Задание 4.1. Спрогнозировать объем результативного показателя на 13-18-ый месяцы статистическими методами (с помощью среднего абсолютного прироста, среднегодового темпа роста) и по уравнению линейного тренда.
Проанализировать полученные результаты, представив их в виде табл. 5, и выбрать наилучшую модель, при прогнозировании по которой получены минимальные ошибки прогноза. Сделать выводы.
Задание 4.2. На основе данных за 1-12 месяцы по результативному показателю рассчитать коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядка.
Проанализировать полученные результаты. Сделать выводы.
Таблица 5
Результаты прогнозирования на основе трендовых моделей
|
Фактические значения результативного показателя |
Значение прогнозируемого показателя |
||||||
|
С помощью среднего абсолютного прироста |
Ошибка прогноза, % |
С помощью среднего темпа роста |
Ошибка прогноза, % |
По уравнению линейного тренда |
Ошибка прогноза, % |
||
|
=(гр.2-гр.1)/ гр.1*100 |
=(гр.4-гр.1)/ гр.1*100 |
=(гр.6-гр.1)/ гр.1*100 |
|||||
|
За полугодие | |||||||
4.2. Методические указания к практическим занятиям
Статистические методы прогнозирования.
Наиболее простой метод статистического прогнозирования предполагает использование средних характеристик ряда динамики: среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.
1. С помощью среднего абсолютного прироста.
Скорость изменения уровней временного ряда за определенный отрезок времени характеризуется средним абсолютным приростом. Предполагая его стабильным, прогноз можно дать в виде следующей экстраполяции:
,
где
-
прогнозируемый уровень,
k - период экстраполяций (год, два,....),
у n - последний уровень динамического ряда,
-
средний абсолютный прирост,
.
2. С помощью среднего темпа роста.
Прогнозное значение уровня, исходя из среднего коэффициента роста, можно получить по формуле:
где
- средний темп роста в коэффициентах,
.
Прогнозирование по уравнению тренда в случае линейной зависимости осуществляется по уравнению:
y = a + b * t ,
где y - зависимая переменная, показатель, который прогнозируется;
a - отрезок, начальное значение зависимой переменной, экономической интерпретации чаще всего не имеет;
b - наклон, показывает, на сколько единиц изменится прогнозируемый показатель y при изменении фактора времени на единицу; наклон является статистическим нормативом;
t - фактор времени (если время измеряется месяцами, то для прогнозирования надо подставить месяц, следующий за отчетным).
Для этого необходимо:
1. Определить параметры уравнения тренда:
Прогнозирование – это очень важный элемент практически любой сферы деятельности, начиная от экономики и заканчивая инженерией. Существует большое количество программного обеспечения, специализирующегося именно на этом направлении. К сожалению, далеко не все пользователи знают, что обычный табличный процессор Excel имеет в своем арсенале инструменты для выполнения прогнозирования, которые по своей эффективности мало чем уступают профессиональным программам. Давайте выясним, что это за инструменты, и как сделать прогноз на практике.
Целью любого прогнозирования является выявление текущей тенденции, и определение предполагаемого результата в отношении изучаемого объекта на определенный момент времени в будущем.
Способ 1: линия тренда
Одним из самых популярных видов графического прогнозирования в Экселе является экстраполяция выполненная построением линии тренда.
Попробуем предсказать сумму прибыли предприятия через 3 года на основе данных по этому показателю за предыдущие 12 лет.
Способ 2: оператор ПРЕДСКАЗ
Экстраполяцию для табличных данных можно произвести через стандартную функцию Эксель ПРЕДСКАЗ . Этот аргумент относится к категории статистических инструментов и имеет следующий синтаксис:
ПРЕДСКАЗ(X;известные_значения_y;известные значения_x)
«X» – это аргумент, значение функции для которого нужно определить. В нашем случае в качестве аргумента будет выступать год, на который следует произвести прогнозирование.
