Мастяева И.Н. Исследование операций в экономике

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Общие понятия и определения в и сследование операций

Следует усвоить основные понятия и определения исследования операций.

Операция -- любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа ее проведения, организации, иначе -- от выбора некоторых параметров. Всякий определенный выбор параметров называется решением. Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Замечание 1

Следует обратить внимание на постановку проблемы: само принятие решений выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица или группы лиц, которые могут учитывать и другие соображения, отличные от математически обоснованных.

Замечание 2

Если в одних задачах исследования операций оптимальным является решение, при котором выбранный критерий эффективности принимает максимальное или минимальное значение, то в других задачах это вовсе не обязательно. Так, в задаче оптимальным можно считать, например, такое количество торговых точек и персонала в них, при котором среднее время обслуживания покупателей не превысит, например, 5 мин, а длина очереди в среднем в любой момент окажется не более 3 человек (1, стр. 10-11).

Эффективность производственно-коммерческой деятельности в значительной степени определяется качеством решений, повседневно принимаемым менеджерами разного уровня. В связи с этим большое значение приобретают задачи совершенствования процессов принятия решений, решить которые позволяет исследование операций. Термин «исследование операций» впервые начал использоваться в 1939-1940 гг. в военной области. К этому времени военная техника и ее управление принципиально усложнилось вследствие научно-технической революции. И поэтому к началу Второй мировой войны возникла острая необходимость проведения научных исследований в области эффективного использования новой военной техники, количественной оценки и оптимизации принимаемых командованием решений. В послевоенный период успехи новой научной дисциплины были востребованы в мирных областях: в промышленности, предпринимательской и коммерческой деятельности, в государственных учреждениях, в учебных заведениях.

Исследование операций - это методология применения математических количественных методов для обоснования решений задач во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Методы и модели исследования операций позволяют получить решения, наилучшим образом отвечающие целям организации.

Исследование операций -- это наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного (или оптимального) управления организационными системами.

Основной постулат исследования операций состоит в следующем: оптимальным решением (управлением) является такой набор значений переменных, при котором достигается оптимальное (максимальное или минимальное) значение критерия эффективности (целевой функции) операции и соблюдаются заданные ограничения.

Предметом исследования операций являются задачи принятия оптимальных решений в системе с управлением на основе оценки эффективности ее функционирования. Характерными понятиями исследования операций являются: модель, изменяемые переменные, ограничения, целевая функция.

Предмет исследования операций в реальности -- это системы организационного управления (организации), которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений, причем интересы подразделений не всегда согласуются между собой и могут быть противоположными.

Целью исследования операций является количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями.

Решение, которое оказывается наиболее выгодным для всей организации, называется оптимальным, а решение, наиболее выгодное одному или нескольким подразделениям, будет субоптимальным.

В качестве примера типичной задачи организационного управления, где сталкиваются противоречивые интересы подразделений, рассмотрим задачу управления запасами предприятия.

Производственный отдел стремится выпускать как можно больше продукции при наименьших затратах. Поэтому он заинтересован в возможно более длительном и непрерывном производстве, т. е. в выпуске изделий большими партиями, ибо такое производство снижает затраты на переналадку оборудования, а следовательно и общие производственные затраты. Однако выпуск изделий большими партиями требует создания больших объемов запасов материалов, комплектующих изделий и т. д.

Отдел сбыта также заинтересован в больших запасах готовой продукции, чтобы удовлетворить любые запросы потребителя в любой момент времени. Заключая каждый контракт, отдел сбыта, стремясь продать как можно больше продукции, должен предлагать потребителю максимально широкую номенклатуру изделий. Вследствие этого между производственным отделом и отделом сбыта часто возникает конфликт по поводу номенклатуры изделий. При этом отдел сбыта настаивает на включении в план многих изделий, выпускаемых в небольших количествах даже тогда, когда они не приносят большой прибыли, а производственный отдел требует исключения таких изделий из номенклатуры продукции.

Финансовый отдел, стремясь минимизировать объем капитала, необходимого для функционирования предприятия, пытается уменьшить количество «связанных» оборотных средств. Поэтому он заинтересован в уменьшении запасов до минимума. Как видим, требования к размерам запасов у разных подразделений организации оказываются различными. Возникает вопрос, какая стратегия в отношении запасов будет наиболее благоприятной для всей организации. Это типичная задача организационного управления. Она связана с проблемой оптимизации функционирования системы в целом и затрагивает противоречивые интересы ее подразделений.

Основные особенности исследования операций:

1. Системный подход к анализу поставленной проблемы. Системный подход, или системный анализ, является основным методологическим принципом исследования операций, который состоит в следующем. Любая задача, какой бы частной она не казалась на первый взгляд, рассматривается с точки зрения ее влияния на критерий функционирования всей системы. Выше системный подход был проиллюстрирован на примере задачи управления запасами.

2. Для исследования операций характерно, что при решении каждой проблемы возникают все новые и новые задачи. Поэтому если сначала ставятся узкие, ограниченные цели, применение операционных методов не эффективно. Наибольший эффект может быть достигнут только при непрерывном исследовании, обеспечивающем преемственность в переходе от одной задачи к другой.

3. Одной из существенных особенностей исследования операций является стремление найти оптимальное решение поставленной задачи. Однако часто такое решение оказывается недостижимым из-за ограничений, накладываемых имеющимися в наличии ресурсами (денежные средства, машинное время) или уровнем современной науки. Например, для многих комбинаторных задач, в частности задач календарного планирования при числе станков п > 4, оптимальное решение при современном развитии математики оказывается возможным найти лишь простым перебором вариантов. Тогда приходится ограничиваться поиском «достаточно хорошего», или субоптимального решения. Поэтому исследование операций один из его создателей -- Т. Саати -- определил как «...искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

4. Особенность операционных исследований состоит в том, что они проводятся комплексно, по многим направлениям. Для проведения такого исследования создается операционная группа. В ее состав входят специалисты разных областей знания: инженеры, математики, экономисты, социологи, психологи. Задачей создания подобных операционных групп является комплексное исследование всего множества факторов, влияющих на решение проблемы, и использование идей и методов различных наук.

Каждое операционное исследование проходит последовательно следующие основные этапы:

1) описание задачи планирования,

2) построение математической модели,

3) нахождение решения,

4) проверка и корректировка модели,

5) реализация найденного решения на практике.

Описание задачи планирования:

· Задачи сетевого планирования и управления

рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальной продолжительности комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения.

· Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

· Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точек заказа) и размеров заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но, с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

· Задачи распределения ресурсов возникают при определенном наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций.

· Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным.

· Задачи составления расписания (календарного планирования) состоят в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.

· Задачи планировки и размещения состоят в определении числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

· Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов (1, стр.15).

2. Математическая форма моде ли

Моделирование - процесс исследования реальной системы, включающий построение модели, изучение ее свойств и перенос полученных сведений на моделируемую систему.

Модель - это некоторый материальный или абстрактный объект, находящийся в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом, несущий о нем определенную информацию и способный его замещать на определенных этапах познания.

