке c и то же самое проделать с множеством Жюлиа для этого же значения c и в этой же точке, то картины будут асимптотически стремиться друг к другу при всё больших увеличениях.

Вариации множества Мандельброта

Зачастую под названием «Множество Мандельброта» понимается только множество, описанное выше. Однако любая функция комплексной переменной имеет соответствующее множество Мандельброта, которое также характеризуется наличием или отсутствием связного множества Жюлиа. Например, можно положить f c (z ) = z 3 + c . Тогда для каждого значения c проверяется связность множества Жюлиа функции f c и при наличии связности считается, что c принадлежит множеству Мандельброта. В описанном случае связность можно проверить тем же способом, что и для f c (z ) = z 2 + c .

Эти утверждения можно обобщить и на множества Жюлиа, определяемые больше, чем двумя числами. Например, множество Жюлиа, определяемое тремя действительными числами, имеет соответствующее трёхмерное множество Мандельброта.

Рассматриваются и многомерные вариации множества Мандельброта. Так, трёхмерный аналог получил название лампочка Мандельброта , хотя классические аналоги на комплексных числах существуют только в размерности, равной степени 2.

Применение множества Мандельброта

Множество Мандельброта находит применение для анализа возникновения турбулентности в физике плазмы и термодинамике, развития бифуркаций и т. д. [ ]

Применение множества Мандельброта в искусстве

Поиск красивых изображений множества Мандельброта - интересное хобби для очень многих людей. Они собирают коллекции таких изображений, причём каждое из них может быть описано небольшим количеством параметров, например, просто координатами центра.

Есть большое количество программ для рисования фракталов, но, несмотря на это, многие люди пишут свои программы для большей гибкости при экспериментах. Например, эти анимированные изображения были созданы таким способом.авторитетные источники .
Эта отметка установлена 29 декабря 2012 года .

Douady и Hubbard доказали, что множество Мандельброта является связным , хотя в это и трудно поверить, глядя на хитрые системы мостов, соединяющие различные его части. Связность множества Мандельброта следует из того, что оно является пересечением вложенных связных компактных множеств.

Однако неизвестно, является ли оно локально связным . Эта известная гипотеза в комплексной динамике получила название MLC (англ. Mandelbrot locally connected ). Многие математики прилагают усилия к её доказательству. Jean-Christophe Yoccoz доказал, что гипотеза верна во всех точках с конечной ренормализацией , затем многие другие математики доказывали справедливость гипотезы во многих отдельных точках множества Мандельброта, но общая гипотеза остается недоказанной.

Mitsuhiro Shishikura доказал, что размерность Хаусдорфа границы множества Мандельброта равна 2. Но остается неизвестным ответ на вопрос, имеет ли граница множества Мандельброта положительную меру Лебега на плоскости.

Число итераций для любой точки в построении множества очень близко к логарифму электрического потенциала, который возникает, если зарядить множество Мандельброта. Точнее, предел ln ⁡ (ln ⁡ (| z n |) / 2 n) + const {\displaystyle \ln {\big (}\ln(|z_{n}|)/2^{n}{\big)}+{\text{const}}}

Технический анализ всевозможных числовых последовательностей, к которым относятся и котировки активов за определенный период, осуществляется разнообразными математическими методами. Ни один из них не является универсальным, а каждый их них эффективен лишь при определенных условиях. Далее рассмотрим свойства фрактала Мандельброта и его применение в анализе на форекс.

В общем случае фракталами в математике называются такие множества чисел или геометрических фигур, которые обладают свойством самоподобия. Любой объект с этим свойством в определенной степени совпадает с частью самого себя. При этом каждая часть может, в свою очередь, состоять из других частей, подобных ей. Количество таких самоподобных уровней может быть как бесконечным, так и конечным. На рынке форекс количество самоподобных уровней ограничено снизу тиковым графиком.

Бенуа Мандельброт и его фракталы

Обладая уникальным пространственным мышлением Б. Мандельброт даже не получив среднее образование сумел поступить в политехническую школу и затем сумел получить высшее образование (ему дали докторскую степень). Во время работы в IBM он изучал разнообразные прикладные задачи математики, в том числе, в области экономики. Именно тогда он увидел, что любые ценовые колебания можно описать определенным математическим методом, который не соответствовал стандартным геометрическим кривым.

