Фрактал Мандельброта – изучение и применение в торговле. Использование фракталов на форекс. Индикаторы фракталов и их модификации. Бенуа Мандельброт — его фракталы и их применение в форекс анализе

Книга известного американского математика Бенуа Мандельброта посвящена фрактальной геометрии и фундаментальным вопросам случайности. Фрактальную геометрию Мандельброт придумал, когда писал труды по финансам в шестидесятые годы. Данное произведение содержит, среди прочих, эти труды, которые ранее не издавались, а также фундаментальные представления о случайности. На мой взгляд, книга будет полезна тем, кто предполагает заработать на фондовом/валютном рынке (в качестве отрезвляющего душа), а также всем, кто размышляет о роли случая и закономерностях.

Ранее я читал Бенуа Мандельброт. .

Бенуа Мандельброт. Фракталы, случай и финансы. – Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. – 256.

Скачать конспект (краткое содержание) в формате или

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ФРАКТАЛЫ

Глава 1.1. Признанный и принесший плоды «мезальянс»

Еще в самом начале своей научной карьеры я пришел к выводу, что многочисленные реально существующие формы настолько нерегулярны или изломаны, что сложность Природы не только количественно, но и качественно превосходит все то, что допускает геометрия Евклида. Для того, чтобы охарактеризовать отрезок или окружность, достаточно некоторого небольшого количества отдельных измерений, в природе же это число столь велико, что его можно считать практически бесконечным.

Решившись принять упомянутый вызов, я задумал и разработал новую геометрию природы, а затем использовал ее во множестве различных областей. Фракталы - это объекты (математические, природные или созданные человеком), которые мы называем неправильными, шероховатыми, пористыми или раздробленными, причем указанными свойствами фракталы обладают в одинаковой степени в любом масштабе. Можно сказать, что форма этих объектов не изменяется от того, рассматриваем мы их вблизи или издалека.

Связующей нитью, определяющей понятие фрактала, стала идея о том, что некоторые феномены нашего мира имеют одинаковую структуру при рассматривании их вблизи или издалека (т.е. в любом масштабе) - когда мы увеличиваем картинку, желая разглядеть что-либо получше, изменяются лишь незначительные детали. Так, каждый малый участок фрактала представляет собой ключ к целой конструкции. Я использую термин «самоподобие».

Я описал горы, облака, деревья, скопления галактик и следы биржевого курса, но описывать их достаточно совершенным образом, позволяющим имитировать эти реальные объекты и создавать их дубликаты с помощью математических формул. Тот факт, что эти дубликаты или имитации были основаны на статистических моделях, вызывал законное удивление. Потому что никто не ожидал, что в объяснении происходящего окажется столько случайного .

Однако теория детерминистского хаоса как раз тогда находилась в стадии образования. Очень хорошо читается книга, написанная на эту тему Глейком (подробнее см. ). Фундаментальный факт состоит в том, что динамическая система может быть абсолютно детерминистской, но не обнаруживать правильного и ручного поведения, а именно этим поведением ограничиваются все известные мне курсы механики. Она может обнаруживать так называемые хаотические формы поведения. Они неслучайны, но рассматривать их как нечто, возникающее не в результате стихийного случая, стоит большого труда.

Изучение детерминистского хаоса порождает бесчисленное количество очень сложных геометрических форм. Обычная геометрия полностью непригодна для их изучения, тогда как фрактальная геометрия изначально представляла собой средство, в высшей степени подходящее для их изучения.

Термин «хаос», прежде чем ему приписали только что обсуждавшийся формальный смысл, часто использовался для описания поведения биржи. Отсюда только один шаг отделяет нас от постановки вопроса о том, можно или нельзя объяснить данное поведение в вышеупомянутом формальном смысле. Более того! В механике хаос вызывает удивление, поскольку там действуют неоспоримые детерминистские законы. При изучении же финансов действия сколько-нибудь похожих законов мы не наблюдаем.

Глава 1.2. Самоподобие и самоаффинность

Некоторый объект называется самоподобным, если его «целое» (то есть сам объект, взятый целиком) можно разделить на «части», каждая из которых получается из целого посредством преобразования подобия, то есть редукции или линейного сжатия. С математической точки зрения процесс редукции можно повторять произвольное число раз. Отсюда сразу следует, что самоподобный математический объект состоит из бесконечно малых деталей. Между тем реально существующие фракталы ограничены и лишены бесконечно малых деталей.

Огибающая кривая: кривая Коха или «снежинка». Этот объект придумал в 1904 году математик Хельге фон Кох. Ему хотелось убедить скептиков не только в том, что можно построить непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке, но и в том, что это свойство получается очень простым образом.

