Анализ временных рядов (АВР) – простейший метод восстановления зависимости в детерминированном случае, исходя из заданного временного ряда. Основная задача – экстраполяция (прогноз) – самый постой способ прогноза рыночной ситуации. Суть его – распространение тенденций, сложившихся в прошлом и будущем.
Многие рыночные процессы обладают инертностью, что учитывают при прогнозах. На определенный период следует максимально принимать во внимание вероятность изменения условий функционирования рынка. Делается предположение, что система эволюционирует в достаточно стабильных условиях. Чем система крупнее, тем вероятнее сохранение параметров без изменения, но не на большой срок. Рекомендуется, чтобы период прогноза не превышал 1/3 длительности исходной временной базы.
Временной ряд – серия числовых величин, полученных через регулярные промежутки времени Основное положение, на котором базируется использование временных рядов на предприятии – факторы, влияющие на отклик изучаемой системы, действующие в прошлом, настоящем и подобным образом будут действовать в недалеком будущем.
Цель анализа – оценка и выделение факторов с целью прогноза дальнейшего поведения системы и выработки рациональных УР. Прогноз на основе АВР – краткосрочный, в отношении периода, которого принимается, характеристики изучаемого явления существенно не изменяются. Большинство прогнозных ошибок связано с тем, что прогноз предполагает сохранение прошлых тенденций в будущем. Эта гипотеза редко оправдывается в экономической и общественной жизни.
ВР могут стать плохой основой для разработки прогноза, поэтому методы прогнозирования и АВР применяют для краткосрочного прогнозирования достаточно стабильных и хорошо изученных процессов. Прогнозируемый период не превышает 25-30% исходной временной базы. При использовании уравнения регрессии прогнозные расчеты проводят для оптимистических и пессимистических оценок исходных параметров. Отсюда получают 2 вида прогнозов: оптимистический и пессимистический. Прогнозную оценку, получаемую на основе методов прогнозирования, используют как индикатор желаемой величины прогнозного параметра.
ВР включает в себя:
1) тренд – показывает общий тип изменений, долгосрочного уменьшения и увеличения ряда,
2) сезонные колебания – колебания вокруг тренда, которые возникают на регулярной основе.
Обычно регулярные колебания возникают в период до года. Могут отслеживаться при ежеквартальных, ежемесячных, еженедельных и т.д. наблюдениях.
3) циклические колебания – возникают в периоды свыше года. Часто присутствуют в финансовых данных и связаны с резким спадом, бурным ростом и периодом застоя.
4) случайные колебания – непредсказуемые колебания в большинстве реальных ВР.
Требования к данным временного ряда
Все методы прогнозирования используют математическую статистику, поэтому необходимо, чтобы все данные были сопоставимы, достаточно представлены для проявления закономерности однородные и устойчивые. Невыполнение одного из этих требований делает бессмысленным применение математической статистики.
1. Сопоставимость достигается в результате одинакового подхода, к наблюдениям на разных этапах формирования временного ряда. Данные во временных рядах должны выражаться в одних и тех же единицах измерениях, иметь одинаковый шаг наблюдений, рассчитываться для одного и того же интервала времени по одной и той же методике, охватывать одни и те же элементы, принадлежащие одной территории и относящиеся к неизменной совокупности.
Несопоставимость данных чаще всего проявляется в стоимостных показателях. Даже в тех случаях когда значения этих показателей фиксируются в неизменных ценах. Такого рода несопоставимость временных рядов невозможно устранить чисто формальными методами.
2. Представительность данных характеризуется, прежде всего, полнотой представленных данных. Достаточное число наблюдений определяется в зависимости от цели проводимого исследования. Если целью является описательный статистический анализ, то в качестве изучаемого интервала времени можно выбрать любой интервал по своему усмотрению. Если же цель исследования - построение модели прогнозирования, то число данных исходного временного ряда должно не менее чем в 3 раза превышать период прогноза и не должно быть менее 7 данных. В случае использования квартальных или месячных данных для исследования сезонности и прогнозирования сезонных процессов, исходный временной ряд должен содержать квартальные либо месячные данные не менее чем за 4 года, даже если прогноз требуется на 1 или 2 месяца.
3.Однородность – отсутствие нетипичных аномальных наблюдений, а так же изломов тенденций (изменение). Аномальность приводит к смещению оценок и как следствие к искажению результатов анализа. Формально аномальность проявляется как сильный скачок или спад с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные стандартные критерии.
4. Устойчивость – это свойство отражает преобладание закономерности над случайностью в изменениях уровня и ряда. На графиках устойчивых временных рядов даже визуально прослеживается закономерность. А на графиках неустойчивых временных рядов – изменения представлены хаотично. Поэтому поиск закономерностей в таких временных рядах не имеет смысла.
Модели временных рядов
Статистические методы исследования исходят из предположения возможности представления значений временного ряда в виде комбинации нескольких компонентов, отражающих закономерность и случайность развития. В частности для краткосрочных прогнозов применяется аддитивная (адаптивная) и мультипликативная модели.
1. Адаптивная (аддитивная)
Y(t) = T(t) +S(t) + F(t)
t - номер временного интервала
T(t) – тренд развития (долговременная тенденция)
S(t) – сезонная компонента
Е(t) – остаточная компонента
2. Мультипликативная
Y(t) = T(t)*S(t)*F(t)
При односильном постоянстве амплитуды сезонной волны целесообразно использовать аддитивную модель. При изменении амплитуды сезонной волны соответствие с тенденцией среднего уровня используется мультипликативная модель. Иногда используются модели смешанного типа, они дают более точный результат, но содержательно плохо интерпретируются. Применение мультипликативной модели обусловлено тем что в некоторых временных рядах значение сезонной компоненты представляет собой определенную долю трендового значения. Практика показывает что случаи, когда сезонные колебания исследуемого процесса велики и не очень стабильны, мультипликативная модель дает плохие результаты. Сезонная компонента характеризует устойчивые и внутригодичные колебания уровней – она проявляется в некоторых показателях представленных квартальными или месячными данными.