«Известные значения y» — база известных значений функции. В нашем случае в её роли выступает величина прибыли за предыдущие периоды.
«Известные значения x» — это аргументы, которым соответствуют известные значения функции. В их роли у нас выступает нумерация годов, за которые была собрана информация о прибыли предыдущих лет.
Естественно, что в качестве аргумента не обязательно должен выступать временной отрезок. Например, им может являться температура, а значением функции может выступать уровень расширения воды при нагревании.
При вычислении данным способом используется метод линейной регрессии.
Давайте разберем нюансы применения оператора ПРЕДСКАЗ на конкретном примере. Возьмем всю ту же таблицу. Нам нужно будет узнать прогноз прибыли на 2018 год.
Но не стоит забывать, что, как и при построении линии тренда, отрезок времени до прогнозируемого периода не должен превышать 30% от всего срока, за который накапливалась база данных.
Способ 3: оператор ТЕНДЕНЦИЯ
Для прогнозирования можно использовать ещё одну функцию – ТЕНДЕНЦИЯ . Она также относится к категории статистических операторов. Её синтаксис во многом напоминает синтаксис инструмента ПРЕДСКАЗ и выглядит следующим образом:
ТЕНДЕНЦИЯ(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст])
Как видим, аргументы «Известные значения y» и «Известные значения x» полностью соответствуют аналогичным элементам оператора ПРЕДСКАЗ , а аргумент «Новые значения x» соответствует аргументу «X» предыдущего инструмента. Кроме того, у ТЕНДЕНЦИЯ имеется дополнительный аргумент «Константа» , но он не является обязательным и используется только при наличии постоянных факторов.
Данный оператор наиболее эффективно используется при наличии линейной зависимости функции.
Посмотрим, как этот инструмент будет работать все с тем же массивом данных. Чтобы сравнить полученные результаты, точкой прогнозирования определим 2019 год.
Способ 4: оператор РОСТ
Ещё одной функцией, с помощью которой можно производить прогнозирование в Экселе, является оператор РОСТ. Он тоже относится к статистической группе инструментов, но, в отличие от предыдущих, при расчете применяет не метод линейной зависимости, а экспоненциальной. Синтаксис этого инструмента выглядит таким образом:
РОСТ(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст])
Как видим, аргументы у данной функции в точности повторяют аргументы оператора ТЕНДЕНЦИЯ , так что второй раз на их описании останавливаться не будем, а сразу перейдем к применению этого инструмента на практике.
Способ 5: оператор ЛИНЕЙН
Оператор ЛИНЕЙН при вычислении использует метод линейного приближения. Его не стоит путать с методом линейной зависимости, используемым инструментом ТЕНДЕНЦИЯ . Его синтаксис имеет такой вид:
ЛИНЕЙН(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст];[статистика])
Последние два аргумента являются необязательными. С первыми же двумя мы знакомы по предыдущим способам. Но вы, наверное, заметили, что в этой функции отсутствует аргумент, указывающий на новые значения. Дело в том, что данный инструмент определяет только изменение величины выручки за единицу периода, который в нашем случае равен одному году, а вот общий итог нам предстоит подсчитать отдельно, прибавив к последнему фактическому значению прибыли результат вычисления оператора ЛИНЕЙН , умноженный на количество лет.
Как видим, прогнозируемая величина прибыли, рассчитанная методом линейного приближения, в 2019 году составит 4614,9 тыс. рублей.
Способ 6: оператор ЛГРФПРИБЛ
Последний инструмент, который мы рассмотрим, будет ЛГРФПРИБЛ . Этот оператор производит расчеты на основе метода экспоненциального приближения. Его синтаксис имеет следующую структуру:
ЛГРФПРИБЛ (Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст];[статистика])
Как видим, все аргументы полностью повторяют соответствующие элементы предыдущей функции. Алгоритм расчета прогноза немного изменится. Функция рассчитает экспоненциальный тренд, который покажет, во сколько раз поменяется сумма выручки за один период, то есть, за год. Нам нужно будет найти разницу в прибыли между последним фактическим периодом и первым плановым, умножить её на число плановых периодов (3) и прибавить к результату сумму последнего фактического периода.