Для того, чтобы построить внутреннюю область трети снежинки, надо предпринять шаги, показанные на рис. 1. Начинаем с отрезка единичной длины, который делится на три части. К средней из этих частей прилагаются два других отрезка так, чтобы получился равносторонний треугольник. Точно так же поступаем затем с отрезками длины 1/3, 1/9, 1/27 и т.д.

Рис. 1. Построение кривой Коха («снежинки»). Последовательные аппроксимации кривой представлены границей между черным и белым

Через n поколений равносторонних треугольников получаем ломаную линию, которая и будет границей объекта, изображенного на рис. 1. Поскольку первоначальная длина стороны треугольника равна трем единичным отрезкам, а после «вытягивания» – четырем единичным отрезкам, длина ломанной границы снежинки равна 4/3 в степени n . Поскольку множитель 4/3 больше единицы, эта длина бесконечно возрастает вместе с n . Граница стремится к пределу бесконечной длины.

В самоподобии непременно участвует концепция вращения, а также изменения длины отрезка, в частности, можно говорить об операции уменьшения этой длины в некотором соотношении r .

Термин «аффинные» введен великим математиком Леонардом Эйлером . Самоаффинность исключает вращение, однако ее операции распадаются на перенос и редукцию, подверженную куда меньшему числу ограничений, чем в случае самоподобия. При всем этом теория самоаффинности неизбежно сложнее и запутаннее, чем в случае самоподобия. Без решения остаются множество очень простых математических вопросов.

К счастью, можно достичь замечательного компромисса между простотой и мощностью, используя аффинности, которые я называю диагональными, так как у их матрицы есть только диагональные элементы. Такая аффинность - это преобразование, сжимающее графики в двух разных отношениях: в отношении r t по времени и в каком-либо другом отношении r p по цене.

Мы будем говорить, что некоторая хроника обладает диагональной самоаффинностью, если ее редуцированная форма полностью идентична, точно или только статистически, любой ее части, менее протяженной во времени.

На рис. 2 показано, как строится самоаффинная кривая, соединяющая точки X (0) = 0 и X (1) = 1 внутри единичного квадрата. В качестве «инициатора» берется диагональ с единичным наклоном, а в качестве «генератора» - ломаная линия, т.е. кривая, составленная из конечного числа отрезков прямой таким образом, чтобы проходить из левого нижнего угла в правый верхний (см. маленький график вверху слева). На следующем этапе каждый отрезок генератора заменяется своей аффинной копией, уменьшенной и перенесенной так, чтобы две ее крайние точки совпадали с концами исходного отрезка (второй маленький график). Далее показаны 3-й и 4-й этапы, а также некоторый значительно более поздний этап.

Рис. 2. Диагональные самоаффинные построения

Самоаффинные кривые описанного выше вида суть эскизы финансовой реальности!

Глава 1.3. Принципы масштабирования, масштабируемые распределения, фрактальные размерности и показатель Н

Говорят, что две измеримые величины X и Y связаны законом масштабирования, когда существует такой показатель ε , что X = Y ε , или, иначе говоря, когда logX/log Y = const. Для характеристики самоподобия используется геометрический показатель – размерность подобия. Вернемся к построению кривой, составляющей снежинку. Генератор состоит из N = 4 отрезков, каждый из которых имеет длину r = 1/3. Размерность подобия:

В случае самоаффинности все оказывается гораздо сложнее. Например, для графика цены Р в зависимости от времени t можно записать:

В моих моделях цена P(t) - это недифференцируемая функция времени t, что на практике означает, что угол наклона отношения ∆Р/∆t очень сильно зависит от ∆t (и от случая), так что он бесполезен при оценке уровня изменчивости. Напротив, показатель H(t) изменяется мало, поэтому может быть очень полезен, при условии, что мы привыкнем рассуждать в терминах этого показателя.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МНОЖЕСТВЕННОСТЬ «СОСТОЯНИЙ» СЛУЧАЯ

Глава 2.1. От случая ручного к случаю стихийному

Понятие «случай» выступает в науке в самых разных формах, и мы только выиграем, если предположим, что случай может находиться в нескольких различных «состояниях». «Ручное» состояние случая уже тысячу раз доказало нам свою полезность, но его недостаточно для описания процессов, происходящих на бирже, или многих других природных или социальных феноменов. Я воспользуюсь другим термином - «стихийное». Кроме того, необходимо допустить наличие третьего состояния, которое я буду называть «медленным».

В чем же заключалась центральная мысль моих работ в области финансов? Общепринятое предположение следовало за физикой и успокаивалось на броуновском движении. Допускалось, что цены - это непрерывные функции от времени, а их флуктуации не более значительны, чем флуктуации, описываемые уже классическим распределением Гаусса. Но изучение фактов показало обратное: функции разрывны, а их флуктуации достигают огромных значений. И если броуновский случай очень легко квалифицировать как ручной, то для описания биржи необходима какая-то совершенно другая форма случая.