Обнаружил такой феномен он во время изучения ценовой динамики на хлопок за несколько десятилетий. Хотя движения цен и были очень похожи на случайные, но определенный порядок в них Мандельброт сумел разглядеть. В частности, он обнаружил одинаковую симметричность длительных и кратковременных колебаний.

Для объяснения такого нового свойства ценовой динамики Мандельброт применил рекурсивный метод. В упрощенном виде, этот метод описывается формулой, в которой каждый последующий член рассчитывается как сумма квадрата предыдущего члена и постоянной величины. В качестве термина для таких множеств ввел понятие «фрактал».

Применив созданную фрактальную геометрию для объяснения ценовых движений, Мандельброт сумел с высокой степенью точности спрогнозировать возникновение многих рыночных состояний, которые не было возможно предсказать другими средствами анализа. Поэтому в дальнейшем фрактальная аналитика начала очень стремительно развиваться.

Как описывается рынок фракталами Мандельброта

Для задания любого фрактала требуется два элемента – инициатор и генератор. В отношении графиков котировок инициатором может служить отрезок (рис. 1), соединяющий два разных соседних экстремума (минимум и максимум). Этот отрезок может быть направлен слева направо вверх (в этом случае на рынке рост – зеленый отрезок на рис. 1) или вниз (в этом случае на рынке падение – красный отрезок на рис. 1).

В качестве генератора может использоваться простейшая комбинация из трех последовательных отрезков (т. е. конец предыдущего отрезка является началом следующего отрезка), называющаяся «импульс-откат-импульс» (рис. 2):

если ценовой импульс направлен вверх, то в этом генераторе последующие максимум и минимум лежат выше предыдущих максимума и минимума, в результате чего образуется восходящий тренд (выделен желтым прямоугольником на рис. 2);
если ценовой импульс направлен вниз, то в этом генераторе последующие максимум и минимум лежат ниже предыдущих максимума и минимума, в результате чего образуется нисходящий тренд (выделен синим прямоугольником на рис. 2).

Существует множество иных генераторов фракталов, которые в общем случае, могут состоять из любого количества инициаторов.

Инициаторы любого генератора может быть разложен на другие генераторы и т. д. Таким образом, генераторы являются фракталами – самоповторяющимися структурами. Они будут повторяться вплоть до самого нижнего ценового уровня – тикового. При этом у фракталов низкого уровня соотношения геометрических размеров инициаторов будут с высокой степенью эквивалентны фракталам высшего уровня.

Фракталы Мандельброта в МТ4

В торговом терминале MetaTrader инструмент фрактального анализа называется Fractals и расположен он в меню «Вставка-Индикаторы-Билла Вильямса». Объясняется это тем, что именно Б. Вильямс разработал наиболее полную теорию фрактального анализа.

Работа этого инструмента технического анализа заключается в поиске таких последовательностей из пяти идущих подряд свечей, у которых:

максимум средней свечи выше максимумов остальных свечей (бычий фрактал – выделен голубым прямоугольником на рис. 3);
минимум средней свечи ниже минимумов остальных свечей (медвежий фрактал – выделен желтым прямоугольником на рис. 3).

Одно из основных применений фракталов Мандельброта заключается в расстановке уровней поддержки и сопротивления. Также они могут применяться для идентификации текущей тенденции:

если уровни бычьих фракталов последовательно повышаются, то на рынке восходящий тренд;
если уровни медвежьих фракталов последовательно понижаются, то на рынке нисходящий тренд.

Книга известного американского математика Бенуа Мандельброта посвящена фрактальной геометрии и фундаментальным вопросам случайности. Фрактальную геометрию Мандельброт придумал, когда писал труды по финансам в шестидесятые годы. Данное произведение содержит, среди прочих, эти труды, которые ранее не издавались, а также фундаментальные представления о случайности. На мой взгляд, книга будет полезна тем, кто предполагает заработать на фондовом/валютном рынке (в качестве отрезвляющего душа), а также всем, кто размышляет о роли случая и закономерностях.

Ранее я читал Бенуа Мандельброт. .

Бенуа Мандельброт. Фракталы, случай и финансы. – Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. – 256.

Скачать конспект (краткое содержание) в формате или

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ФРАКТАЛЫ

Глава 1.1. Признанный и принесший плоды «мезальянс»

Еще в самом начале своей научной карьеры я пришел к выводу, что многочисленные реально существующие формы настолько нерегулярны или изломаны, что сложность Природы не только количественно, но и качественно превосходит все то, что допускает геометрия Евклида. Для того, чтобы охарактеризовать отрезок или окружность, достаточно некоторого небольшого количества отдельных измерений, в природе же это число столь велико, что его можно считать практически бесконечным.