Прогнозируемая сумма прибыли в 2019 году, которая была рассчитана методом экспоненциального приближения, составит 4639,2 тыс. рублей, что опять не сильно отличается от результатов, полученных при вычислении предыдущими способами.
Мы выяснили, какими способами можно произвести прогнозирование в программе Эксель. Графическим путем это можно сделать через применение линии тренда, а аналитическим – используя целый ряд встроенных статистических функций. В результате обработки идентичных данных этими операторами может получиться разный итог. Но это не удивительно, так как все они используют разные методы расчета. Если колебание небольшое, то все эти варианты, применимые к конкретному случаю, можно считать относительно достоверными.
Около 80 % трейдеров рынка Forex терпят убытки, причиной которых становятся ошибки, допущенные ими при принятии решений. Отсутствие инструментов финансового анализа или знаний, необходимых для интерпретации его результатов, сказывается на рациональности их действий. Более того, большое разнообразие средств технического может сбить с толку начинающего инвестора.
Инструменты технического анализа
Разобраться в динамике рынка помогут эффективные инструменты анализа данных, среди которых выделяются индикаторы смены тренда. Их целью является отражение тенденции динамики курсов рынка валюты. Индикатор тренда может указывать на его направленность (восходящую, нисходящую и боковую), силу и разворот. Различают следующие индексы:
- момента или скорости изменения курса прошлого периода к курсу текущего;
- волатильности или изменчивости курса;
- объёма торгов;
- поддержки и сопротивления.
Индексы тренда
Лучшие индикаторы тренда следующие:
- скользящие средние (англ. MA), простые SMA, экспоненциальные EMA и взвешенные WMA;
- конвергенции-дивергенции скользящего среднего MACD (англ. MA convergence/divergence)
- TRIX (англ. triple EMA, тройная EMA);
- направленного движения (DX);
- средний DX (ADX);
- товарного канала (CCI);
- параболическая SAR (англ. и разворот);
- SMI (англ. smart money index, индекс «умных» денег);
- вихревой (Vortex indicator, VI);
- индикатор тренда Ишимоку.
Трендовые индексы помогают торговать в его направлении, сохраняя длинные позиции в условиях восходящего тренда и короткие для нисходящего. Недостатком этих индикаторов является запаздывание в момент разворота тенденции рынка.
Индексы момента
Избежать запаздывания можно с помощью индикаторов момента. Они помогают устанавливать разворот курса около нижних или верхних границ горизонтального канала тренда, моменты перепродаж и перепокупки. Недостатком индикаторов момента является преждевременная сигнализация о продаже при растущем тренде и о покупке при падающем. К ним относятся индикаторы:
- стохастический;
- силы (англ. force index, FI);
- истинной силы (англ. true strength index, TSI);
- относительной силы (англ. ;
- предельный (англ. ultimate oscillator, UOS);
- денежного потока (англ. money flow index, MFI);
- процентный диапазон Уильямса (англ. Williams %R, %R).
Существуют и психологические индексы Forex: соглашение игроков на повышение (англ. bullish consensus), индекс вовлеченности (англ. commitments of traders, COT), которые проводят оценку общей ситуации на рынке, его наклонность к падению или росту котировок.
Индексы тренда и момента часто не совпадают в прогнозах. Например, при долговременном росте курса индикатор направления тренда повышается, сигнализируя о покупке. В то же время осцилляторы момента дают сигнал о перепокупке, предлагая продавать. Обратная ситуация наблюдается в период длительного падения цен, когда индикатор направления тренда опускается, сигнализируя о продаже. При этом индикаторы скорости изменения цен настаивают на покупке.