Математическое моделирование - процесс установления соответствия реальному объекту некоторого набора символов и выражений, например математических. Математические модели наиболее удобны для исследования и количественного анализа, позволяют не только получить решение для конкретного случая, но и определить влияние параметров системы на результат решения.

В создание современного математического аппарата и развитие многих направлений исследования операций большой вклад внесли российские ученые Л. В. Канторович, Н. П. Бусленко, Е. С. Вентцель, Н. Н. Воробьев, Н. Н. Моисеев, Д. Б. Юдин и многие другие. Особо следует отметить роль академика Л. В. Канторовича, который в 1939 г., занявшись планированием работы агрегатов фанерной фабрики, решил несколько задач: о наилучшей загрузке оборудования, раскрое материалов с наименьшими потерями, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др. Л. В. Канторович сформулировал новый класс условно-экстремальных задач и предложил универсальный метод их решения, положив начало новому направлению прикладной математики -- линейному программированию.

Значительный вклад в формирование и развитие исследования операций внесли зарубежные ученые Р. Акоф, Р. Беллман, Г. Данциг, Г. Кун, Дж. Нейман, Т. Саати, Р. Черч мен, А. Кофман и др. (1, стр. 17)

Этапы построения математических моделей :

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система упрощается, схематизируется и описывается с помощью того или иного математического аппарата. Выделяют следующие основные этапы построения моделей.

Словесно описывается объект моделирования, цели его функционирования, среда, в которой он функционирует, выявляются отдельные элементы, возможные состояния, характеристики объекта и его элементов, определяются взаимосвязи между элементами, состояниями, характеристиками. Такое предварительное, приближенное представление объекта исследования называется концептуальной моделью. Этот этап является основой для последующего формального описания объекта.

2. Формализация операций

На основе содержательного описания определяется и анализируется исходное множество характеристик объекта, выделяются наиболее существенные из них. Затем выделяют управляемые и неуправляемые параметры, вводят символьные обозначения. Определяется система ограничений, строится целевая функция модели. Таким образом, происходит замена содержательного описания формальным (символьным, упорядоченным).

3. Проверка адекватности модели

Исходный вариант модели необходимо проверить по следующим аспектам:

1) все ли существенные параметры включены в модель?

2) нет ли в модели несущественных параметров?

3) правильно ли отражены связи между параметрами?

4) правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту выступает практика. После предварительной проверки приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

4. Корректировка модели

На этом этапе уточняются имеющиеся сведения об объекте и все параметры построенной модели. Вносятся изменения в модель, и вновь выполняется оценка адекватности.

5. Оптимизация модели

Сущность оптимизации (улучшения) моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, являются время и затраты средств для проведения исследований и принятия решений с помощью модели.

Типы моделей:

В самом общем случае математическая модель задачи имеет вид:

max Z=F(x, y) (1.1)

при ограничениях

где Z=F(x, y) - целевая функция (показатель качества или эффективность) системы; х -- вектор управляемых переменных; у -- вектор неуправляемых переменных; Gi(x, y)-- функция потребления i-го ресурса; bi -- величина i-го ресурса (например, плановый фонд машинного времени группы токарных автоматов в станко-часах).

Определение 1. Любое решение системы ограничений задачи называется допустимым решением.

Определение 2. Допустимое решение, в котором целевая функция достигает своего максимума или минимума называется оптимальным решением задачи.

Для нахождения оптимального решения задачи в зависимости от вида и структуры целевой функции и ограничений используют те или иные методы теории оптимальных решений (методы математического программирования).

1. Линейное программирование, если F(x, y), -- линейны относительно переменных х.

2. Нелинейное программирование, если F(x, y) или -- нелинейны относительно переменных х.

3. Динамическое программирование, если целевая функция F(x, y) имеет специальную структуру, являясь аддитивной или мультипликативной функцией от переменных х.

F(x)=F(x1, x2, …, xn) -- аддитивная функция, если F(x1, x2, …, xn)=, и функция F(x1, x2, …, xn) -- мультипликативная функция, если F(x1, x2, …, xn)=.

4. Геометрическое программирование, если целевая функция F(x) и ограничения представляют собой функции вида

Математическая модель задачи в этом случае записывается в виде

при условиях

где I=(m0, m0+1, …, n0); I[k]= (mk, mk+1, …, nk); mk+1=nk+1; m0=1; n0=n.

5. Стохастическое программирование, когда вектор неуправляемых переменных у случаен.

В этом случае математическая модель задачи (1.1--1.2) будет иметь

maxMyE=My{f(x, y)}

при ограничениях

или вероятностных ограничениях

где My -- математическое ожидание по у; Р{gi (х)Ј b} -- вероятность того, что выполняется условие gi (х)Ј b.

6. Дискретное программирование, если на переменные xj наложено условие дискретности (например, целочисленности): xj -- целое, j=1,2,…,n1Јп.

7. Эвристическое программирование применяют для решения тех задач, в которых точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за огромного числа вариантов. В таком случае отказываются от поиска оптимального решения и отыскивают достаточно хорошее (или удовлетворительное с точки зрения практики) решение. При этом пользуются специальными приемами -- эвристиками, позволяющими существенно сократить число просматриваемых вариантов. Эвристические методы также применяют, когда оптимальное решение в принципе может быть найдено (т.е. задача алгоритмически разрешима), однако для этого требуются объемы ресурсов, значительно превышающие наличные.

Из перечисленных выше методов математического программирования наиболее развитым и законченным является линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций.

3. Линейное программирование

Несмотря на требование линейности целевой функции и ограничений, в рамки линейного программирования укладываются задачи распределения ресурсов, управления запасами, сетевого и календарного планирования, транспортные задачи, задачи теории расписаний и т. д.

Основные теоремы линейного программирования

В основе методов решения задач линейного программирования лежат следующие теоремы.

Основная теорема линейного программирования, устанавливающая место нахождения оптимальных решений.

Теорема 2.1. Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества R, то она принимает это значение в крайней точке R (вершине выпуклого многогранника). Если целевая функция принимает максимальное значение более, чем в одной крайней точке, то она принимает это же значение в любой их выпуклой комбинации.

Из теоремы 2.1 следует, что при отыскании оптимального решения достаточно просмотреть только крайние точки допустимого множества решений R.

Теорема 2.2. Каждое допустимое базисное решение соответствует крайней точке R.

Справедлива также следующая теорема, обратная к теореме 2.2. Теорема 2.3. Если -- крайняя точка допустимого множества решений R, то соответствующее решение x0 -- является допустимым базисным решением системы ограничений задачи линейного программирования.

Используя результаты теорем 2.1 и 2.2, можно сделать вывод, что для отыскания оптимального решения задачи линейного программирования достаточно перебрать лишь допустимые базисные решения. Этот вывод лежит в основе многих методов решения задач линейного программирования.