Решившись принять упомянутый вызов, я задумал и разработал новую геометрию природы, а затем использовал ее во множестве различных областей. Фракталы - это объекты (математические, природные или созданные человеком), которые мы называем неправильными, шероховатыми, пористыми или раздробленными, причем указанными свойствами фракталы обладают в одинаковой степени в любом масштабе. Можно сказать, что форма этих объектов не изменяется от того, рассматриваем мы их вблизи или издалека.

Связующей нитью, определяющей понятие фрактала, стала идея о том, что некоторые феномены нашего мира имеют одинаковую структуру при рассматривании их вблизи или издалека (т.е. в любом масштабе) - когда мы увеличиваем картинку, желая разглядеть что-либо получше, изменяются лишь незначительные детали. Так, каждый малый участок фрактала представляет собой ключ к целой конструкции. Я использую термин «самоподобие».

Я описал горы, облака, деревья, скопления галактик и следы биржевого курса, но описывать их достаточно совершенным образом, позволяющим имитировать эти реальные объекты и создавать их дубликаты с помощью математических формул. Тот факт, что эти дубликаты или имитации были основаны на статистических моделях, вызывал законное удивление. Потому что никто не ожидал, что в объяснении происходящего окажется столько случайного .

Однако теория детерминистского хаоса как раз тогда находилась в стадии образования. Очень хорошо читается книга, написанная на эту тему Глейком (подробнее см. ). Фундаментальный факт состоит в том, что динамическая система может быть абсолютно детерминистской, но не обнаруживать правильного и ручного поведения, а именно этим поведением ограничиваются все известные мне курсы механики. Она может обнаруживать так называемые хаотические формы поведения. Они неслучайны, но рассматривать их как нечто, возникающее не в результате стихийного случая, стоит большого труда.

Изучение детерминистского хаоса порождает бесчисленное количество очень сложных геометрических форм. Обычная геометрия полностью непригодна для их изучения, тогда как фрактальная геометрия изначально представляла собой средство, в высшей степени подходящее для их изучения.

Термин «хаос», прежде чем ему приписали только что обсуждавшийся формальный смысл, часто использовался для описания поведения биржи. Отсюда только один шаг отделяет нас от постановки вопроса о том, можно или нельзя объяснить данное поведение в вышеупомянутом формальном смысле. Более того! В механике хаос вызывает удивление, поскольку там действуют неоспоримые детерминистские законы. При изучении же финансов действия сколько-нибудь похожих законов мы не наблюдаем.

Глава 1.2. Самоподобие и самоаффинность

Некоторый объект называется самоподобным, если его «целое» (то есть сам объект, взятый целиком) можно разделить на «части», каждая из которых получается из целого посредством преобразования подобия, то есть редукции или линейного сжатия. С математической точки зрения процесс редукции можно повторять произвольное число раз. Отсюда сразу следует, что самоподобный математический объект состоит из бесконечно малых деталей. Между тем реально существующие фракталы ограничены и лишены бесконечно малых деталей.

Огибающая кривая: кривая Коха или «снежинка». Этот объект придумал в 1904 году математик Хельге фон Кох. Ему хотелось убедить скептиков не только в том, что можно построить непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке, но и в том, что это свойство получается очень простым образом.

Для того, чтобы построить внутреннюю область трети снежинки, надо предпринять шаги, показанные на рис. 1. Начинаем с отрезка единичной длины, который делится на три части. К средней из этих частей прилагаются два других отрезка так, чтобы получился равносторонний треугольник. Точно так же поступаем затем с отрезками длины 1/3, 1/9, 1/27 и т.д.

Рис. 1. Построение кривой Коха («снежинки»). Последовательные аппроксимации кривой представлены границей между черным и белым

Через n поколений равносторонних треугольников получаем ломаную линию, которая и будет границей объекта, изображенного на рис. 1. Поскольку первоначальная длина стороны треугольника равна трем единичным отрезкам, а после «вытягивания» – четырем единичным отрезкам, длина ломанной границы снежинки равна 4/3 в степени n . Поскольку множитель 4/3 больше единицы, эта длина бесконечно возрастает вместе с n . Граница стремится к пределу бесконечной длины.

В самоподобии непременно участвует концепция вращения, а также изменения длины отрезка, в частности, можно говорить об операции уменьшения этой длины в некотором соотношении r .