Если мы хотим доказать, что та или иная наука перешла в разряд точных, то самыми существенными будут в таком доказательстве аргументы, демонстрирующие ручной характер наиболее важных из имеющихся в данной науке флуктуаций. И наоборот, науки, в которых основными видами шума управляет стихийный случай, рискуют долгое время оставаться среди «не совсем точных».

Широко распространено и противоположное мнение: единственное преимущество точных наук состоит в том, что у них было больше времени для развития - мне, впрочем, кажется, что эта точка зрения противоречит урокам истории. Даже если ограничиться теми феноменами, которые наш разум называет физическими, то задача о предсказании разливов рек и задача о предсказании положения планет были поставлены приблизительно в одно и то же время, однако первая из них надолго осталась в области суеверий, тогда как вторая развивалась самым блестящим образом - результатом этого развития, собственно, и стала физика, «как она есть». Просто «так случилось», что флуктуации в последней задаче малы и в пределе пренебрежимы.

Глава 2.5. Ной, Иосиф и несколько примеров стихийного случая, малопонятных, но неизбежных

Зачастую в поисках опоры мы хватаемся за утверждение о том, что эффекты Ноя и Иосифа могут быть только переходными. Отсюда - поразительные и дорогостоящие попытки построить процессы, которые я рассматриваю как имитацию этих эффектов при среднем количестве данных, асимптотически всегда ручных.

Поразительный пример - распределение личных доходов. Формула, предложенная Парето в 1896 году, имеет, как мы увидим, одну особенность - ее дисперсия бесконечно велика. Это и есть проявление эффекта Ноя; если он постоянен, возможность применения центральной предельной теоремы исключается.

Многим авторам эта последняя возможность казалась попросту немыслимой; ее следовало избежать любой ценой. Некоторые предлагали урезать аналитическое выражение Парето, учитывая тот факт, что никакой личный доход не превосходит, допустим, триллиона франков. Конечно, это позволяло спасти желанный вывод, то есть «прирученность» асимптотического поведения; нужный результат получается за счет отодвигания вышеупомянутой асимптотики в будущее, не представляющее для нас никакого интереса.

Ряд других авторов (начиная с самого Парето) предлагали добавить к вычисляемому распределению экспоненциальный член, который будет играть свою роль только в асимптотике. Многие авторы настаивали на том, чтобы заменить это распределение на логнормальное, которое опять-таки не окажет особого воздействия на данные обычной величины, но взамен предложит нам ручную асимптотику.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. СЛУЧАЙНОЕ НА БИРЖЕ

ГЛАВА 3.1. Разрывность и концентрация

Всякий, кто рискнет заняться изучением какой-нибудь реальной биржевой хроники, сначала непременно столкнется с призраком Башелье. Луи Башелье (1870–1940) стал самым настоящим предтечей, даже знакомство с его биографией заслуживает того, чтобы потратить на него время. В 1900 году теория вероятностей сводилась, по большей части, к собранию простых комбинаторных примеров, статистика еще не появилась на свет, а Парето был практически единственным математиком-экономистом. Именно в 1900 году Башелье получил звание доктора математических наук, защитив диссертацию на тему «Математическая теория спекуляций».

Пусть Z(t) – цена данного количества некоторого продукта в момент времени t. Башелье постулирует, что Z(t + Т) – Z(t) есть гауссовская случайная величина, среднее значение которой равно нулю, а дисперсия зависит от t и Т. Рассматривается поправка, согласно которой гауссовской случайной величиной будет, скорее, выражение

L (t , Т) = logZ (t + Т) – logZ (t )

Существует множество способов представления изменения цены.

A) Специалисты в области «технического анализа» намерены научиться предсказывать будущее на основе изменений прошлого. Их методы весьма изящны, но их описание редко бывает точным настолько, чтобы сделать возможной их проверку. В исключительных допускающих проверку случаях полученные с их помощью результаты оказываются необоснованными.

C) Башелье сам ослабил свои высказанные в 1900 году идеи, допустив, что дисперсия случайной величины L(t, Т) зависит от t. Более того, он отметил, что смесь гауссовских распределений с разными дисперсиями дает распределение с очень длинными краями. И добавил, что некоторые большие изменения цены происходят вследствие так называемых «угроз взрыва», так что их нельзя рассматривать вместе с малыми случайными изменениями. Эти два дополнения, которые Башелье внес в свою модель, существенно ограничивают ее значимость.

