Основная цель обращения клиента, у которого есть сбережения, в банк заключается в том, чтобы сохранить и приумножить денежные средства. Чтобы выбрать из большого ассортимента предложений различных организаций наиболее выгодный вариант, нужно самостоятельно уметь рассчитывать будущую доходность вложений. Зачастую, варианты, которые на первый взгляд кажутся самыми выгодными и интересными, не приносят хорошего результата. Поэтому нужно уметь прогнозировать проценты по вкладу до совершения сделки.
Для расчетов доходности по вкладу используется простой и сложный методы начисления процентов. Каждый из них имеет свои особенности и «подводные камни», которые стоит учитывать. Рассмотрим подробнее, как пользоваться формулами для расчета процентов по вкладу , что означает каждая составляющая, и посчитаем на примерах эффективность каждого метода.
Формулы начисления процентов.
Доходность практически любого вклада можно рассчитать самостоятельно, зная методику расчета. Для этого нужно знать параметры будущего вложения, к которым относится:
- Депозитная сумма.
- Ставка (в %).
- Периодичность процентного начисления.
- Срок размещения денег.
Формула простых процентов.
Она используется тогда, когда начисляемый доход присоединяется к основному телу депозита в конце его срока или не присоединяется и выводится на текущий счет или пластиковую карточку. Этот порядок расчета стоит учесть, когда размещается солидная сумма на длительный срок. Обычно в данном случае банки применяют варианты размещения без капитализации, что понижает общую выгоду вкладчика.
Формула простого %:
Сумма % — это доход, полученный через i-ый промежуток времени.
Р – изначальный объем вложений.
t – срок вложения.
T – число дней в году.
Рассмотрим пример: разместим 100 000 рублей на полгода под 12%. Рассчитаем полученный доход:
Таким образом, через полгода со счета можно будет снять 105 950,68 руб.
Формула сложных процентов.
Она применяется реже в депозитной практике банка, но такие предложения найти можно. Для большинства вкладчиков они не являются привлекательными по причине того, что ставки по ним ниже, чем по продуктам, когда доход начисляется только по окончании действия депозитного договора. Периодичность присоединения дохода может быть разной: раз в месяц, раз в неделю, раз в квартал, каждый год. Она подразумевает под собой капитализацию или начисление «процентов на проценты».
Формула сложных %-ов:
P – изначальная сумма вклада.
i – депозитная годовая ставка.
k – число дней в периоде, через который начисляется доход.
T – число дней в году.
n – число капитализаций дохода в течение всего срока депозита.
Рассмотрим пример №1: разместим 100 000 рублей под 12% годовых на полгода с ежемесячной капитализацией.
Таким образом, благодаря ежемесячной капитализации, общий итог вложений оказался выгоднее, чем в варианте, когда проценты причисляются в конце срока.
Пример №2: разместим 100 000 рублей на 6 месяцев под 12% годовых с еженедельной капитализацией.
Полученное значение подтвердим через расчеты в Excel.
Пример №3: разместим 100 000 рублей на 1 год под 12% годовых с ежеквартальной капитализацией.
Полученное значение подтвердим через расчеты в Excel.
Выгода банковского вклада оценивается не только по процентной ставке. Большое влияние на доходность депозита оказывает способ начисления процентов. В финансовой сфере существует понятие простого и сложного процента. Когда применяется тот или иной метод расчета? Как осуществляется начисление процентов по каждому способу? И какой метод выгоднее для вкладчика?
Понятие простых процентов и как они рассчитываются
Простые проценты – это проценты,начисляющиеся лишь на первоначальную величину вклада, независимо от количества периодов и их продолжительности. Они считаются один раз по окончанию срока депозита. Это обозначает, что сумма процентов за предыдущий период не учитывается при расчете в следующем.Метод расчета простых процентов основан на принципе наращения денег по арифметической прогрессии. Допустим, инвестор в начале года положил в банк на сумму 100 000 руб. под 10% годовых:
- через год он получит сумму, равную первоначально внесенным деньгам плюс начисленные проценты: 100 000 + 10 000 (чтобы высчитать процент нужно сумму вклада умножить на ставку и разделить на 100) = 110 000 (руб.);
- через 2 года сумма составит: 100 000 + (10 000 х 2) = 120 000 (руб.);
- через N лет вкладчик получит: 100 000 + (10 000 х N).
Поскольку банки указывают ставку за год, то чтобы определить доход за другой период (к примеру, 3 месяца), применяя простую ставку процентов, формула будет такой:
S = (P x I x Т / K) / 100, где:
S – сумма насчитанных процентов (руб.);
P – начальная сумма вложенных средств;
I – процентная ставка за год;
Т – срок действия вклада в днях;
K – число дней в году.
То есть при вкладе 100 000 руб. на 3 месяца под 10%
годовыхвычисление простых процентовбудет выполняться так:(100 000 х 10 х 92 / 365) / 100 = 2520,55 (руб.).
Получается, что в конце срока вкладчик получит на руки внесенные 100 000 руб. плюс 2520,55 руб. дохода, т.е. 102 520,55 руб.