Термин «аффинные» введен великим математиком Леонардом Эйлером . Самоаффинность исключает вращение, однако ее операции распадаются на перенос и редукцию, подверженную куда меньшему числу ограничений, чем в случае самоподобия. При всем этом теория самоаффинности неизбежно сложнее и запутаннее, чем в случае самоподобия. Без решения остаются множество очень простых математических вопросов.

К счастью, можно достичь замечательного компромисса между простотой и мощностью, используя аффинности, которые я называю диагональными, так как у их матрицы есть только диагональные элементы. Такая аффинность - это преобразование, сжимающее графики в двух разных отношениях: в отношении r t по времени и в каком-либо другом отношении r p по цене.

Мы будем говорить, что некоторая хроника обладает диагональной самоаффинностью, если ее редуцированная форма полностью идентична, точно или только статистически, любой ее части, менее протяженной во времени.

На рис. 2 показано, как строится самоаффинная кривая, соединяющая точки X (0) = 0 и X (1) = 1 внутри единичного квадрата. В качестве «инициатора» берется диагональ с единичным наклоном, а в качестве «генератора» - ломаная линия, т.е. кривая, составленная из конечного числа отрезков прямой таким образом, чтобы проходить из левого нижнего угла в правый верхний (см. маленький график вверху слева). На следующем этапе каждый отрезок генератора заменяется своей аффинной копией, уменьшенной и перенесенной так, чтобы две ее крайние точки совпадали с концами исходного отрезка (второй маленький график). Далее показаны 3-й и 4-й этапы, а также некоторый значительно более поздний этап.

Рис. 2. Диагональные самоаффинные построения

Самоаффинные кривые описанного выше вида суть эскизы финансовой реальности!

Глава 1.3. Принципы масштабирования, масштабируемые распределения, фрактальные размерности и показатель Н

Говорят, что две измеримые величины X и Y связаны законом масштабирования, когда существует такой показатель ε , что X = Y ε , или, иначе говоря, когда logX/log Y = const. Для характеристики самоподобия используется геометрический показатель – размерность подобия. Вернемся к построению кривой, составляющей снежинку. Генератор состоит из N = 4 отрезков, каждый из которых имеет длину r = 1/3. Размерность подобия:

В случае самоаффинности все оказывается гораздо сложнее. Например, для графика цены Р в зависимости от времени t можно записать:

В моих моделях цена P(t) - это недифференцируемая функция времени t, что на практике означает, что угол наклона отношения ∆Р/∆t очень сильно зависит от ∆t (и от случая), так что он бесполезен при оценке уровня изменчивости. Напротив, показатель H(t) изменяется мало, поэтому может быть очень полезен, при условии, что мы привыкнем рассуждать в терминах этого показателя.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МНОЖЕСТВЕННОСТЬ «СОСТОЯНИЙ» СЛУЧАЯ

Глава 2.1. От случая ручного к случаю стихийному

Понятие «случай» выступает в науке в самых разных формах, и мы только выиграем, если предположим, что случай может находиться в нескольких различных «состояниях». «Ручное» состояние случая уже тысячу раз доказало нам свою полезность, но его недостаточно для описания процессов, происходящих на бирже, или многих других природных или социальных феноменов. Я воспользуюсь другим термином - «стихийное». Кроме того, необходимо допустить наличие третьего состояния, которое я буду называть «медленным».

В чем же заключалась центральная мысль моих работ в области финансов? Общепринятое предположение следовало за физикой и успокаивалось на броуновском движении. Допускалось, что цены - это непрерывные функции от времени, а их флуктуации не более значительны, чем флуктуации, описываемые уже классическим распределением Гаусса. Но изучение фактов показало обратное: функции разрывны, а их флуктуации достигают огромных значений. И если броуновский случай очень легко квалифицировать как ручной, то для описания биржи необходима какая-то совершенно другая форма случая.

Если мы хотим доказать, что та или иная наука перешла в разряд точных, то самыми существенными будут в таком доказательстве аргументы, демонстрирующие ручной характер наиболее важных из имеющихся в данной науке флуктуаций. И наоборот, науки, в которых основными видами шума управляет стихийный случай, рискуют долгое время оставаться среди «не совсем точных».