Из рассуждений Башелье (пункт С) мы можем непосредственно заключить, что по сравнению с изменчивостью непредсказуемой экономики изменчивость любого случайного процесса оказывается недостаточной. Я предлагаю перевернуть обычные рассуждения: вместо того, чтобы говорить, что некоторые изменения велики, поскольку они имеют причину, я буду говорить, что, наблюдая большое изменение цены, мы приходим к выводу о необходимости отыскать (вообще говоря, a posteriori ) причины, спровоцировавшие это изменение; малые изменения такого особого внимания не заслуживают.

Построив гистограмму изменений цены (рис. 3), можно констатировать, что зачастую она почти симметрична, при этом, как правило, отчетливо заметно, что нормальной она не является. Гауссовская аппроксимация, показанная на рис. 3, одинаково плоха на всех участках. У некоторых ученых возникает искушение поступить с длинными хвостами так, чтобы вовсе о них не думать. Я же, напротив, считаю, что длинные хвосты гистограмм изменения цены скрывают значительную информацию, и есть много веских оснований вплотную ими заняться.

Рис. 3. Распределение изменения цены как правило является негауссовским

Если кривые, постулируемые броуновским движением, непрерывны, то кривые, которые встречаются в действительности, таковыми не являются. При этом каждый раз, когда цена терпит сильный разрыв, к хвостам распределения изменений цены добавляется новая точка.

Среднее эмпирическое. Особых проблем в случае изменений цены это значение не причиняет - в том смысле, что средние, соответствующие выборкам, возрастающим по размеру, достаточно быстро стабилизируются вблизи некоторой величины, которую можно принять за аналог асимптотического предела.

Среднее квадратическое. Для некоторых цен оно ведет себя весьма ненадежным образом.

Эти значения, соответствующие различным выборкам одной и той же длины, могут относиться друг к другу даже как 1 к 100.
Для выборок с последовательно возрастающей длиной эти значения, по-видимому, не стабилизируются. Таким образом, не существует величины, которую хотелось бы принять в качестве аналога предельной величины.
Вклады различных значений в среднее квадратическое очень отличаются. Наибольшим индивидуальным вкладом нельзя пренебречь, даже когда выборка очень велика.
Грубо говоря, среднее квадратическое возрастает вместе с длиной выборки (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация неустойчивого характера второго эмпирического момента. Здесь рассматривается разность logZ(t + одна неделя) – log Z(t), где Z(t) – цена на зерно. Выборка возрастает от 1 до 1000, каждый раз включая в себя предыдущую выборку. Если бы ожидание квадрата переменной было конечным и не очень большим, то кривая должна была бы стремиться к некоторому пределу. В данном случае это не так.

Глава 3.2. Псевдопериодичности

Если сравнивать экономические хроники с хрониками разливов Нила, то первое их сходство состоит в характерном для обоих непериодическом циклическом поведении. Рассматривая циклические феномены, мы поражаемся тому, насколько много длительностей имеют различные циклы, равно как и слабости критериев их определения и дифференциации. Например, хроника, охватывающая целый век, обнаруживает короткие циклы продолжительностью от 5 до 10 лет, а также долгие циклы с продолжительностью от 20 до 40 лет. То, что в близкой перспективе казалось тенденцией к росту, в действительности оказывается началом цикла, который тут же заканчивается изменением направления. Некоторые наблюдатели увидят в той же самой хронике и средние циклы, но им будет сложно провести различие между «укороченными» средними и «удлиненными» короткими циклами.

Однако, все периодичности суть «артефакты», не характеристика процесса, но, скорее, совокупный результат зависящий от собственно процесса, длины выборки и суждения экономиста или гидролога.

Эмпирическое открытие Херста состоит в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но угол наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Иногда он равен 0,5 (с небольшими отклонениями), иногда принимает такие значения, как 0,7 и даже 0,85. Неравенство Н > 0,5 исключает гипотезу о том, что все величины X являются независимыми и гауссовскими.

Предыдущие исследования единодушно предсказывали, что R(t, d) должно возрастать пропорционально корню из d, тогда как Херст делает эмпирическое (и весьма хорошо документированное) открытие, что R(t,d) возрастает пропорционально d в степени Н, где Н находится вблизи 0,7.

Обычная интуиция в области стационарных процессов подсказывает, что достаточно отдаленные друг от друга будущее и прошлое должны становиться асимптотически независимыми. Именно так оно и есть для белого шума. Но в случае дробных шумов, у которых Н не равен 0,5, корреляция между средним из Т ближайших прошлых значений и средним из Т ближайших будущих значений, как оказывается, не равна нулю!

Анализ R/S подтверждает и значительно усиливает общее правило: экономические циклы настолько далеки от периодичности и настолько зависят как от длины, имеющейся в нашем распоряжении выборки, так и от предпочтений наблюдателя, что вплоть до новых распоряжений их следует рассматривать как артефакты. Если верить Кейнсу , ценность таких циклов заключается прежде всего в том, что с их помощью очень удобно разбивать на главы учебники по истории экономики.