Чтобы более наглядно продемонстрировать разницу по использованию простой схемы начисления процентов и сложной, данные занесены в таблицу:
При подсчете коэффициентов использовалась ежегодная капитализация процентов. Из таблицы видно, что:
- если срок вклада меньше года, то множитель, рассчитанный по формуле простых процентов, получается больше. Это даст возможность вкладчику получить больший доход, чем при использовании сложных процентов;
- когда период вклада составляет 1 год – величина коэффициентов сравнивается и является одинаковой. Это говорит о том, что доход с ежегодной капитализацией при начислении по простым процентам и сложным будет равный;
- если срок депозита более года, то коэффициент наращения по сложным процентам выше, чем при использовании обыкновенного простого процента.
Составив аналогичную таблицу
с учетом проведения ежеквартальной капитализации, можно увидеть, что доход
будет одинаков при вкладе на квартал. При более коротких депозитах (на месяц
или два) больший доход будет получаться по простым процентам. При вкладах на
срок более квартала, наоборот, выгоднее будут сложные проценты.
Этот принцип определения доходности вклада зависимо от метода вычисления процентов сохраняется и при расчетах на месяц. Подведя итог, можно сказать, что применение сложного процента выгодно, если период вклада превышает период капитализации. Иначе говоря:
- при ежегодной капитализации оформление депозита выгодно, если срок его действия больше года;
- с применением ежеквартальной капитализации сложные проценты будут выгодными только тогда, когда срок действия депозита больше 3 месяцев;
Если срок депозита меньше, чем периодичность проведения капитализации, то расчет простых процентов по вкладам получится выгоднее.
- При заключении договора помните, что банками в документах не практикуется выражение «простые» или «сложные» проценты. В договоре зачастую пишется фраза «проценты насчитываются в конце срока». А при использовании капитализации указывается, что проценты высчитываются раз в год, квартал или месяц.
- При оформлении вклада на длительный срок может возникнуть необходимость досрочного снятия денег по той или иной причине. Вклады с возможностью досрочного снятия всегда имеют более низкую ставку. В подобных случаях выигрышным может оказаться краткосрочный вклад с возможной пролонгацией и использованием сложного процента. Доход по такому вкладу может получиться больше, даже если процентная ставка по такому депозиту немного ниже.
- Быстро и точно высчитать доходность вклада можно посредством онлайн-калькулятора. Для этого после введения необходимых данных нужно поставить галочку в окне «капитализация» и выбрать период ее проведения (год, квартал или месяц).
Смысл простой схемы начисления процентов в том, что проценты начисляются все время на первоначальную сумму вклада независимо от срока вклада. В этом случае наращенная сумма находится по формуле
,
,
т.е.
Пусть
,
т. е. в течение срока
,
затем в течение срока
– по ставке
Пусть сумма
вклада
меняется
во времени
,
т. е. в течение срока вклада на счет
поступают (снимаются) суммы в размере
,
и т. д. Тогда наращенная сумма находится
по формуле
где
до момента окончания вклада,
до момента окончания вклада.
На практике для вычисления процентов часто определяют процентное число и процентный ключ (дивизор) . Если ставку i измерять в процентах, то
I
=
Процентным числом назовем величину Р t / 100,
а процентным ключом – К / i .
С учетом последних двух формул сумма процентных денег может быть рассчитана так:
I
=
.
Пусть происходит
реинвестирование
по простой ставке
,
т. е. наращенная сумма к концу срока
становится базой для расчета процентов
на срок
,
сумма, наращенная к концу этого срока,
становится базой для расчета процентов
на срок
и т. д. Тогда наращенная сумма к концу
всего срока вклада находится по формуле:
Начисление по схеме сложных процентов
Смысл сложной схемы начисления процентов в том, что процентные деньги, начисленные после периода начисления (обычно, года), присоединяются к первоначальной сумме. Полученная сумма является базой для начисления процентов в следующем периоде. Таким образом, база для начисления сложных процентов, в отличие от простых процентов, увеличивается с каждым периодом начисления.
Если период начисления Т – целое число лет, то наращенная сумма находится по формуле:
Если срок вклада Т не является целым числом, то наращенная сумма может быть найдена по схемам:
– обыкновенной:
– смешанной: Т представляется в виде суммы целого числа лет и оставшейся нецелой части года Т= Т цел + Т дроб , и наращенная сумма равна
Например, сумма в размере 100 тыс. руб. помещена в банк сроком на 27 месяцев под 12% годовых.
Наращенная сумма, рассчитанная по обыкновенной схеме, составляет:
129,045 тыс. руб.
Поскольку 27 месяцев – это 2 года плюс 3 месяца, то Т цел =2, Т дроб =3/12=1/4=0,25, то наращенная сумма, рассчитанная по смешанной схеме, равна:
129,203 тыс. руб.