Широко распространено и противоположное мнение: единственное преимущество точных наук состоит в том, что у них было больше времени для развития - мне, впрочем, кажется, что эта точка зрения противоречит урокам истории. Даже если ограничиться теми феноменами, которые наш разум называет физическими, то задача о предсказании разливов рек и задача о предсказании положения планет были поставлены приблизительно в одно и то же время, однако первая из них надолго осталась в области суеверий, тогда как вторая развивалась самым блестящим образом - результатом этого развития, собственно, и стала физика, «как она есть». Просто «так случилось», что флуктуации в последней задаче малы и в пределе пренебрежимы.

Глава 2.5. Ной, Иосиф и несколько примеров стихийного случая, малопонятных, но неизбежных

Зачастую в поисках опоры мы хватаемся за утверждение о том, что эффекты Ноя и Иосифа могут быть только переходными. Отсюда - поразительные и дорогостоящие попытки построить процессы, которые я рассматриваю как имитацию этих эффектов при среднем количестве данных, асимптотически всегда ручных.

Поразительный пример - распределение личных доходов. Формула, предложенная Парето в 1896 году, имеет, как мы увидим, одну особенность - ее дисперсия бесконечно велика. Это и есть проявление эффекта Ноя; если он постоянен, возможность применения центральной предельной теоремы исключается.

Многим авторам эта последняя возможность казалась попросту немыслимой; ее следовало избежать любой ценой. Некоторые предлагали урезать аналитическое выражение Парето, учитывая тот факт, что никакой личный доход не превосходит, допустим, триллиона франков. Конечно, это позволяло спасти желанный вывод, то есть «прирученность» асимптотического поведения; нужный результат получается за счет отодвигания вышеупомянутой асимптотики в будущее, не представляющее для нас никакого интереса.

Ряд других авторов (начиная с самого Парето) предлагали добавить к вычисляемому распределению экспоненциальный член, который будет играть свою роль только в асимптотике. Многие авторы настаивали на том, чтобы заменить это распределение на логнормальное, которое опять-таки не окажет особого воздействия на данные обычной величины, но взамен предложит нам ручную асимптотику.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. СЛУЧАЙНОЕ НА БИРЖЕ

ГЛАВА 3.1. Разрывность и концентрация

Всякий, кто рискнет заняться изучением какой-нибудь реальной биржевой хроники, сначала непременно столкнется с призраком Башелье. Луи Башелье (1870–1940) стал самым настоящим предтечей, даже знакомство с его биографией заслуживает того, чтобы потратить на него время. В 1900 году теория вероятностей сводилась, по большей части, к собранию простых комбинаторных примеров, статистика еще не появилась на свет, а Парето был практически единственным математиком-экономистом. Именно в 1900 году Башелье получил звание доктора математических наук, защитив диссертацию на тему «Математическая теория спекуляций».

Пусть Z(t) – цена данного количества некоторого продукта в момент времени t. Башелье постулирует, что Z(t + Т) – Z(t) есть гауссовская случайная величина, среднее значение которой равно нулю, а дисперсия зависит от t и Т. Рассматривается поправка, согласно которой гауссовской случайной величиной будет, скорее, выражение

L (t , Т) = logZ (t + Т) – logZ (t )

Существует множество способов представления изменения цены.

A) Специалисты в области «технического анализа» намерены научиться предсказывать будущее на основе изменений прошлого. Их методы весьма изящны, но их описание редко бывает точным настолько, чтобы сделать возможной их проверку. В исключительных допускающих проверку случаях полученные с их помощью результаты оказываются необоснованными.

C) Башелье сам ослабил свои высказанные в 1900 году идеи, допустив, что дисперсия случайной величины L(t, Т) зависит от t. Более того, он отметил, что смесь гауссовских распределений с разными дисперсиями дает распределение с очень длинными краями. И добавил, что некоторые большие изменения цены происходят вследствие так называемых «угроз взрыва», так что их нельзя рассматривать вместе с малыми случайными изменениями. Эти два дополнения, которые Башелье внес в свою модель, существенно ограничивают ее значимость.

Из рассуждений Башелье (пункт С) мы можем непосредственно заключить, что по сравнению с изменчивостью непредсказуемой экономики изменчивость любого случайного процесса оказывается недостаточной. Я предлагаю перевернуть обычные рассуждения: вместо того, чтобы говорить, что некоторые изменения велики, поскольку они имеют причину, я буду говорить, что, наблюдая большое изменение цены, мы приходим к выводу о необходимости отыскать (вообще говоря, a posteriori ) причины, спровоцировавшие это изменение; малые изменения такого особого внимания не заслуживают.