Глава 3.3. Броуновская дробность в мультифрактальном биржевом времени

С точки зрения самоаффинных кривых, которые являются графиками функций, показатель Н играет ту же роль, какую играет фрактальная размерность с точки зрения самоподобных множеств. В модели Башелье предполагалось, что dP ~ (dt) 1/2 . Показатель не изменяется со временем и равен 1/2. В моих моделях 1963 и 1965 гг. предполагалось, что dP ~ (dt) H . Показатель Н по-прежнему не зависит от времени, но отличен от 1/2.

Можно сказать, что вплоть до настоящего времени степень, в которую возводилось dt, принимала одно и то же значение для всех t. Из этих соображений модели 1963 и 1965 гг. можно охарактеризовать как унифрактальные. Из модели 1972 г., напротив, следует, что P(t + dt) – P(t) ~ (dt) Н(t) . Здесь показатель H(t) непрерывно изменяется со временем и принимает множество значений. Из этих соображений данная модель характеризуется как мультифрактальная.

Теперь мы подходим к ключевой идее. Мы больше не будем выражать изменчивость цены с помощью переменного показателя, основанного на обычном времени, которое показывают часы. С таким же успехом можно поменять их ролями и представить себе изменчивость с постоянным показателем, но в «биржевом времени», которое течет в очень неправильном ритме.

Эта концепция совершенно законна, поскольку, как и большая часть человеческой деятельности, биржа не подчиняется времени, которое измеряют физические часы; совсем наоборот, ее активность постоянно то ускоряется («разогревается»), то замедляется («охлаждается»).

Свою теорию фракталов применял для анализа графика хлопка за более чем 100-летний период. Уже позже, на основе его выкладок Билл Вильямс и создал свой индикатор фракталов, а так как Вильямс в мире трейдинга известен гораздо лучше, чем Мандельброт, то и фракталы ассоциируются в первую очередь с ним.

Еврей по национальности Бенуа с родителями переехал во Францию из Польши. Будущее мальчика определило близкое знакомство с Шолемом Мандельбротом, известным в Париже математиком.

Уже после войны в одной из парижских школ выяснилось, что Бенуа обладает любопытной особенностью – великолепно развитым пространственным воображением. Даже чисто алгебраические задачи он всегда решал методами геометрии, буквально рисуя картину происходящего в воображении.

Затем последовала эмиграция в США и работа в IBM, именно тут и началась научная деятельность ученого. В рамках исследований он отдалился от тем, интересовавших компанию и в какой-то момент переключился на экономические исследования. В частности, смог выяснить упорядоченность в на первый взгляд случайных ценовых колебаниях графика хлопка.

Собственно, этим его экономика и привлекла – Мандельброт сумел доказать, что хаотические на первый взгляд колебания цены на самом деле следуют определенном временному математическому порядку. Причем стандартные кривые для их описания не подходили.

Фракталы Бенуа Мандельброта

Если давать математическое определение, то под фракталом понимается бесконечно повторяющаяся кривая. В современных программах строится цветной, но базовый фрактал был черно-белым, цвет указывал на то, принадлежит точка множеству Мандельброта или нет. Сейчас же цвет указывает на то насколько сильно точка стремится к бесконечности.

Говоря другими словами кривые такого типа обладают свойством самоподобия. То есть часть кривой обладает теми же свойствами, что и все множество. Если до бесконечности увеличивать отдельные фрагменты такой фигуры, то мы каждый раз будем видеть одну и ту же картину (она может немного искажаться, но в целом внешний вид остается таким же).

На рисунке выше – пример еще одной фрактальной кривой. Если присмотреться, то видно, что отдельные элементы кривой подобны главной фигуре.

Сам Мандельброт говорил, что человека повсюду окружают фракталы, просто на этом внимание не концентрируется. И действительно – практически в любом природном объекте можно найти элементы фрактального множества, ниже несколько примеров:

снежинка;

дельта реки;

лист папоротника.

По большому счету, вся вселенная фрактальна, элементами самоподобия обладает множество объектов как в макро-, так и в микромире.

Классический фрактал Мандельброта (первый рисунок) выглядит как большая кардиоида, на ее границах расположены мелкие овалы. Если рассмотреть каждый мелкий овал, то на его границе увидим еще семейство таких де овалов и так углубляться можно до бесконечности. Каждый раз будем видеть одни и те же овалы.

Координаты множества Мандельброта на комплексной плоскости определяются по формулам

x_(n+1)=x_n^2-y_n^2+p,

y_(n+1)=2x_n y_n+q.