Пусть процентная
ставка меняется во времени
,
т. е. в течение срока
проценты начисляются по ставке
,
затем в течение срока
– по ставке
и т. д. Тогда наращенная сумма находится
по формуле
Номинальная и эффективная ставка процента
Номинальная годовая ставка i – это исходная годовая ставка, которую назначает банк для начисления процентов. Номинальная ставка может начисляться один раз в год. Тогда наращенная сумма равна
Если же номинальная ставка начисляется несколько раз в год, то наращенная сумма находится по формуле
где
– срок вклада (в годах),
–
число начислений процентов в год.
Например, если первоначальный размер вклада равен 100 тыс. руб., а номинальная ставка 12% годовых начисляется раз в год, то наращенная сумма через 2 года составит:
тыс. руб.,
а при ежеквартальном начислении процентов наращенная сумма равна:
=126,677
тыс. руб.
Эффективная
ставка
– это ставка, измеряющая реальный доход,
получаемый при
-кратном
начислении процентов в год. Таким
образом, выполняется равенство
и эффективная ставка может быть найдена по формуле
.
Пусть сумма
вклада
меняется
во времени
,
т. е. на счет поступают суммы в размере
(первоначальный взнос),
и т. д. Тогда наращенная сумма находится
по формуле
где
– это срок с момента поступления (снятия)
суммы
до момента окончания вклада,
–
срок с момента поступления (снятия)
суммы
до момента окончания вклада.
Рассмотрим частный случай – начисление сложных процентов при регулярных взносах. Такое поступление денежных средств называется финансовой рентой с постоянными членами , а наращенная сумма всех взносов – наращенной суммой ренты.
Пусть на счет регулярно вносятся одинаковые суммы через одинаковые периоды времени (раз в год).
Введем обозначения:
R – размер ежегодного платежа;
n – число лет, в течение которых поступают взносы.
Если выплаты производятся в конце года (рента постнумерандо), то наращенная сумма через n лет определяется по формуле
Если выплаты производятся в начале года (рента пренумерандо), то наращенная сумма через n лет определяется по формуле
Наращение может осуществляться по схеме простых и сложных процентов.
Формула наращения простых процентов (simple interest). Наращение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:
FV = PV (1 + r n).
Формула наращения сложных процентов (compound interest). Наращение по схеме сложных процентов означает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:
FV = PV (1 + r) n .
При одном и том же значении процентной ставки:
1) темпы наращения сложных процентов выше темпов наращения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода;
2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов наращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.
Области применения простых и сложных процентов. Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных операциях, так и одновременно. Области применения простых и сложных процентов можно разделить на три группы:
1) операции с применением простых процентов;
2) операции с применением сложных процентов;
3) операции с одновременным применением простых и сложных процентов.
1. Областью применения простых процентов чаще всего являются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с однократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, вексельные кредиты) и реже - долгосрочные операции.
При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается годовая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денежных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процентной ставки имеет следующий вид:
FV = PV (1 + f r),
FV = PV (1 + t r / Т),
t - срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т - расчетное количество дней в году.
При долгосрочных операциях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:
FV = PV (1 + r n),
где n - срок вложения денежных средств (в годах). ,
2. Областью применения сложных процентов являются долгосрочные операции (со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.
В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов:
FV = PV (1 + r) n .
Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:
1) полугодовым (m = 2);
2) поквартальным (m = 4);
3) ежемесячным (m = 12);
4) ежедневным (m = 365 или 366);
5) непрерывным (m -» ?).
Формула наращения при полугодовом, поквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:
FV = PV (1 + r / m) nm ,
где PV - исходная сумма;
г - годовая процентная ставка;
n - количество лет;
m - количество внутригодовых начислений;
FV - наращенная сумма.
Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:
FV n = Р e rn ,
FV n = P e ? n ,
где: e = 2, 718281 - трансцендентное число (число Эйлера);
е? n - множитель наращения, который используется как при целом, так и дробном значении n;
Специальное обозначение процентной ставки при непрерывном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»);
n - количество лет.
При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сроке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использования обычной формулы начисления сложных процентов:
FV = PV (1 + r / m) nm > FV = PV (1 + r) n .
Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.
Таким образом, первоначально заявленная годовая процентная ставка для начисления сложных процентов, называемая номинальной, не отражает реальной эффективности сделки. Процентная ставка, отражающая фактически полученный доход, называется эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллюстрирует рисунок.
Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании можно рассчитать эффективную процентную ставку (r е).
Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:
FV = PV (1 + r) n ;
(1 + r e) = FV / PV.
Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:
FV = PV (1 + r / m) nm .
Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:
(1 + r e) = (1 + r/m) m ,
r e = (l + r/m) m - 1,
где r е - эффективная процентная ставка; r - номинальная процентная ставка; m - количество внутригодовых выплат.
Величина эффективной процентной ставки зависит от количества внутригодовых начислений (m):
1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;
2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.
Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых составляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:
1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;
2) начисление процентов по смешанной схеме.
В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную степень:
FV = PV (1 + r) n + f ,
где f - дробная часть срока вложения денежных средств.
Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления сложных процентов с целым числом лет и формулу начисления простых процентов для краткосрочных операций:
FV = PV (1 + r) n (1 + f r),
FV = PV (1 + r) n (1 + t r / Т).