Построив гистограмму изменений цены (рис. 3), можно констатировать, что зачастую она почти симметрична, при этом, как правило, отчетливо заметно, что нормальной она не является. Гауссовская аппроксимация, показанная на рис. 3, одинаково плоха на всех участках. У некоторых ученых возникает искушение поступить с длинными хвостами так, чтобы вовсе о них не думать. Я же, напротив, считаю, что длинные хвосты гистограмм изменения цены скрывают значительную информацию, и есть много веских оснований вплотную ими заняться.

Рис. 3. Распределение изменения цены как правило является негауссовским

Если кривые, постулируемые броуновским движением, непрерывны, то кривые, которые встречаются в действительности, таковыми не являются. При этом каждый раз, когда цена терпит сильный разрыв, к хвостам распределения изменений цены добавляется новая точка.

Среднее эмпирическое. Особых проблем в случае изменений цены это значение не причиняет - в том смысле, что средние, соответствующие выборкам, возрастающим по размеру, достаточно быстро стабилизируются вблизи некоторой величины, которую можно принять за аналог асимптотического предела.

Среднее квадратическое. Для некоторых цен оно ведет себя весьма ненадежным образом.

Эти значения, соответствующие различным выборкам одной и той же длины, могут относиться друг к другу даже как 1 к 100.
Для выборок с последовательно возрастающей длиной эти значения, по-видимому, не стабилизируются. Таким образом, не существует величины, которую хотелось бы принять в качестве аналога предельной величины.
Вклады различных значений в среднее квадратическое очень отличаются. Наибольшим индивидуальным вкладом нельзя пренебречь, даже когда выборка очень велика.
Грубо говоря, среднее квадратическое возрастает вместе с длиной выборки (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация неустойчивого характера второго эмпирического момента. Здесь рассматривается разность logZ(t + одна неделя) – log Z(t), где Z(t) – цена на зерно. Выборка возрастает от 1 до 1000, каждый раз включая в себя предыдущую выборку. Если бы ожидание квадрата переменной было конечным и не очень большим, то кривая должна была бы стремиться к некоторому пределу. В данном случае это не так.

Глава 3.2. Псевдопериодичности

Если сравнивать экономические хроники с хрониками разливов Нила, то первое их сходство состоит в характерном для обоих непериодическом циклическом поведении. Рассматривая циклические феномены, мы поражаемся тому, насколько много длительностей имеют различные циклы, равно как и слабости критериев их определения и дифференциации. Например, хроника, охватывающая целый век, обнаруживает короткие циклы продолжительностью от 5 до 10 лет, а также долгие циклы с продолжительностью от 20 до 40 лет. То, что в близкой перспективе казалось тенденцией к росту, в действительности оказывается началом цикла, который тут же заканчивается изменением направления. Некоторые наблюдатели увидят в той же самой хронике и средние циклы, но им будет сложно провести различие между «укороченными» средними и «удлиненными» короткими циклами.

Однако, все периодичности суть «артефакты», не характеристика процесса, но, скорее, совокупный результат зависящий от собственно процесса, длины выборки и суждения экономиста или гидролога.

Эмпирическое открытие Херста состоит в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но угол наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Иногда он равен 0,5 (с небольшими отклонениями), иногда принимает такие значения, как 0,7 и даже 0,85. Неравенство Н > 0,5 исключает гипотезу о том, что все величины X являются независимыми и гауссовскими.

Предыдущие исследования единодушно предсказывали, что R(t, d) должно возрастать пропорционально корню из d, тогда как Херст делает эмпирическое (и весьма хорошо документированное) открытие, что R(t,d) возрастает пропорционально d в степени Н, где Н находится вблизи 0,7.

Обычная интуиция в области стационарных процессов подсказывает, что достаточно отдаленные друг от друга будущее и прошлое должны становиться асимптотически независимыми. Именно так оно и есть для белого шума. Но в случае дробных шумов, у которых Н не равен 0,5, корреляция между средним из Т ближайших прошлых значений и средним из Т ближайших будущих значений, как оказывается, не равна нулю!

Анализ R/S подтверждает и значительно усиливает общее правило: экономические циклы настолько далеки от периодичности и настолько зависят как от длины, имеющейся в нашем распоряжении выборки, так и от предпочтений наблюдателя, что вплоть до новых распоряжений их следует рассматривать как артефакты. Если верить Кейнсу , ценность таких циклов заключается прежде всего в том, что с их помощью очень удобно разбивать на главы учебники по истории экономики.