Определение оптимального ассортимента. Имеется р видов ресурсов в количествах а1, а2, ..., аi, ..., аp и q видов изделий. Задана матрица А=||aik||, где аik характеризует нормы расхода i-го ресурса на единицу k-го изделия (k = 1, 2, ..., q).

Эффективность выпуска единицы k-го изделия характеризуется показателем сi, удовлетворяющим условию линейности.

Определить план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффективности принимает наибольшее значение.

4. Нелинейное программирование

В данной главе описываются оптимизационные задачи нелинейного программирования (НЛП), математические модели которых содержат нелинейные зависимости от переменных. Источники нелинейности относятся в основном к одной из двух категорий:

1) реально существующие и эмпирически наблюдаемые нелинейные соотношения, например: непропорциональные зависимости между объемом производства и затратами; между количеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателями качества готовой продукции; между затратами сырья и физическими параметрами (давление, температура и т.п.) соответствующего производственного процесса; между выручкой и объемом реализации и др.;

2) установленные (постулируемые) руководством правила поведения или задаваемые зависимости, например: формулы или правила расчета с потребителями энергии или других видов услуг; эвристические правила определения страховых уровней запаса продукции; гипотезы о характере вероятностного распределения рассматриваемых в модели случайных величин; различного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.

Решать линейные задачи значительно проще, чем нелинейные, и если линейная модель обеспечивает адекватность реальным ситуациям, то ее и следует использовать. В практике экономического управления модели линейного программирования успешно применялись даже в условиях нелинейности. В одних случаях нелинейность была несущественной и ею можно было пренебречь, в других -- производилась линеаризация нелинейных соотношений или применялись специальные приемы, например строились так называемые линейные аппроксимационные модели, благодаря чему достигалась требуемая адекватность. Тем не менее имеется большое число ситуаций, где нелинейность является существенной и ее нужно учитывать в явном виде.

Основные понятия НЛП:

* целевую функция;

* ограничения;

* допустимый план;

* множество допустимых планов;

* модель нелинейного программирования;

* оптимальный план.

Необходимо уметь:

* определять, является ли функция выпуклой;

* строить функцию Лагранжа задачи НЛП;

* проверять оптимальность полученных решений.

Модели НЛП

В общем виде задача НЛП описывается с помощью следующей модели нелинейного программирования:

исследование операция моделирование математический

где х = (x1, х2, ..., хn) -- вектор переменных задачи.

Задача (1)--(3) называется задачей нелинейного программирования в стандартной форме на максимум.

Может быть сформулирована также задача НЛП на минимум.

Вектор х = (x1, х2, ..., хn), компоненты хj которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3), называется допустимым решением или допустимым планом задачи НЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи НЛП, на котором целевая функция (1) достигает максимального значения, называется оптимальным решением задачи НЛП.

Возможное местонахождение максимального значения функции F(x) при наличии ограничений (2) и (3) определяется следующим общим принципом. Максимальное значение F(x), если оно существует, может достигаться в одной или более точках, которые могут принадлежать следующим множествам:

Внутренняя точка множества допустимых планов, в которой все первые частные производные

Точка границы множества допустимых планов};

Точка множества допустимых планов, в которой функция F(x) недифференцируема}.

В отличие от задач линейного программирования, любая из которых может быть решена симплекс-методом, не существует одного или нескольких алгоритмов, эффективных для решения любых нелинейных задач. Какой-то алгоритм может оказаться чрезвычайно эффективным для решения задач одного типа и неудачным для задач другого типа.

Эффективность алгоритма может даже существенно зависеть от постановки задачи, например от изменения масштабов измерения тех или иных переменных. Поэтому алгоритмы разрабатываются для каждого класса (типа) задач. Программы, ориентированные на решение определенного класса задач, как правило, не гарантируют правильность решения любых задач данного класса, и оптимальность решения рекомендуется проверять в каждом конкретном случае.

В экономических приложениях рассматриваются следующие классы задач НЛП.

На рисунке приводится классификация задач и методов нелинейного программирования.

Рисунок. Классификация задач и методов нелинейного программирования

Большинство существующих методов в нелинейном программировании можно разделить на два больших класса:

1. Прямые методы - методы непосредственного решения исходной задачи. Прямые методы порождают последовательность точек - решений, удовлетворяющих ограничениям, обеспечивающим монотонное убывание целевой функции.

2. Недостаток: трудно получить свойство глобальной сходимости.

3. Задачи с ограничениями в виде равенств.

4. Метод замены переменных (МЗП)

5. Двойственные методы - методы, использующие понятие двойственности. В этом случае легко получить глобальную сходимость.

6. Недостаток: не дают решения исходной задачи в ходе решения - оно реализуемо лишь в конце итерационного процесса.

o Метод множителей Лагранжа (ММЛ)

o Методы штрафов

o Метод множителей

o Методы линеаризации для задач условной оптимизации

o Алгоритм Франка-Вульфа

o Метод допустимых направлений Зойтендейка

o Метод условного градиента

o Метод проекции градиента

o Сепарабельное программирование.

o Квадратичное программирование

1. Оптимизация нелинейной функции с ограничениями на неотрицательность значений переменных:

где х = (х1, х2,..., хn) -- вектор переменных задачи.

Пусть F(x) -- дифференцируемая функция.

Необходимые условия того, что в точке х0 достигается максимум функции F(x):

Это означает, что:

Если F(x) вогнутая функция (для задачи минимизации -- выпуклая), то эти условия являются также достаточными.

Функция F(x) с числовыми значениями, определенная на выпуклом множестве точек К, называется вогнутой, если для любой пары точек х1, х2 и для всех чисел l, 0 Ј l Ј 1, выполняется неравенство

то функция F(x) называется выпуклой. Если имеют место строгие неравенства, то говорят, что функция строго вогнута или строго выпукла.

Данное определение вогнутости (выпуклости) годится для любого типа функции. Практически, однако, применять его трудно.

Для дважды дифференцируемой функции F(x) имеет место следующий критерий. Дифференцируемая функция F(x) строго вогнута в некоторой окрестности точки если выполняются следующие условия:

т.е. если знаки этих определителей чередуются указанным образом.

Здесь -- частная производная второго порядка, вычисленная в точке х0.

Матрица размера п ґ п, составленная из элементов, называется матрицей Хессе (Hesse). По значениям ее главных миноров можно судить о выпуклости или вогнутости функции. Функция F(x) строго выпукла в малой окрестности точки х0, если все главные миноры ее матрицы Хессе строго положительны. Если имеют место нестрогие неравенства (і), то функция в окрестности точки х0 выпукла. Если при этом главные миноры матрицы Хессе от х не зависят, то функция всюду (строго) выпукла.

Весьма распространены относящиеся к данному типу модели квадратичного программирования, в которых целевая функция F(x) является квадратичной функцией переменных х1, х2, ..., хn. Существует большое число алгоритмов решения такого типа задач, в которых функция F(x) вогнутая (для задач минимизации -- выпуклая).

2. Модели выпуклого программирования. К такого рода моделям относятся задачи НЛП (1)--(3), в которых F(x) -- вогнутая (выпуклая) функция, a gi(x) -- выпуклые функции. При данных условиях локальный максимум (минимум) является и глобальным.