Если график изучить подробнее, то видно, что самая крупная из фигур находится примерно в области -1,75 – -1,78 (горизонтальная линия – ось действительных значений).

Как работает индикатор фрактал

В том виде, в каком свои наработки применял Манедльброт обычные трейдеры применять их не могли. Билл Вильямс адаптировал теорию фракталов для финансовых рынков, так и появился на свет индикатор фракталов.

Единственное назначение этого индикатора – определить локальные максимумы и минимумы на графике. Ищутся эти экстремумы на 5 свечах, то есть маркер, указывающий на максимум/минимум будет появляться всегда с опозданием как минимум на 2 свечи.

На графике индикатор выглядит как набор маркеров над графиком (для локальных максимумов) и под ним (так обозначаются локальные минимумы). Та версия, что находится в Мт4 по умолчанию настроек не имеет (за исключением параметров отображения на разных таймфреймах и толщины маркера).

В сети в свободном доступе есть пользовательские версии стандартного фрактала, в них можно задавать, например, на каком диапазоне свечей будет вестись поиск максимумов/минимумов или с какого таймфрейма будут транслироваться данные на текущий таймфрейм.

Иногда маркеры очень точно указывают на положение сильных уровней поддержки и сопротивления. Учтите – на графике постоянно образовывается масса фракталов, большая часть из них особой роли не играет, и лишь малая доля указывает на действительно важные уровни.

Как использовать индикатор фракталов в торговле

Сводится все к определениям важных горизонтальных уровней, а также к построению трендовых линий . Других вариантов применения фрактального индикатора нет.

Строить уровни через все фракталы бессмысленно. Вы получите нагромождение горизонтальных линий, большая часть которых будет находиться на малом расстоянии друг от друга.

Лучше всего уменьшить масштаб и проводить линии только через значимые экстремумы на графике. А те, которые находятся на расстоянии в пару пунктов от соседних вершин или впадин просто игнорировать.

В принципе, делать это можно и без использования фрактального индикатора. Значимые экстремумы и так бросаются в глаза на графике, но фракталы помогают в вычленении опорных точек для построения.

При построении трендовых линий все говорят, что поддержка строится по 2 локальным минимумам, а сопротивление – по максимумам. Вот только трейдеры по-разному выделяют эти локальные экстремумы для построения линий, отсюда и расхождения в разметке графика.

Опять же, в этом случае роль фракталов исключительно вспомогательная. Строить трендовые линии вполне можно и без их помощи.

Еще один распространенный прием использования фрактального индикатора – в качестве ориентира при выставлении Stop Loss. Логика следующая – применяя такой метод мы ставим стоп за ближайший уровень поддержки или сопротивления.

Модификации фрактального индикатора

Ниже разберем несколько примеров модифицированного фрактального индикатора. Всего их насчитать можно несколько десятков, часть друг друга дублируют, мы остановимся на самых интересных.

Мультитаймфреймовый фрактал

От обычного отличается только тем, что в настройках можно задать таймфрейм, с которого он и будет отображать данные. То есть можно, например, находясь на Н1 видеть, что происходит на часовом временном интервале.

В отличие от обычной версии фрактального индикатора в мультитаймфреймовой версии отображается всего несколько линий, построенных через значимые максимумы или минимумы. Это намного удобнее по сравнению с обилием маркеров в стандартной версии.

Fractal Channel

В этом индикаторе вы не увидится на экране монитора ни маркеров, ни стрелок. Вместо этого отображается канал, построенный по фракталам.

Индикатор удобен тем, что на графике сразу строится канал по обозначенным максимумам и минимумам фрактала. Торговать можно, например, на пробой ценой одной из границ получившегося канала. Это позволяет ловить резкие движения графика, особенно после того, как цена долгое время двигалась в узком диапазоне.

Настроек у индикатора нет за исключением визуальной составляющей (цвет и толщина линий).

Fractal SP

Особенность этого индикатора в том, что помимо отображения самих фракталов на графике он еще и строит линии поддержки сопротивления, а также отображает на графике горизонтальные уровни. В левой части – расшифровка выделенных уровней.

Трендовые линии строятся по двум последним максимумам и минимумам. Функция не особо полезная, а вот к горизонтальным уровням присмотреться стоит. В настройках задать можно только параметры линий, а также положение горизонтальных уровней.

FFX Fractals

Это подвид мультитаймфреймового фрактального индикатора, но решение автором выбрано оригинальное. В отличие от первого из рассмотренных алгоритмов здесь информация с других временных интервалов отображается под графиком в «подвале».