Глава 3.3. Броуновская дробность в мультифрактальном биржевом времени

С точки зрения самоаффинных кривых, которые являются графиками функций, показатель Н играет ту же роль, какую играет фрактальная размерность с точки зрения самоподобных множеств. В модели Башелье предполагалось, что dP ~ (dt) 1/2 . Показатель не изменяется со временем и равен 1/2. В моих моделях 1963 и 1965 гг. предполагалось, что dP ~ (dt) H . Показатель Н по-прежнему не зависит от времени, но отличен от 1/2.

Можно сказать, что вплоть до настоящего времени степень, в которую возводилось dt, принимала одно и то же значение для всех t. Из этих соображений модели 1963 и 1965 гг. можно охарактеризовать как унифрактальные. Из модели 1972 г., напротив, следует, что P(t + dt) – P(t) ~ (dt) Н(t) . Здесь показатель H(t) непрерывно изменяется со временем и принимает множество значений. Из этих соображений данная модель характеризуется как мультифрактальная.

Теперь мы подходим к ключевой идее. Мы больше не будем выражать изменчивость цены с помощью переменного показателя, основанного на обычном времени, которое показывают часы. С таким же успехом можно поменять их ролями и представить себе изменчивость с постоянным показателем, но в «биржевом времени», которое течет в очень неправильном ритме.

Эта концепция совершенно законна, поскольку, как и большая часть человеческой деятельности, биржа не подчиняется времени, которое измеряют физические часы; совсем наоборот, ее активность постоянно то ускоряется («разогревается»), то замедляется («охлаждается»).

Все мы живем в реальности своих идей. Рынок – это зеркало, отражающее наши собственные представления. Каждый человек, связанный с рынком, никогда не имеет дело с реальностью, а всегда лишь со своими представлениями. Иногда представления обретают массовый характер, и мы говорим о трендах, линиях поддержки или графических фигурах. Аналитики часто замечают, что «рост прибыли привел к покупке акций», а «нефть снизилась на продажах инвесторов».

Но в действительности никто из нас не знает, что происходит. Все мы пользуемся лишь моделью, упрощенной версией, копией рынка. Наш успех зависит исключительно от того, насколько наша копия похожа на оригинал.

Начало 21 века серьезно пошатнуло все современные финансовые теории. Банкротство крупных инвестиционных корпораций, финансовый кризис — все это поставило под сомнение те модели, которыми пользовались аналитики и всего мира. Инвестиционные консультанты либо разводят руками, либо упорно держатся за устаревшие теории, но реальность уже нельзя игнорировать – рынки не описываются теорией случайных блужданий, кривой Гаусса, моделью Марковица и формулой Блэка-Шольца.

Копия оказалась грубой подделкой. Именно поэтому интерес к альтернативным теориям, описывающим поведение финансового рынка, стал стремительно нарастать.
Одной из таких теорий, о которой мы поговорим сегодня, является фрактальная геометрия . Теория эта уже не нова и активно применяется в разных областях деятельности.

Фрактальная геометрия

Термин «фракталы» у российских трейдеров традиционно связан с именем Билла Вильямса. «Фракталы Вильямса» знают все и они даже включены в список индикаторов известной платформы MetaTrader 4. Но мало кто знает имя настоящего автора этого понятия — Бенуа Мандельброта, известного математика, создателя фрактальной геометрии. Возможно, этой статьи никогда бы не было, если бы Бенуа Мандельброт не занялся всерьез применением фракталов на финансовых рынках.

Итак, что же такое фрактал?

Фрактал – это форма или «структура», которая обладает свойством к самоповторению в разных масштабах . Самый лучший способ объяснить этот термин – показать на примере. Посмотрите на рисунок 1. Что вы видите?

Ваше внимание, очевидно, отметило общую треугольную форму фигуры. Если присмотреться ближе, мы увидим, что треугольник в свою очередь состоит из еще трех вписанных в него треугольников, в каждый из которых вписано еще по три меньших треугольника, и так далее.

Приведенный пример – популярная фигура, известная также как «салфетка Серпинского» . На любом уровне фигуры каждый ее элемент подобен элементу на более низком или более высоком масштабе. Строительный материал для фрактала или форма, лежащая в его основе, называется «инициатором» , структура же или самоповторяющийся рисунок – «генератором» . Инициатором для «салфетки Серпинского» может быть точка, а генератором – треугольник.
Но что это нам дает для понимания финансовых рынков?