Пусть F(x) и gi(x), i= 1,..., т, -- дифференцируемые функции.

Необходимые и достаточные условия оптимальности решения -- выполнение условий Куна -- Таккера.

Рассмотрим задачу НЛП (1)--(3) и функцию Лагранжа

Условия Куна -- Таккера оптимальности решения х0 для задачи максимизации F(x) имеют вид

где -- частная производная функции Лагранжа по переменной хj при х = х0 и l = l0. Пусть максимальное значение F(x) равно F(x0) = F0. Числа связаны с F0 следующими соотношениями:

Из этих соотношений видно, что числа характеризуют реакцию значения F0 на изменение значения соответствующего bi. Например, если < 0, то при уменьшении bi (в пределах устойчивости) значение F0 увеличится, а = 0 указывает на несущественность соответствующего ограничения gi(х) Ј bi, которое может быть без ущерба для оптимального решения из системы ограничений исключено.

3. Сепарабельное программирование. Специальный случай выпуклого программирования при условии, что F(x) и все gi(х) -- сепарабельные функции, т.е.

Задачи данного вида сводятся к задачам линейного программирования.

4. Дробно-нелинейное программирование. Максимизировать (минимизировать) функцию

F(x) = F1(x)/F2(x).

В частном случае, когда в числителе и знаменателе -- линейные функции (так называемая задача дробно-линейного программирования), задача сводится к линейной.

5. Невыпуклое программирование. Функция F(x) и (или) какие-либо gi(x) не выпуклы. Надежных методов решения задач такого типа пока не существует (3, стр. 74-77)

Как пример, рассмотрим нелинейную модель оптимального распределения ресурсов:

Описание задачи распределения ресурсов

Задача распределения ресурсов рассматривается для n предприятий. Центр осуществляет управление этими промышленными предприятиями, выпускающими однотипную продукцию. Обозначим через Рi объем продукции, выпускаемой предприятием i, i=1,. ..,n. Результат функционирования центра определяется результатами функционирования отдельных производителей, т.к. центр сам не производит продукции.

Считаем, что величина продукции, произведенной i-м предприятием, определяется объемом фондов Fi и количеством рабочей силы Li, согласие производственной функции Кобба- Дугласа:

Где i=1,..,n (4)

В выражении (4) di и ki характеристики предприятия i (i=1,.. .,n), удовлетворяющие условиям: di > 0 , i=1,...,n.

Пусть wi - ставка заработной платы на предприятии i. Тогда доля дохода предприятия i в общей сумме прибыли объединения определится так:

Gi =ci*Pi-wi*Li , i=1,. . .,n.

Если величина фондов предприятия фиксирована, то объем продукции Pi однозначно определяется количеством рабочей силы.

Центр влияет на работу предприятий распределением дополнительного ресурса, который полностью находиться в его распоряжении. Если предприятие i получит дополнительный ресурс в количестве Vi, то оно сможет произвести продукцию в объеме

Задача центра состоит в распределении имеющегося в его распоряжении ресурса В, т. е. в определении оптимальных значений величин Vi, i =1,...,n, обеспечивающих максимум суммарной прибыли объединения в целом.

Математическая форма модели

В данной задаче считаем, что используется схема централизованного планирования, в рамках которой центр рассчитывает оптимальное распределение ресурсов, оптимальные величины рабочей силы при заданных параметрах модели. Конкретно центр изменяет Vi и Li, i = 1,...,n, из условий:

z = max (G1 + G2 + ,..., + Gn) (6)

Vi, Vimin, Li 0,i=1,...,n (7)

Анализ чувствительности модели как способ восстановления финансового равновесия.

Основой сохранения и восстановления финансового равновесия предприятия и снижения уровня риска является анализ чувствительности предложенной модели. Анализ чувствительности состоит из следующих этапов:

1. Выбор ключевого показателя, т.е. такого параметра, относительно которого и рассчитывается чувствительность проекта (чаще всего это чистый приведенный доход и внутренняя норма доходности).

2. Выбор факторов, которые влияют на эти показатели.

3. Расчет значений ключевых показателей на разных этапах реализации проекта (поиск, проектирование, строительство, эксплуатация).

Чем выше чувствительность показателей к факторам внешней среды, тем более рискованным является проект. Для каждого показателя определяется чувствительность каждого момента времени или отрезка времени. Определяется эффективность проекта.

Часто во время анализа чувствительности определяется точка безубыточности проекта, т.е. определяется тот объем выпуска продукции, при котором предприятие выходит из зоны убытка.

Анализ чувствительности проекта разрешает специалистам учитывать риск и неопределенность. Например, если цена продукции оказалась критической, то возможно усилить программу маркетинга или снизить стоимость проекта. Если критическим окажется объем выпущенной продукции, то необходимо повысить квалификацию рабочих, уделить внимание обучению персонала, менеджерам и другим факторам повышения производительности.

Недостатки метода анализа чувствительности:

1. Метод не рассчитан на все случайное и возможное обстоятельства.

2. Метод не уточняет вероятность реализации альтернативных проектов.

Анализ чувствительности оптимального решения

Анализ чувствительности выполняется уже после получения оптимального решения задачи линейного программирования (ЛП). Его цель -- определить, приведет ли изменение коэффициентов исходной задачи к изменению текущего оптимального решения, и если да, то, как эффективно найти новое оптимальное решение (если оно существует).

В общем случае изменение коэффициентов исходной задачи может привести к одной из следующих четырех ситуаций.

1. Текущее базисное решение остается неизменным.

2. Текущее решение становится недопустимым.

3. Текущее решение становится неоптимальным.

4. Текущее решение становится неоптимальным и недопустимым.

Во второй ситуации можно использовать двойственный симплекс-метод для восстановления допустимости решения. В третьей ситуации мы используем прямой симплекс-метод для получения нового оптимального решения. В четвертой для получения нового оптимального и допустимого решения следует воспользоваться как прямым, так и двойственным симплекс-методом.

Список литературы

1. «Исследование операций в экономике» учебное пособие для Вузов, 3-е издание, переработанное и дополненное, под ред. Н.Ш.Кремера, М.: Юрайт, 2013.

2. T.В. Алесинская « Основы логистики. Общие вопросы логистического управления» .Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005.

3. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения. Учебное пособие, М, Инфра-М, 2003 г.

4. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. -М.: Мир,1984.

5. Грешилов А.А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях. - М.: Радио и связь, 1991.

6. Попов Ю.Д. Линейное и нелинейное программирование. Учебное пособие. - Киев, 1988.

7. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Учебное пособие для студентов вузов. - Киев: Вища школа. Головное издательство, 1979

8. Таха Х.. Введение в исследование операций: в 2-х книгах. - М.: Мир, 1985.

9. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1997.

10. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

11. Данко. Высшая математика в примерах и задачах.

12. Алексеев В. М., Голеев В. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации: Теория, примеры, задачи. М., Наука, 1984.

13. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985.

14. Ильин В.А.., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., Наука, 1983.

15. Ильин В.А.., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., Наука, Ч.1,2, 1980.

16. Клетеник Д..В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 1984.

17. Кудрявцев Л.Д.. Курс математического анализа. М., Высш. шк., Т. 1-3, 1988.

18. Кудрявцев Л.Д.. Краткий курс математического анализа. М., Наука, 1989.

19. Кудрявцев Л.Д.., Кутасов А..Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Наука, 1984.

20. Кремер Н. Ш., Путко Б. А.., Тришин И.М., Фридман М. Ф. Высшая математика для экономистов. М., Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998.

21. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. М., Высш. шк., 1999.

22. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов. Руководство для решения задач. Ростов н/Д., Феникс., 1999.

23. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М., Высш. шк., 1997.

24. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Наука., 1987.

25. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Наука., 1982.

26. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М., Наука., 1980.

27. Вентцель Е.С Исследование операций. Задачи. Принципы. Методология, 1980.

28. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. - М.: Машиностроение, 1986.

29. Исследование операций/ Под редакцией М.А. Войтенко и Н.Ш. Кремера.-М.: Экономическое образование, 1992.

30. Карасев А.И., Аксютин З.М., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании М.: Экономика, 1987.

31. Исследование операций / Н. Н. Писарук. Минск: БГУ, 2013.272 c.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

    Графическое решение задач линейного программирования. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Возможности практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении экономических задач.

    курсовая работа , добавлен 02.10.2014

    Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.

    реферат , добавлен 11.02.2011

    Изучение экономических приложений математических дисциплин для решения экономических задач: использование математических моделей в экономике и менеджменте. Примеры моделей линейного и динамического программирования как инструмента моделирования экономики.

    курсовая работа , добавлен 21.12.2010

    Основные понятия линейной алгебры и выпуклого анализа, применяемые в теории математического программирования. Характеристика графических методов решения задачи линейного программирования, сущность их геометрической интерпретации и основные этапы.

    курсовая работа , добавлен 17.02.2010

    Математическая формализация оптимизационной проблемы. Геометрическая интерпретация стандартной задачи линейного программирования, планирование товарооборота. Сущность и алгоритм симплекс-метода. Постановка транспортной задачи, последовательность решения.

    учебное пособие , добавлен 07.10.2014

    Теоретические основы экономико-математических методов. Этапы принятия решений. Классификация задач оптимизации. Задачи линейного, нелинейного, выпуклого, квадратичного, целочисленного, параметрического, динамического и стохастического программирования.

    курсовая работа , добавлен 07.05.2013

    Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП). Приведение задачи ЛП к стандартной форме. Теоремы двойственности и их использование в задачах ЛП. Транспортная задача и её решение методом потенциалов. Интерполирование табличных функций.

    курсовая работа , добавлен 31.03.2014

    Цель работы: изучить и научиться применять на практике симплекс - метод для решения прямой и двойственной задачи линейного программирования. Математическая постановка задачи линейного программирования. Общий вид задачи линейного программирования.

    реферат , добавлен 28.12.2008

    Модель динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана. Описание процесса моделирования и построения вычислительной схемы динамического программирования. Задача о минимизации затрат на строительство и эксплуатацию предприятий.

    дипломная работа , добавлен 06.08.2013

    Основные подходы к математическому моделированию систем, применение имитационных или эвристических моделей экономической системы. Использование графического метода решения задачи линейного программирования для оптимизации программы выпуска продукции.

Адрес 153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, д. 34, корпус А, ауд. 206 Аудитории Ауд. А-205 (Телефон: 269796) Ауд. А-206 (Телефон: 269748)

Руководитель

Фото Должность декан Степень доктор экономических наук Звание Профессор E-mail karyakin economic ispu ru Информация

В 1979 году закончил ИЭИ по специальности «Электрические машины». В 1987 году защитил кандидатскую диссертацию в ИЭИ на тему: «Разработка и совершенствование процедур, алгоритмов и моделей автоматизированного проектирования силовых трансформаторов при решении задач структурно-параметрической оптимизации по специальности «Системы автоматизированного проектирования» 05.13.12. В 1999 году защитил докторскую диссертацию в ИвГУ на тему: «Совершенствование управления предприятиями в наукоемких отраслях на основе динамических структур: Теоретико-методические аспекты» по специальности 08.00.05, 08.00.28 "Экономика и управление в народном хозяйстве".
Научные интересы : стратегический менеджмент, управление персоналом, организационное поведение, энергетическая безопасность, информационные системы в экономике.
Публикации более 230 наименований. Среди них 22 учебных пособия и 5 монографий, 102 статьи в отечественных и зарубежных журналах и сборниках трудов.

Секретарь: Щудрова Наталья Сергеевна

Штатные сотрудники

Фото

Должность доцент Степень кандидат экономических наук E-mail ivanova-oe bk ru Информация

В 2008 г. закончила ИГЭУ по специальности 080507.65 «Менеджмент организации» (спец. «Финансовый менеджмент»). В 2011 г. в ЯрГУ защитила диссертацию на соискание ученой степени кандидата экономических наук по специальности 08.00.05 «Экономика и управление в народном хозяйстве (управление инновациями)» на тему: «Инновационный потенциал энергетических сетевых компаний: оценка и использование при формировании инвестиционной стоимости».
Сертификаты, удостоверения
Научные интересы : управление инновациями, развитие инновационной инфраструктуры регионов и территорий, модернизация национальной инновационной системы.
Публикации : автор более 80 научных трудов и учебно-методических публикаций.

Функции: заместитель декана по 1-2 курсам и заочному отделению.
Контакты : корпус А, ауд. 205

Фото

Должность доцент Степень кандидат исторических наук Звание Доцент E-mail kor_tv mail ru Информация

В 1997 году закончила ИвГУ по специальности «Историк. Преподаватель истории». В 2002 году защитила кандидатскую диссертацию в ИвГУ на тему «Женское движение во Франции 1789 - 1914 гг.» по специальности 07.00.03 - всеобщая история.
Научные интересы : гендерная история, социальная история, политическая история, социология общественных движений, история женского образования, воспитательная работа, компетентностный подход.
Публикации : автор 71 публикации, их них: 3 монографии, 4 учебных пособия, 11 учебно-методических разработок, 2 электронных учебных пособия.
Повышение квалификации

Функции : заместитель декана по воспитательной работе.

Фото

Должность доцент Информация

В 1990 году с отличием окончил Ивановский энергетический институт им. В.И. Ленина, квалификация инженер -промтеплоэнергетик.
Сертификаты, удостоверения :

    Сертификат №0180-02.06 - независимого эксперта по расчету и экспертизе нормативов технологических потерь при передаче тепловой энергии, удельного расхода топлива на отпущенную электрическую и тепловую энергию от тепловых электростанций и котельных и нормативов создания запасов топлива на тепловых электростанциях и котельных, выдан Межрегиональной ассоциацией «Энергоэффективность и нормирование», Межрегиональным институтом менеджмента энергоэффективности, г. Москва, 2006 г.