Отображается информация со всех временных интервалов. Начиная от минутного и заканчивая месячным. Нужные таймфреймы можно задать в настройках индикатора

Fractals Polarized

Нестандартный подход к отображению фракталов. Внешне индикатор напоминает обычный осциллятор – отображается в «подвале». Есть несколько модификаций – в виде одной линии (цвет изменяется в зависимости от настроения рынка) либо в виде пары линий (внешне очень похоже на Стохастик).

Удобно работать с индикатором, который на рисунке отображен внизу. Ориентироваться можно на смену цвета.

В настройках в отличие от обычного фрактального индикатора можно задать период и настроить реакцию индикаторов на движения рынка. Во время узкого флета работают эти алгоритмы плохо, но если на рынке тренд или цена хотя бы движется в широком горизонтальном канале, они показывают неплохой результат.

Time Fractals

Еще одна вариация мультитаймфреймового фрактального индикатора, от остальных отличается удобным способом подачи информации. Данные отображаются в подвале в виде 4 линий, каждая из которых соответствует своему временному интервалу.

Цвет указывает на настроения на рынке. Зеленый соответствует бычьему настроению, кирпичный – медвежьему. Меняется цвет после формирования фрактала с противоположной стороны графика. На точки входа такой индикатор не укажет, зато может подсказать ситуация на старшем временном интервале, только так его и стоит использовать.

Fractal Channel adjustable price

Еще один подвид канального индикатора на стандартном фрактале. Отметим, что в настройках можно задать не только период фрактала, но и цены, по которым он должен работать. То есть он может искать максимумы/минимумы не только по High и Low, но и, например, по цена открытия, закрытия или по типичной цене.

Полезное дополнение – окрас графика в цвет, соответствующий ситуации на рынке. Желтый соответствует ситуации неопределенности, красный – падающему рынку, а синий – растущему.

Границы канала также можно использовать в работе. На скриншоте выше виден неплохой пример, когда график сменил цвет с желтого на красный и одновременном с этим состоялся ретест пробитой нижней границы канала.

Fractal AMA

Индикатор в корне отличается от всех рассмотренных выше. Данные отображаются в виде 2 линий, сильно напоминающих скользящие средние, торговать можно при их пересечении.

При построении кривых индикатор учитывает показания стандартного фрактала. Также учитывается расстояние цены закрытия свечи от линий. Из недостатков отметить можно то, что запаздывание при пересечении линий даже выше, чем при использовании скользящих средних.

Существует бесконечное множество различных фракталов. Один из них носит имя Мандельброта. Фрактал Мандельброта – это множество точек на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность

при начальном условии
, не уходит в бесконечность.

Рис. 3.6. Фрактал Мандельброта

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou ), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату изучал рекурсивные процессы вида (3.2). Начав с точки
на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называетсяорбитой при преобразовании (3.2).

Фату нашел, что орбита
при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований – своё для каждого значенияc . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность .

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер. Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта – один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

Если использовать обозначения
и
, где
– мнимая единица, то итеративная последовательность (3.2) преобразуется в:

(3.3)

На рис 3.6.показан графический образ фрактала Мандельброта (на комплексной плоскости). Как обычно, действительная ось расположена горизонтально, а мнимая – вертикально. Закрашенная черным область – это и есть множество Мандельброта. Оттенки белого и голубого соответствуют его дополнению к множеству комплексных чисел. Белым цветом обозначены точки с координатами p и q , которые достаточно «медленно» уходят в бесконечность, синим цветом – точки, которые «быстро» уходят в бесконечность.

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём, самая большая в центре представляет собой кардиоиду . Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой.

Чтобы построить изображение фрактала Мандельброта, подобное тому, что показано на рис. 3.6, необходимо использовать алгоритм (3.3) и теорему Фату. Сравнение
с числом 2 (в англоязычной литературе его называют «bail-out ») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе.

Изображение, полученное таким способом, является лишь приближением к реальному множеству Мандельброта. Более качественные результаты можно получать, увеличивая максимальное количество итераций, однако при этом пропорционально возрастает и время расчётов.

Строго математически, изображение множества Мандельброта должно быть чёрно-белым. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, равный количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля.

при начальном условии , не уходит в бесконечность.

Рис. 3.6. Фрактал Мандельброта

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou ), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату изучал рекурсивные процессы вида (3.2). Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании (3.2).

Фату нашел, что орбита при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований – своё для каждого значения c . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность .

Если использовать обозначения и , где – мнимая единица, то итеративная последовательность (3.2) преобразуется в:

Чтобы построить изображение фрактала Мандельброта, подобное тому, что показано на рис. 3.6, необходимо использовать алгоритм (3.3) и теорему Фату. Сравнение с числом 2 (в англоязычной литературе его называют «bail-out ») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе.