Индикатор силы тренда
Силу растущего тренда можно оценить его объёмом, направлением и расстоянием. Когда курс закрытия выше предыдущего, сила тренда положительна. И наоборот. Чем больше изменился курс, тем сильнее тренд. Индикатор силы тренда рассчитывается произведением разницы последней и предыдущей цены при закрытии на объём валюты. Таким образом, усиление тренда определяется увеличением цены либо объёма торгов. Изменяется от -100 % до 100 %.
Индикатор RSI
Индикатор относительной силы RSI рассчитывается как отношение скользящей средней положительных изменений курса закрытия за период к сумме скользящих средних положительных и отрицательных изменений этой же цены, умноженное на 100. При приближении значения индекса к 100 %, индикатор сигнализирует о перекупленности валюты, а к 0 % - о её перепроданности. Экстремум графика индекса, противоположный направлению движения цены, - индикатор разворота тренда. И наоборот, если на восходящей тенденции график цены показывает новый максимум, а индекс не изменяется, то ожидается разворот в обратном направлении. Для определения изменения тренда к графику индикатора можно применить фигуры технического анализа. Также сигналом разворота тренда является схождение и расхождение графика индикатора и цены - цена следует в направлении индекса относительной силы.
Например, трейдер заходит в длинную позицию, если MA50 превышает MA200, а 3-дневный RSI падает ниже установленного значения в 20%, что сигнализирует о перепроданности. И наоборот, трейдер входит в короткую позицию, если MA50 ниже MA200 и RSI3 поднимается выше заданного уровня в 80%, сигнализируя о перекупленности валюты.
Индикатор MACD
Индикатор тренда MACD построен на разнице экспоненциальных скользящих средних меньшего и большего периода. Обычно используют 12 и 26-дневные скользящие. По пересечениям MA судят об изменениях тренда разных временных периодов, а по расстоянию и относительному положению - об устойчивости восходящего или нисходящего тренда. Вычитание из краткосрочной скользящей долгосрочной даёт осциллятор, наглядно учитывающий эти особенности. Индикатор является разновидностью анализа двух средних.
Существует гистограммный и линейный MACD-индикатор.
Гистограммный индикатор MACD рассчитывается по формуле: MACD = ЕМА 9 [А], где А=ЕМА 12 [i] - ЕМА 26 [i], где i - цена.
- прохождение максимального или минимального MACD является сигналом, реагировать на который следует при получении нескольких дополнительных;
- пересечение MACD установленной границы является основанием для открытия позиции;
- пересечение MACD середины также требует дополнительных сигналов.
Сигналами, подтверждающими сигналы MACD-гистограмм, являются показатели объёма. Также советуют ждать изменения курса в сторону прогноза.
Линейная MACD состоит из сглаженной и не сглаженной A. Эти линии повторяют динамику курса.
Пересечение 12-дневной линией 26-дневной сверху вниз сигнализирует о продаже, снизу-вверх - о покупке.
Значение, следующее за минимумом или максимумом 12-дневной линии является предупреждением, требующим подтверждения в виде пересечения линий MACD.
Пересечение линейной MACD с границами значений требует не менее 2 сигналов подтверждения.
Индикатор следует применять на графиках не меньше дневных. Может значительно запаздывать.
Параболическая SAR
Параболическая SAR, когда курс при изменении тренда рынка входит в новый экстремум, изменяет MA границ стопов на краткосрочное (от 50 до 5 дней), и курс стопа и разворота сходится с трендом. Индикатор повторяет тренд до пересечения с закрытием текущей позиции и открытием противоположной.
Начальный курс равен предыдущему минимальному (максимальному) курсу. Затем SAR рассчитывается так: SAR n+1 = SARp + AF(M - SAR n), где:
- SAR n+1 - это стоп-цена открытой позиции,
- SAR n - это SAR предыдущего периода,
- AF - ускорение, увеличивающееся, начиная с 0,02 на 0,02 при достижении курсом значения M.
- M - новый максимальный (минимальный) курс.