    Свидетельство №Э-0066 о подготовке энергоаудиторов и энергоменеджеров, выдано Нижегородским учебно-научным инновационным центром энергосбережения НГТУ, 2000 г.

    Удостоверение №Э-135 о краткосрочном повышении квалификации по «Энергетическому аудиту и энергосбережению в бюджетной сфере и промышленности», выдано Нижегородским учебно-научным инновационным центром энергосбережения НГТУ, 2001 г.

    Свидетельство о повышении квалификации СПК-0068 по экономике и управлению производством, выдано ФПКП ИГЭУ, 2002 г.

    Удостоверение №ГУ06-925 о краткосрочном повышении квалификации по расчету и экспертизе технологических потерь тепловой энергии, удельных расходов топлива и нормативов создания запасов топлива, выдано Межрегиональным институтом менеджмента энергоэффективности ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», г. Москва, 2006 г.

    Свидетельство о повышении квалификации на ФПКП по программе "Вопросы технологии обучения", №УПК-231 выдано ФПКП ИГЭУ, 2007 г.

Научные интересы : энергосбережение, энергетический менеджмент, энергетический аудит, цены и тарифы на энергию, оценка экономической эффективности инвестиционных проектов.
Публикации : автор более 85 публикаций, из них 8 учебно-методических и более 40 научно-исследовательских работ.

Функции: заместитель декана по профориентации, член ревизионной комиссии профсоюзной организации.

Фото

Должность доцент Степень кандидат экономических наук Звание Доцент E-mail tarasova_as eiop ispu ru Информация

В 2002 году окончила ИГЭУ по специальности «Экономика и управление на предприятии». В 2009 году защитила кандидатскую диссертацию в ИГХТУ на тему: «Совершенствование методов обеспечения финансовой устойчивости оптовых генерирующих компаний Российской Федерации» по специальности 08.00.10 «Финансы, денежное обращение и кредит».

Сертификаты , удостоверения :

    Сертификат ГОУ ВПО «Московский Государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)», г. Москва по направлению «Менеджмент».

    Сертификат ГОУ ВПО «Московский Государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)», г. Москва по программе «Эффективное управление финансами высшего учебного заведения».

    Сертификат Корпоративном энергетическом университете, г. Москва по программе повышения квалификации преподавателей Вузов «Экономика и управление в современной электроэнергетике.

Научые интересы : стратегический анализ, инвестиционная политика компаний, финансовая устойчивость, внешнеэкономическая деятельность.
Публикации : автор 23 публикаций, в том числе 1 монографии, 4 методических пособий и 17 научных статей.

Функции: заместитель декана по III-IV курсам и магистратуре.
Контакты : корпус А, ауд. 205

В учебном пособии представлены модели линейного и целочисленно­го программирования, классические методы оптимизации, задачи выпук­лого и динамического программирования, модели управления запа­сами и сетевого планирования и управления, элементы теории игр и массового обслуживания. Рассмотрены некоторые вопросы применения ЭВМ для решения задач математического программирования. Приводит­ся большое количество экономических задач с решениями и для само­стоятельной работы. Для студентов экономических вузов, экономистов и лиц, занимаю­щихся самообразованием

Раздел I Модели линейного ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Глава 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 2.1.

Глава 3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 8. МОДЕЛИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Раздел II Модели нелинейного ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 10. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Глава 11. МОДЕЛИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 11.1.

Глава 12. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Раздел III Специальные модели ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Глава 14. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ 14.1.

Глава 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Глава 16. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 16.1.

Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»

Аспирантура

Рабочая программа дисциплины

Исследование операций в экономике

Специальность: 08.00.05 «Экономика и управление народным хозяйством

(по отраслям и сферам деятельности)»

К. физ. мат..н.,

доцент, профессор МЭБИК

Курск – 2011

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к рабочей программе курса «Исследование операций в экономике»

Программа дисциплины «Исследование операций в экономике» отнесена к блоку факультативных дисциплин основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования специальности 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством.

Исследование операций в экономике – комплексная дисциплина, занимающаяся построением, разработкой и применением математических моделей принятия оптимальных решений. В настоящее время исследование операций является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов прикладной математики, имеющим многочисленные приложения. Развитие исследования операций тесно связано с научно-техническим прогрессом и усложнением техники, со значительным увеличением масштабов мероприятий, проводимых в различных сферах человеческой деятельности, с непропорциональным возрастанием затрат материальных и временных ресурсов на их реализацию; с широким внедрением вычислительной техники и математических методов в сфере управления.

В настоящее время методы исследования операций находят широкое применение в решении самых разнообразных практических задач, начиная от перспективного планирования научных разработок и кончая прогнозированием сферы обслуживания.

Цель курса «Исследование операций в экономике»: способствовать овладению аспирантом методами исследования операций, вооружить его знаниями, умениями и навыками, позволяющими устанавливать связь между строгими математическими исследованиями, с одной стороны, и практическими задачами принятия решений – с другой.

Задачи курса «Исследование операций в экономике»:

способствовать пониманию основных идей, понятий и методов исследования операций;

обучать созданию, анализу и использованию математических моделей задач исследования операций с целью прогнозирования и оптимизации процессов, связанных с различными сферами человеческой деятельности;

демонстрировать практические приложения исследования операций в науке, производстве, управлении, сфере обслуживания, строительстве и т. п.

Для успешного изучения курса «Исследование операций в экономике» не обходимо знание основ высшей алгебры, аналитической геометрии, математического анализа.

В результате изучения дисциплины «Исследование операций в экономике»

аспирант должен знать :

основы линейного программирования;

методы решения задач целочисленного программирования;

методы решения транспортных задач»;

основы теории нелинейного программирования;

основы динамического программирования;

элементы теории стохастического программирования;

элементы теории игр;

основы теории массового обслуживания;

аспирант должен уметь :

строить математические модели задач линейного, целочисленного, нелинейного, динамического программирования;

решать задачи линейного программирования;

решать задачи целочисленного программирования;

решать транспортные задачи;

решать задачи нелинейного программирования;

решать задачи многошаговой оптимизации методом динамического программирования;

находить решение матричных игр.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КУРСА

«Исследование операций в экономике»

Очная форма обучения

Наименование разделов, тем

Всего

часов

в тру-

доем-

кости

В том числе аудиторных

Само-

стоя-

тельная работа

всего

лекции

семинар-ские, практи-

ческие занятия

лабора-

торные занятия

Введение в исследование операций. Основы классической теории оптимизации

Итого

Форма итогового контроля

экзамен

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

курса «Исследование операций в экономике»

Тема 1. Введение в исследование операций. Основы классической теории оптимизации

Понятие операции. Цель и задачи исследования операций. Примеры задач исследования операций. Место дисциплины исследования операций среди смежных дисциплин. Введение в классическую теорию оптимизации. Основные понятия и определения: задача оптимизации, виды критериев и их свойства, оптимальное решение. Постановка задачи оптимизации. Типы оптимальных решений. Графическое решение. Понятие градиента и его геометрическая интерпретация. Множество допустимых решений. Этапы исследования операций. Классификация методов исследования операций. Типовые постановки задач, их геометрическая интерпретация и методы решения.