Для объяснения рыночных движений используются самые различные математические и геометрические теории. Одной из них является фрактал Мальденброта – понятие, выражающее состояние одновременной упорядоченности и бессистемности. Применение этого явления к ценовым движениям позволяет понять их сущность и вывести некоторые закономерности.

Несмотря на то, что рынок форекс с большой степенью точности можно считать линейной системой, состояние которой зависит от комплекса внешних факторов, которые стремятся быть уравновешенными, часто его поведение не вписывается ни в какие существующие теории. Исправить данную ситуацию попытался математик Б. Мандельброт, который при исследовании экономической информации обнаружил, что изменения цен подчиняются определенному математическому порядку, не описываемому известными геометрическими формулами.

Тщательный анализ подробной реальной ценовой выборки за несколько десятков лет показал, что в краткосрочных периодах движения цен выглядят бессвязно. Но сопоставив их с долгосрочными периодами, он обнаружил между ними высокую степень эквивалентности. Результаты этих исследований и привели к разработке Бенуа Мандельбротом его фракталов.

Фрактал – это что?

В широком математическом смысле фракталом называется множество, которое обладает уникальным свойством самоподобия. Это свойство указывает, что объект, описываемый таким множеством, с высокой степенью точности эквивалентен части самого себя. Поэтому небольшой фрагмент, рассмотренный в укрупненном масштабировании, не выглядит как упрощенная структура, а имеет такое же сложное строение, как более крупные фрагменты и объект в целом.

В отношении к ценовым движениям рынка такие самоподобные структуры в простейшем случае представляют собой прямолинейные отрезки, соединяющие смежные локальные минимумы и максимумы. Эти отрезки характеризуют рост (если правый конец отрезка максимум, а левый – минимум) или падение (если правый конец отрезка минимум, а левый – максимум) цены (рис. 1а).

Из простейших графических элементов, которыми являются отрезки прямых, формируются сложные фигуры (рис. 1б), называющиеся «импульс-коррекция-импульс». При этом такие фигуры, построенные на определенном временном интервале, могут быть разложены на такие же фигуры в другом временном масштабе (рис. 1в). Разнообразие всех сложных графических форм, которые могут образовываться из более простых формаций очень велико и с трудом поддается классификации, что и служит основной трудностью развития теории фрактального анализа.

На ценовых графиках закономерности самоподобия распространяются до самого нижнего уровня ценообразования – тиков. При этом в определенной степени сохраняется полное подобие между графическими фигурами – углами наклона отрезков, соотношениями их длин и т. д.

Важное заключение, которое можно сделать из открытия Мандельброта, заключается в зависимости последующих событий на рынке от предыдущих. При этом возникновение даже сильных импульсных движений может быть предсказано с определенной вероятностью

Индикатор на основе теории фракталов Мандельброта

Тщательно изучив теоретические основы, изложенные в трудах Б. Мандельброта, трейдер Б. Вильямс сумел создать на их основе систему, способную систематизировать ценовые графики, выявляя на них точки, участвующие в формировании простейших фрактальных фигур. Созданный индикатор он назвал «Фрактал», а скачать его можно по этой ссылке .

Функционирование этого технического инструмента заключается в анализе High- и Low-цен в комбинации из последовательных пяти свечей. Если High-, то она определяется как максимум. Соответственно, минимум присваивается свече, у которой Low-цена третьей свечи меньше, чем у остальных четырех свечей.

После установки на ценовой график индикатора «Фрактал» формируется изображение, похожее на рис. 2. Зелеными стрелками, направленными вверх, обозначаются максимумы, а красными стрелками, ориентированными вниз – минимумы. Такие сигналы могут использоваться для построения уровней поддержки и сопротивления, трендовых линий, идентификации флетов и других аналитических задач, ориентированных на прогнозирование ценовых движений в будущем.

Самый очевидный способ использования фрактальных сигналов в торговле следующий:

покупать при образовании стрелки, направленной вниз;
продавать при формировании стрелки, направленной вверх.

Проблема заключается в запаздывании этого сигнала – он появляется лишь через две свечи. Поэтому часто он уже неактуален и вход по нему в рынок приносит убыток.

Лучше всего использовать индикатор «Фракталы Мандельброта» в паре с трендовыми индикаторами (наиболее простой вариант – скользящая средняя) и использовать отложенные ордера:

при восходящем тренде ордер на покупку размещается посередине между предыдущими последовательными минимумом и максимумом (красная линия на рис. 3), а стоп-лосс – ниже предыдущего минимума (зеленая линия на рис. 3);
при нисходящем тренде ордер на продажу устанавливается посередине между предыдущими последовательными максимумом и минимумом, а стоп-лосс – выше предыдущего максимума.

Тейк-профит располагается на расстоянии от уровня входа в 2 раза превышающем расстояние от него до стоп-лосса (синяя линия на рис. 3).