Параболическая система используется как для определения момента закрытия позиции, так и для открытия позиций.
Индикатор товарного канала
Индикатор товарного канала - это показатель импульса цены и рассчитывается как частное разности цены и её скользящего среднего от абсолютного отклонения цены, умноженное на коэффициент приведения.
CCI = (P n - SMA(P n)) / 0,015D, где:
- P n - типичная цена;
- SMA(P n) - скользящее среднее типичной цены;
- D - среднее абсолютной разности среднего курса и его SMA.
Значения CCI колеблются в диапазоне +/-100. При этом превышение 100 свидетельствует о перекупленности валюты, а -100 - о перепроданности, а это индикатор разворота тренда.
Принято считать, что выход за границы 100 не является случайным и создаёт возможность для сделки. Покупать следует при превышении CCI 100, а продавать, когда индекс спускается ниже 100. Открытие короткой позиции рекомендуется производить при значениях индекса CCI менее -100 и закрытие - выше -100.
Индикаторы MA
Скользящие средние бывают простыми, взвешенными и экспоненциальными.
Простое MA соответствует среднему арифметическому курса за период.
Это простейший и популярный индикатор, показывающий тренд. Например, 200-дневное SMA десятками лет оставалось популярным и эффективным инструментом анализа котировок Forex. Вычисляется суммированием курсов закрытия за прошедший 200-дневный период и делением её количество дней. Аналитики упростили расчёт, слагая курсы закрытия 40 недель и деля результат на 40.
Для вычисления очередного значения MA необходимо вычесть значение курса закрытия 40-недельной давности, прибавить последний курс закрытия и разделить на 40.
Пересечение линий MA различной периодичности позволяет вычислить момент разворота тренда. Например, точка пересечения SMA9 и SMA14 сигнализирует об изменении тенденции.
Недостаток метода - постоянное опоздание сигналов, а его преимуществом является простота и возможность использования линий SAM в качестве линий сопротивления и поддержки.
Индекс WMA
Взвешенные скользящие средние каждому курсу периода придают вес, который уменьшается при удалении от текущего дня:
WMA = 2∑(n-i)P t-i / (n(n+1)), где:
- P t-i - значение курса в момент, удалённый на i интервалов от текущего;
- n - число интервалов.
Придание поздним курсам большего веса, как полагают, информативнее, чем SMA. Для длительных периодов применяют SMA, а для коротких (не больше часа) - WMA или ЕМА.
Индекс EMA
Экспоненциальное среднее рассчитывается также путём присвоения весов курсам с учётом всех курсов предыдущего периода:
ЕМА t = ЕМА t-1 + (К [ Pt - ЕМА t-1 ]), где:
- К = 2 / (n+1), где n - период средней.
Так сглаживается кривая скользящей средней относительно курсов.
На 1 изменение курса MA реагирует дважды - при получении и выбывании значения. ЕМА реагирует один раз при получении курса, что делает индикатор более предпочтительным. Также ЕМА позволяет открывать позиции вовремя.
При анализе следует находить пересечения средней и графика курса, находить точки после максимума или минимума средней, максимального расхождения MA и цены. А также следить за направлением индикатора MA, который указывает направление тренда.
Стохастический осциллятор
Стохастический осциллятор является индикатором темпа изменения цены. Рассчитывается отношением разности текущей цены закрытия P t и минимальной цены L n за период n к разнице между максимальной H n и минимальной ценой периода L n , умноженным на 100%:
- %K=100(P t -L n)/(H n -L n).
Трёхдневное скользящее среднее трёх последних значений %K рассчитывается так:
- %D=100((K 1 +K 2 +K 3)/3).
Кроме простого среднего, могут использоваться и экспоненциальное, и взвешенное среднее.
Индикатор при отбрасывании старых данных может изменяться скачкообразно, что ведёт к нестабильности и подаче ошибочных сигналов. Поэтому, если требуется точный индикатор тренда, то данный осциллятор не является наилучшим выбором.