Тема 2. Безусловная одномерная оптимизация

Аналитический и графический анализ функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Процесс численного нахождения оптимального решения. Начальное приближение. Контроль точности. Классификация численных методов. Поисковые методы точечного оценивания: метод обратного переменного шага, квадратичной аппроксимации, метод Пауэлла. Методы последовательного сокращения отрезка неопределенности: равномерный поиск, метод локализации оптимума, половинного деления, золотого сечения, Фибоначчи. Сравнительный анализ одномерных методов сужения интервала.

Тема 3. Безусловная многомерная оптимизация

Аналитический и графический анализ функции. Общая идея численных методов. Методы оценки точности решения. Классификация численных методов. Поисковые методы переборного типа: сканирования с равномерным и переменным шагом. Методы на основе пошаговой одномерной оптимизации: поочередного изменения переменных, Гаусса - Зейделя, Хука-Дживса. Симплексные алгоритмы: обычный симплекс-метод, метод Нелдера-Мида. Методы случайного поиска: ненаправленный случайный поиск, метод случайных направлений. Многомерные методы оптимизации с использованием производных: градиентный, наискорейшего спуска (крутого восхождения). Сравнительный анализ многомерных методов оптимизации.

Тема 4. Модели и методы линейного программирования

Постановка и особенности задач условной оптимизации. Классификация и характеристика методов решения. Линейное программирование. Примеры построения линейных оптимизационных моделей: оптимальная смесь, оптимизация плана производства, распределение ресурсов, загрузка оборудования и др. Геометрическая интерпретация и графический метод решения. Графический анализ устойчивости решения задачи линейного программированиия. Каноническая форма задачи. Методы решения задач линейного программирования. Теоретическая основа симплекс-метода и алгоритм его реализации. Постановка и решение двойственной задачи линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.

Тема 5. Специальные задачи линейного программирования

Целочисленная задача линейного программирования. Методы отсечения. Метод Гомори. Понятие о методе ветвей и границ. Постановка и методы решения транспортной задачи. Закрытая и открытая модель транспортной задачи. Задача о назначениях и выбора кратчайшего пути. Задача коммивояжера. Элементы теории игр. Основные понятия, классификация и описание игр. Матричные игры и понятие седловой точки. Смешанные стратегии. Решение матричных игр методами линейного программирования и графическим способом.

Тема 6. Условная оптимизация. Нелинейное программирование

Постановка задачи и ее анализ. Выпуклое множество. Выпуклая и вогнутая функции. Выпуклая задача оптимизации. Классификация задач и методов нелинейного программирования. Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Графический метод решения для функции двух переменных. Классические методы решения с ограничениями типа равенств: метод исключения, метод множителей Лагранжа. Неклассические методы решения с ограничениями типа неравенств. Необходимые и достаточные условия Куна - Таккера для условного экстремума. Выпуклая задача квадратичной оптимизации. Постановка и методы решения задачи квадратичного программирования. Поисковые методы решения задач нелинейного программирования: линейной аппроксимации, "скользящего" допуска, возможных направлений, штрафных и барьерных функций.

Тема 7. Динамическое программирование

Общая схема методов динамического программирования. Примеры задач динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Общая схема применения метода динамического программирования. Задача о замене оборудования.

Тема 8. Специальные модели исследования операций

Модели сетевого планирования и управления. Основные элементы сетевой модели. Порядок и правила построения сетевых графиков. Упорядочение и оптимизация сетевого графика. Модели управления запасами. Статические детерминированные модели. Управление запасами при случайном спросе и предложении.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ

по курсу «Исследование операций в экономике

Введение в исследование операций.
Основы классической теории оптимизации

1. Примеры постановок задач исследования операций в управлении экономикой

2. Общая классификация численных методов классической безусловной оптимизации.

3. Постановки задач безусловной и условной оптимизации.

4. Основные этапы исследования операций.

5. Понятие задачи выпуклого программирования. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Безусловная одномерная оптимизация

6. Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной.

7. Классификация и основные идеи численных методов одномерной оптимизации.

8. Сравнительный анализ численных методов одномерной оптимизации.

Безусловная многомерная оптимизация

9. Классификация численных методов многомерной оптимизации. Методы сканирования и локализации оптимума.

10. Методы покоординатного поиска экстремума функции нескольких переменных.

11. Симплексные методы поиска экстремума функции нескольких переменных.

12. Градиентные методы оптимизации.

13. Методы случайного поиска экстремума.

14. Методы случайных направлений

15. Сравнительный анализ численных методов многомерной оптимизации.

Условная оптимизация. Нелинейное программирование

16. Постановка задачи и классификация методов статической условной оптимизации.

17. Постановка задачи нелинейного программирования. Классические методы ее решения для системы ограничений в виде равенств.

18. Поисковые методы решения задачи нелинейного программирования. Методы штрафных и барьерных функций.

19. Постановка и методы решения задачи квадратичного программирования.

Модели и методы линейного программирования

20. Постановка и методы решения задачи линейного программирования. Ее геометрическая и экономическая интерпретации.

21. Каноническая форма задачи линейного программирования. Симплексный метод ее решения.

22. Понятие двойственной задачи линейного программирования. Постановка и экономическая интерпретация.

Специальные задачи линейного программирования

23. Целочисленная задача линейного программирования и методы ее решения.

24. Транспортная задача линейного программирования. Постановка и методы решения.

25. Теория игр. Основные понятия, классификация и описание игр.

Динамическое программирование

26. Постановка и методы решения задачи динамического программирования.

27. Геометрическая и экономическая интерпретации задачи.

Специальные модели исследования операций

28. Сетевые модели планирования и управления.

29. Решение сетевых задач по различным критериям

30. Модели управления запасами в детерминированной постановке.

31. Модели управления запасами в стохастической постановке.

ЛИТЕРАТУРА

по курсу «Исследование операций в экономике»

Основная литература

1. , Коробко методы и модели для менеджмента. – СПб: Лань, 2007 г.

2. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Под ред. . - М.: ЮНИТИ, 20с. - Гриф МО РФ

3. Стронгин операций. Курс лекций. –М: Интуит, 2006 г.

Дополнительная литература

1. Вентцель операций.- М.: Высшая школа, 2001.

2. , Загоруйко операций: Учеб. для вузов/ Под ред. , Изд-во МГТУ им. , 200с.

3. Исследование операций в экономике /, ; Под ред. проф..- М.: ЮНИТИ, 200c.

4. Конюховский методы исследования операций в экономике.- СПб: Питер, 2000.-208 с.

5. , Костевич к решению задач по математическому программированию.- Мн.: Выш. шк., 2001.

6. , Летова оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк., 200с.

7. , Волоценко программирование. –М: Высшая школа, 1990 г.