Наблюдение 1. Описание рынка с помощью фракталов

Как оказалось, поведение рынка может быть описано с помощью . Самый базовый графический элемент рынка – это прямая линия, направленная сверху вниз или снизу вверх. Каждому трейдеру это хорошо понятно – цена либо растет, либо падает, этот процесс происходит во времени.
Таким образом, у нас появляется инициатор, который выглядит следующим образом (см. рис. 2, 3).

Даже если мы возьмем движение цены в рамках одной минуты, мы все равно получим линию, которая соединяет цену открытия и цену закрытия. Генератором же для движения цены является другая распространенная структура, хорошо известная трейдеру, – «импульс-коррекция-импульс» , которая выглядит, как представлено ниже (см. рис. 4, 5).

Генераторов на рынке может быть бесконечное множество, и точек перелома может быть вовсе не две. Какую же информацию могут дать трейдеру эти фигуры?

Если посмотреть на движение цены отдельного инструмента, можно увидеть, что структура генератора повторяется на всех временных масштабах инструмента. Примем за данность, что внутригодовое движение цены представляет собой простую структуру из двух импульсов и одной как на рисунке 2 или 3. Если оба импульса и коррекцию заменить соответствующими фракталами (генераторами), мы получим следующую структуру (см. рис. 6):

Переходя все глубже и глубже, мы дойдем до минутных, а затем и тиковых графиков, на которых вновь и вновь будет проявляться базовый фрактал .

Что характерно, соотношения между линиями генератора будут оставаться фиксированными на любой временной структуре. Углы между линиями генератора на минутном и месячном графике будет соответствовать друг другу, соотношение их длинны также. Это удивительное открытие дает нам совершенно новый взгляд на привычное движение цены.

Конечно, это понимание является упрощенным, и, по мнению самого Мандельброта, «карикатурным». Оно служит нам для описания общего принципа структуры ценового движения. Реальный рыночный генератор может быть гораздо сложнее.

В моделировании поведения рынка Мандельброт использует более сложную «мультифрактальную» модель, которая использует три измерения и так называемый «фрактальный куб» . На нем мы не будем подробно останавливаться. Вместо этого рассмотрим два других наблюдения фрактальной геометрии, которые более просты для понимания и дают трейдеру пищу для размышлений.

Наблюдение 2. Рынок имеет память

Обширные исследования рынка хлопка привели Бенуа Мандельброта к следующему выводу: периоды высокой волатильности или «турбулентности» имеют тенденцию собираться в «кластеры».

Что же представляет собой «ценовой кластер» ? Я уверен, вы догадались, что это «тренд». Для нас с вами, как трейдеров, это, безусловно, хорошая новость. Пока существуют тренды, работа трейдера будет неплохо оплачиваться.

Наблюдение 3. Эффект «Ноя»

И, наконец, третье наблюдение Мандельброта состоит в так называемом эффекте «Ноя» . Из ветхого завета мы знаем, что всемирный потоп начался неожиданно, и разрушительная сила его оказалась очень велика. Эффект «Ноя» — метафора, характеризующая рыночные развороты – биржевые панические обвалы и взлеты . Они никогда не происходят плавно, почти всегда рынок взмывает вверх или обваливается с такой силой, которую никто из инвесторов не ожидал.

Это всегда вызывает панику среди биржевой публики, которая шокирована такими движениями цены. Так, в 1987 году индекс Доу-Джонса упал на 22.6% за один день. После краха во всем обвиняли компьютерные программы, но у Бенуа Мандельброта совсем другое мнение – дело вовсе не в программах, дело в самой природе рынка . Именно внутренне присущий рынку характер обуславливает такую динамику. Эта гипотеза также является новой и не согласуется с гипотезой эффективного рынка, согласно которой рынок должен меняться плавно и последовательно.
Об этом свойстве рынка следует помнить трейдерам, которые работают без «стопов», уповая на то, что рынок рано или поздно вернется к уровню открытия сделки.

Выводы

Резюме, которое делает Мандельброт, состоит в следующем: рынок – очень рискованное место, гораздо более рискованное, чем принято считать. Для трейдеров риск – не источник опасности, а потенциальный источник прибыли. Если правильно использовать знания о движении цен и оказываться на «правильной» стороне риска, он будет благом, а не проклятием.