При расхождении %K и курса ожидают разворот тренда. Если курс достигает очередного максимума без максимума %K, то можно ожидать, что нисходящий тренд сменит восходящий. И наоборот, если курс достигает минимума, а %K нет, то необходимо ожидать разворота тренда курса вверх.
Сигналом для покупки служит возвышение %K над %D, а для продажи - падение %K ниже %D. По утверждению разработчика, сигнал надёжнее, если %D до пересечения %K уже развернулся по направлению нового тренда. Наиболее надёжными являются сигналы покупки в области 10-15% и сигналы продажи в области 85-90%.
Индикатор разворота тренда без перерисовки
В алгоритмах расчета индикаторов используются исторические данные. Каждая новая цена удаляет первую цену расчётного периода. Даже лучшие индикаторы тренда, пересчитывая значения по новой истории, могут изменить свои предыдущие значения. Такое изменение значений при поступлении новых данных называется перерисовкой индикатора.
Этот эффект наблюдается у большинства индексов Forex, поэтому для снижения влияния таких изменений необходим индикатор разворота тренда без перерисовки.
Отсутствие перерисовки всегда нужно проверять самостоятельно ввиду того, что выражение «отсутствие перерисовки» приобрело популярность и употребляется без достаточных оснований разработчиками бесплатных и платных индикаторов для рекламы своей продукции.
Произвести проверку отсутствия перерисовки можно визуально двумя способами:
- наблюдение за индикатором на небольшом таймфрейме;
- использование на таймфреймах М30 и выше для ускорения процедуры тестирующего программного обеспечения торговой площадки, способное ускорить время отслеживания индикатора.
Индикатор разворота тренда без перерисовки - интересный и прибыльный инструмент технического анализа, но нужно учитывать то, что перерисовка не всегда является недостатком. Она становится следствием изменения ситуации на рынке, и «потерянный» сигнал мог быть ложным.
Фракталы Уильямса являются примером того, что перерисовка может быть полезной. При появлении индикатора следует дождаться его подтверждения: если фрактал включает 5 свечей, то сделку рекомендуется открывать при отсутствии его перерисовки в течение двух следующих свечей. А индикатор тренда без перерисовки лишит трейдера такого инструмента, или, внушив ему ложное ощущение надёжности, приведёт к убыткам.
Одной из самых распространенных стратегий торговли на любой из бирж является торговля по тренду, так как именно этот способ трейдинга позволяет избежать ненужного риска и дает гарантированную прибыль.
Но для того, что использовать подобный вариант требуется не только правильно определить направление существующий тенденции, но и составить прогноз тренда. Только в этом случае можно надеяться, что цена не совершит разворот через полчаса после открытия сделки.
Прогноз тренда представляет собой не совсем простой процесс, ведь при его проведении нужно учесть все факторы, которые могут повлиять на тренд. Причем следует отметить, что самым точным прогнозом однозначно будет тот, что вы составите сами.
Торгуй по крупному только с ведущим брокером.
Подход к прогнозированию должен завесить от того, для каких целей будут использоваться полученные данные, а так же учитываться время действия прогноза.
Если вам нужен прогноз тренда для торговли на форекс, то можно использовать несколько простых схем его составления, понятное дело вы не получите 100% гарантии, что цена валютной пары поведет себя, так как это планировалось, но хоть приблизительно будете знать, что следует от нее ожидать.
Для того, что бы не делать ненужных манипуляций следует разделить прогнозирование по времени существования сделок, чем короче временной промежуток торговли, тем проще сам процесс прогнозирования.
Краткосрочный прогноз тренда.
Его обычно используют при трейдинге на таких временных промежутках как М1, М5 и М15, а основе данного варианта лежит цикличность поведения цены и ценовые уровни.
Если вы посмотрите на любой из графиков форекс то уведете, что цена движется по кривой и очень часто образовывает ценовые каналы. К тому же существуют довольно сильные ценовые уровни, у которых чаще всего происходят развороты.