8. Таха Х. Введение в исследование операций. –М: Мир, 1985 г.

9. исследование операций в задачах, алгоритмах, программах. –М: Радио и связь, 1984 г.

10. , Шахдинаров и модели управления фирмой. –СПб: Питер, 2001 г.

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

по дисциплине «Исследование операций в экономике»

Тема практического занятия

Типовые постановки задач оптимизации, их геометрическая интерпретация и методы решения. Типы оптимальных решений. Графическое решение. Понятие градиента и его геометрическая интерпретация. Множество допустимых решений. Этапы исследования операций. Классификация методов исследования операций.

Классификация численных методов. Поисковые методы точечного оценивания: метод обратного переменного шага, квадратичной аппроксимации, метод Пауэлла. Методы последовательного сокращения отрезка неопределенности: равномерный поиск, метод локализации оптимума, половинного деления, золотого сечения, Фибоначчи.

Классификация численных методов. Поисковые методы переборного типа: сканирования с равномерным и переменным шагом. Методы на основе пошаговой одномерной оптимизации: поочередного изменения переменных, Гаусса - Зейделя, Хука-Дживса. Симплексные алгоритмы: обычный симплекс-метод, метод Нелдера-Мида. Методы случайного поиска: ненаправленный случайный поиск, метод случайных направлений. Многомерные методы оптимизации с использованием производных: градиентный, наискорейшего спуска (крутого восхождения).

Примеры построения линейных оптимизационных моделей: оптимальная смесь, оптимизация плана производства, распределение ресурсов, загрузка оборудования и др. Геометрическая интерпретация и графический метод решения. Графический анализ устойчивости решения задачи линейного программирования.

Постановка и методы решения транспортной задачи. Закрытая и открытая модель транспортной задачи. Задача о назначениях и выбора кратчайшего пути. Задача коммивояжера.

Основные понятия, классификация и описание игр. Матричные игры и понятие седловой точки. Смешанные стратегии. Решение матричных игр методами линейного программирования и графическим способом.

Постановка и геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Графический метод решения для функции двух переменных. Классические методы решения с ограничениями типа равенств: метод исключения, метод множителей Лагранжа. Неклассические методы решения с ограничениями типа неравенств. Необходимые и достаточные условия Куна - Таккера для условного экстремума.

Примеры задач динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Общая схема применения метода динамического программирования. Задача о замене оборудования.

Порядок и правила построения сетевых графиков. Упорядочение и оптимизация сетевого графика. Модели управления запасами. Статические детерминированные модели. Управление запасами при случайном спросе и предложении.

МЕТОД - совокупность приемов и способов теоретического познания или практического освоения действительности. Например, в области познания существуют следующие методы: наблюдение, эксперимент, идеализация, аналогия, индукция, дедукция, анализ, синтез, формализация и пр.

Словарь терминов и понятий по обществознанию. Автор-составитель А.М. Лопухов. 7-е изд. переб. и доп. М., 2013, с. 216.

Научный метод

НАУЧНЫЙ МЕТОД (от др.-греч. μέθοδος - способ, путь познания). Выделяются два подхода (стратегический и тактический) к дефиниции научного метода: 1) метод как способ, средство достижения цели и задач исследования; 2) метод как система принципов, правил, приемов и процедур познания. Структура научного метода включает: методологические подходы и принципы; процедуры и операции, направленные на сбор, регистрацию, хранение, поиск, систематизацию и преобразование информации. Основу научного метода, по мнению большинства исследователей, составляют подходы и принципы (теория метода). Подход определяет основной путь решения исследовательской задачи, т. е. раскрывает стратегию исследования. В современной исторической науке используются различные подходы - эволюционный, системный, структурно-функциональный, модельный, цивилизационный, формационный и проч. Все методологические подходы связаны с определенными теориями познания...

Методы исторического исследования

МЕТОДЫ ИСТОРИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ - 1) категория частнонаучных методов, используемых в исторической науке; 2) вспомогательная историческая дисциплина, объектом исследования которой выступают методы исторического исследования, их информационный потенциал, возможности и ограничения, методологические и методические вопросы реализации. В исторической науке при определении содержания методов исторического исследования выделяется два подхода: 1) акцент делается на их тесную связь с изучением исторических источников: под историческими методами подразумеваются приемы критики исторических источников, прежде всего письменных...

Классификации метод

КЛАССИФИКАЦИИ МЕТОД - 1) процесс отнесения (распределения) классифицируемого объекта к определенной группе (разделу) на основе нахождения у объекта заданного признака; 2) система классов, предназначенных для характеристики качественно однородной совокупности предметов (понятий). В исторической науке метод классификации используется для систематизации и анализа исторических явлений (источников, массовых объектов) и представляет собой последовательность логических процедур: определение объекта классификации; обоснование принципа (основания) деления; выделение разделов классификации. Классификация должна отвечать требованиям однозначности, всеобщности и единства основания...

Вспомогательные методы исторического исследования

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИСТОРИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ - методы исторического исследования, разработанные в рамках вспомогательных исторических дисциплин, которые выступают в качестве самостоятельных отраслей исторической науки, обладающих своим объектом и предметом исследования и ориентированных на изучение определенных видов исторических источников или их свойств.

Метод (Шапарь, 2009)

МЕТОД (метод исследования) (греч. methodos) - способ организации деятельности, обосновывающий нормативные приемы осуществления научного исследования. Путь исследования, вытекающий из общих теоретических представлений о сущности изучаемого объекта. Сюда относятся и самые общие принципы, лежащие в основе познания и практики, и вполне конкретные приемы обращения с тем или иным предметом - понятие метода распространяется на различные области практики.

Метод (Грицанов, 1998)

МЕТОД (греч. methodos - путь к чему-либо, прослеживание, исследование) - способ достижения цели, совокупность приемов и операций теоретического или практического освоения действительности, а также человеческой деятельности, организованной определенным образом. М. в науке - это также и заданный сопряженной гипотезой путь ученого к постижению предмета изучения. В границах античной философии было впервые обращено внимание на взаимосвязь результата и М. познания. Систематическое исследование М. связано с генезисом экспериментальной науки.

Метод (Райзберг, 2012)

МЕТОД - способ поиска, выработки, построения, обоснования, передачи новых знаний, умений, совокупности процедур и операций теоретического и эмпирического познания, освоения реальной действительности, преобразования и использования всего сущего. В экономике и социологии широко используются исторический, сравнительный, генетический, статистический, опросно-наблюдательный, документальный, модельный, математический, эвристический методы.

Райзберг Б.А. Современный социоэкономический словарь. М., 2012, с. 277.

Метод аксиоматический

МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ - способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые ее положения - аксиомы или постулаты, из которых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых доказательствами. Правила, по которым должны проводиться эти рассуждения, рассматриваются в логике - в учении о дедукции-, все понятия, с которыми имеют дело в доказательствах (кроме небольшого числа первоначальных понятий), вводятся на основе определений, разъясняющих их смысл через ранее введенные или известные понятия.