Уровни временного ряда и их характеристика. Выявление структуры временного ряда

При построении эконометрической модели используются два типа данных:

данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;

данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями . Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов .

Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времен и. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда;

факторы, формирующие циклические колебания ряда;

случайные факторы.

Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в отдельности.

Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 4.1 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Рис. 4.1.

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 4.2 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Рис. 4.2.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 4.3.

Рис. 4.3.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

В практике исследования динамики явлений принято считать, что значения уровней () временных рядов могут содержать следующие компоненты: тренд (), сезонную компоненту (), циклическую компоненту () и случайную составляющую ().

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебания не превышает года, то их называют сезонными (расходы электроэнергии по кварталам). При большом периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, демографические, инвестиционные.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента (). Экономисты разделяют факторы, под воздействием которых формируется нерегулярная компонента, на два вида: факторы резкого, внезапного действия (стихийные бедствия, войны) и текущие факторы (ощущается несколько факторов и их суммарное действие).

В этом случае уровни ряда . Они являются функцией случайной компоненты: колеблются вокруг среднего уровня, что характерно для так называемого стационарного ряда. На рисунке 10.1 такой ряд представляет собой ломаную линию, параллельную оси времени.

Где – уровни динамического ряда, – средний за период уровень ряда, – случайная составляющая, определяемая как .

Большинство динамических рядов в экономике характеризуется тенденцией и случайными колебаниями.

Модель уровня такого ряда имеет вид: ,

Где – тренд, – случайные колебания (рис. 10.2).

Представление временного ряда может быть следующих видов:

(аддитивная модель);

(мультипликативная модель);

(смешанного типа).

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, т.к., на этом этапе можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики. Отличительной особенностью аддитивной модели является то, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.

Иногда это сложно описать, т.к. во временном ряду ошибок остаются статистические зависимости, которые можно моделировать. Как правило, ряд ошибок – это стационарный ряд.

Ряд называется стационарным, если совместное распределение m-наблюдений: такое же, как и для при любых m, . В этом случае имеем:

,

При анализе изменения величины в зависимости от значения временного сдвига принято говорить об автоковариационной функции (АКФ).

На практике АКФ статистически оцениваются по имеющимся уровням временного ряда. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции определяется формулой:

, (10.1)

где , .

Числитель формулы (10.1) представляет выборочную оценкукоэффициента автоковариации. График АКФ, отражающий изменение , в зависимости от значений сдвига , называют коррелограммой. Вид АКФ оказывает существенную помощь в выборе моделей, описывающих поведение анализируемых временных рядов.

Проверка гипотезы существования тенденции.

Важной задачей возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. Прогнозирование временных рядов целесообразно начинать с по­строения графика исследуемого показателя. Однако в нем не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в этих случаях необхо­димо выяснить, существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует.

Для временного ряда рассмотрим критерий «восходящих и нисходящих» серий, согласно которому наличие тенденции определяется по следующему алгоритму:

1. Для исследуемого временного ряда определяется последователь­ность знаков, исходя из условий

(10.2)

При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учи­тывается только одно наблюдение.

Подсчитывается число серий u (n ). Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией.

Определяется протяженность самой длинной серии l max (n ).

4. По таблице, приведенной ниже, находится значение l (n ).

Таблица 10.5

5. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95:

(10.3)

Квадратные скобки неравенства в (10.3) означают целую часть числа.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Временной ряд называется моментным рядом, если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определённый момент времени.

Временной ряд называется интервальным рядом, если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определённый период времени.

Временной ряд называется производным рядом, если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей).

Показатели временных рядов формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов и, в том числе, различного рода случайностей.

Временные ряды могут содержать два вида компонент - систематическую и случайную составляющие. Систематическая составляющая временного ряда является результатом воздействия постоянно действующих факторов.

Выделяют три основных систематических компоненты временного ряда:

• · тренд;
• · сезонность;
• · цикличность.

Трендом называется систематическая линейная или нелинейная компонента, изменяющаяся во времени.

Сезонностью называются периодические колебания уровней временного ряда внутри года.

Цикличностью называются периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года определяют как длину цикла.

Систематические составляющие характеризуются тем, что они могут одновременно присутствовать во временном ряду.

Случайной составляющей называется случайный шум или ошибка, которая воздействует на временной ряд нерегулярно.

К основным причинам, по которым возникает случайный шум, относят факторы резкого и внезапного действия, а также действия текущих факторов.

Катастрофическими колебаниями называется случайный шум, в основе возникновения которого лежат факторы резкого и внезапного действия.

Шум, в основе возникновения которого лежит действие текущих факторов, может быть связан также с ошибками наблюдений.

Отдельный уровень временного ряда обозначается как. Его можно представить в виде функции от основных компонент временного ряда следующим образом:

где T - это трендовая компонента,

S - это сезонная компонента,

C - это циклическая компонента,

е - случайный шум.

Существует несколько основных моделей временных рядов, к которым относятся:

1. аддитивная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой слагаемые:

2. мультипликативная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой сомножители:

3. комбинированная модель временного ряда:

Важнейшим условием правильного построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в рядах динамики, потому что они охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных.

Несопоставимость уровней ряда динамики может быть по следующим причинам:

• - Изменение единиц измерения или единиц счета. Нельзя, например, сравнивать и анализировать цифры о производстве тканей, если за одни годы цифры даны в погонных метрах, а за другие - в квадратных метрах.
• - Изменение методологии учета или расчета показателей. Например, если в одни годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие - с убранной, то такие уровни будут несопоставимы.
• - Отсутствие периодизация динамики: научный подход к изучению рядов динамики заключается в выделении однородных этапов развития рядов динамики.
• - Отсутствие у интервалов или моментов, по которым определены уровни, одинакового экономического смысла.
• - Отсутствие наличия равных интервалов, по которым даны уровни: нельзя сравнивать квартальную продукцию с годовой.
• - Отсутствие равенства круга охватываемых объектов вследствие перехода ряда объектов из одного подчинения в другое.
• - Изменение территориальных границ областей, районов и т.д.

Для того чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который называется «смыкание рядов динамики». Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).

Смыкание рядов динамики.

Изучим смыкание рядов динамики напримере условных данных:

До 2007 года в производственное объединение входили два предприятия. В 2007 г в него влилось еще одно предприятие. Показать изменение товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг., используя следующие данные:

Таблица 1.1

Выпуск товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.

Уровни имеющихся двух рядов несопоставимы, так как исчислены в разных территориальных границах. Чтобы уровни обоих рядов были сопоставимы, пересчитаем данные 2004-2006 гг. для новых территориальных границ. Для этого на основе данных об объёме товарной продукции за 2007 год в старых и новых территориальных границах находим соотношение между ними.

Умножая на полученный коэффициент данные за 2004-2006 гг., приводим их таким образом в сопоставимый вид с последующими уровнями

Применив этот способ, получим ряд динамики, характеризующий объём товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.:

Таблица 1.2

Объём товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.

По полученным данным видно, как изменяется выпуск товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.

Приведение рядов динамики к одному основанию.

Проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, территориальных и административных районов или же социально-экономических явлений. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному основанию, т.е. к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения (за 1 или 100%), а все остальные уровни выражаются в форме коэффициентов или процентов по отношению к нему.

Рассмотрим приведение рядов динамики одному основанию на примере:

Имеются данные о производстве чугуна в Беларуси и России за 2005 - 2011 гг.

Таблица 1.3

Производство чугунного литья за 2005-2011 гг., тысяч тонн.