Используя эти два показателя можно произвести прогноз тренда даже на самом коротком временном промежутке.
То есть для проведения прогноза требуется построить ценовой канал, для этих целей лучше всего использовать индикаторы канала , и определить важные уровни форекс , часто в их качестве выступают просто круглые ценовые значения на пример 1,3200 или 1,3000.
Дополнительным помощником при составлении прогноза может стать индикатор стохастик, его вы можете найти в своем торговом терминале.
Чем ближе цена находится к зоне перекупленности или перепроданности, тем выше вероятность ее разворота, подробное описание работы с данным индикатором вы можете найти в статье «Стратегия Stochastic ».
После того как вы произвели все подготовительные действия переходим непосредственно к самому прогнозу.
1. Смотрим, нет ли в обозримом будущем важных ценовых уровней, у которых может произойти разворот цены.
2. Определяем, как близко подошла цена к линии поддержки или сопротивления, что сейчас происходит основное движение или коррекция.
3. Анализируем данные индикатора Stochastic.
После этих действий вы получаете полную картину, что может произойти в ближайшее время на рынке форекс.
Для проведения прогноза тренда на более продолжительных временных промежутках, следует дополнительно учитывать и фундаментальный фактор. Для этих целей используется такой инструмент как календарь форекс . С его помощью можно узнать, не повлияет ли какое то события на существующую тенденцию и как скоро оно состоится.
А в целом среднесрочный и долгосрочный прогноз проводится по той же схеме, что и краткосрочный.
Назначение сервиса . Сервис используется для расчета параметров тренда временного ряда y t онлайн с помощью метода наименьших квадратов (МНК) (см. пример нахождения уравнения тренда), а также способом от условного нуля. Для этого строится система уравнений:a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
и таблица следующего вида:
| t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) |
| 1 | |||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| N | |||||
| ИТОГО | ∑ | ∑ | ∑ | ∑ | ∑ |
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .
Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя.
Способ отсчета времени от условного начала
Для определения параметров математической функции при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы ∑t i . При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом +1 всех последующих уровней и –1 всех предыдущих уровней. Например, при обозначения времени будут: –2, –1, 0, +1, +2 . При четном числе уровней порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: –1, –3, –5 , а нижней половины ряда обозначаются +1, +3, +5 .Пример . Статистическое изучение динамики численности населения.
- С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
- С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
- Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.
| 1990 | 1996 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
| 1249 | 1133 | 1043 | 1030 | 1016 | 1005 | 996 | 985 | 975 | 968 |
а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов
. Используем способ отсчета времени от условного начала.
Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y |
| -9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 |
| -7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 |
| -5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 |
| -3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 |
| -1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 |
| 1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 |
| 3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 |
| 5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 |
| 7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 |
| 9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 |
| 0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 |
Для наших данных система уравнений примет вид:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = -12.236, a 1 = 1040
Уравнение тренда:
y = -12.236 t + 1040
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.
б) выравнивание по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt
a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2
| t | y | t 2 | y 2 | t y | t 3 | t 4 | t 2 y |
| -9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 | -729 | 6561 | 101169 |
| -7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 | -343 | 2401 | 55517 |
| -5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 | -125 | 625 | 26075 |
| -3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 | -27 | 81 | 9270 |
| -1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 | -1 | 1 | 1016 |
| 1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 | 1 | 1 | 1005 |
| 3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 | 27 | 81 | 8964 |
| 5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 | 125 | 625 | 24625 |
| 7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 | 343 | 2401 | 47775 |
| 9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 | 729 | 6561 | 78408 |
| 0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 | 0 | 19338 | 353824 |
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400
0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038
330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824
Получаем a 0 = 1.258, a 1 = -12.236, a 2 = 998.5
Уравнение тренда:
y = 1.258t 2 -12.236t+998.5
Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.
Uy = y n+L ± K
где
L - период упреждения; у n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2
.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 тыс. чел.
1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)