В моделях с аддитивной и мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинаковая.
Надо сделать:
1) расчет значений сезонной компоненты
2) вычитание сезонной компоненты из фактических значений – этот процесс называется десезонализации (устранение сезонности)
3) расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми значениями
4) расчет среднего отклонения или средней квадратической ошибки
В прогнозировании также применяются модели кривых роста.
Кривые роста – математические функции предназначенные для аналитического выравнивания временного ряда.
Для описания кривых роста используются следующие функции
2. Парабола Y(t) = a+bt =ct 2
3. Гипербола Y(t) = a +b/t
4. Степенная
5. Показательная
6. Логарифмическая
7. Кривая Джонсона
8. Модифицированная экспонента
Сглаживание временных рядов
Выявление основной тенденции развития называется выравниванием или сглаживание временного ряда. Методы выявления основной тенденции – это методы выравнивания.
Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления – это укрупнение интервала динамического ряда. Для выявления тенденций развития используется метод скользящего среднего или метод экспоненциального сглаживания. Оба метода субъективны в отношении выбора параметров сглаживания. И именно в корректном выборе параметров проявляется интуиция исследователя.
Метод скользящего среднего – крайне субъективен и на результаты сглаживания сильно влияет длина периода сглаживаний. При небольших периодах не удается выявить трендовую компоненту. При больших периодах происходят значительные потери данных на концах анализируемого интервала.
Скользящая средняя порядка L – это временной ряд состоящий из среднеарифметических и среднеарифметических L в соседних значениях функции Y по всем возможным значениям времени. В качестве L – нечетное число, 3, 5,7 - трехточечные, пятиточечные и семиточечные.
Трехточечная схема : среднее значение будет рассчитываться по 3м значениям Yi, одно из которых относится к прошлому периоду, второе к искомому и 3 к будущему периоду. При i = 1 не существует прошлого значение, то в первой точке невозможно рассчитать сглаженное значение. При i = 2 то среднее значение будет средним арифметическим.
В последней точке исходного интервала скользящее среднее также невозможно рассчитать из-за отсутствия будущего значения по отношению к рассчитываемому.
Метод экспоненциального сглаживания – в отличие от скользящего среднего может быть использован для краткосрочным прогнозов в будущей тенденции на один период вперед. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом перед предыдущим.
Алгоритм расчета сглаженных значений в любой точке ряда основан на 3х величинах: наблюдаемом значении Yi в данной точке, рассчитанном сглаженном значении для предшествующей точки ряда и некоторым заранее заданным коэффициентам сглаживания, постоянным по всему ряду.
Fi = α*Yi +(α-1)*Fi
Yi –фактическое значение итой точки ряда.
Сглаженное значение для предшествующей точки ряда - (альфа-1)
Альфа может принимать любые значения от 0 до1, но обычно на практике ограничиваются интервалом от 0,2 до 0.5
Метод Хольта. L t =k*Y t +(1-k)*(L t-1 -T t-1), где
L t – сглаженная величина на текущий период;
K – коэффициент сглаживания ряда;
Y t – текущие значение ряда (например, объём продаж);
L t-1 – сглаженная величина за предыдущий период;
T t-1 – значение тренда за предыдущий период.
Министерство общего и профессионального образования РФ
Башкирский государственный университет
Кафедра финансов и налогообложения
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему “Прогнозирование временных рядов”
выполнила студентка 3 курса
экономического факультета
гр. 3.6. Абдулалимова А.А.
Научный руководитель –
Саяпова А.Р.
1.Теоретическая часть 3
2.Характеристика исходных данных 6
3.Практическая часть
3.1.Компонентный анализ
3.1.1.Оценка и удаление тренда 8
3.1.2.Оценка и удаление сезонной компоненты 10
3.1.3.Моделирование ССП 11
3.1.4.Установление адекватности модели 17
3.2.Адаптивные модели 20
1.Теоретическая часть.
Термин экономико-математические методы понимается как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения экономических процессов и систем.
Основным метод исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального процесса, отражающий его существенные свойства.
Под задачами экономико-математического моделирования понимаются: анализ экономических объектов и процессов, экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов.
Мы рассматриваем два вида экономико-математических моделей: адаптивные модели и компонентный анализ.
Адаптивные модели прогнозирования – это модели, способные приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий.
Общая схема построения адаптивных моделей может быть представлена следующим образом. По нескольким первым уровням ряда оцениваются значения параметров модели. По имеющейся модели строится прогноз на один шаг вперед, причем его отклонение от фактических уровней ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии со схемой корректировки модели. Далее по модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и т.д. Т.о. модель постоянно учитывает новую информацию и к концу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующую в данный момент.
В курсе математического моделирования мы рассматриваем три адаптивные модели: модель Брауна, модель Хольта и модель Хольта-Уинтерса. Эти модели имеют параметры сглаживания: модель Брауна – один, модели Хольта и Хольта-Уинтерса – два и три соответственно.
Теперь о компонентном анализе временных рядов. Временной ряд состоит из нескольких компонент: тренд, сезонная компонента, циклическая компонента (стационарный случайный процесс) и случайная компонента.
Под трендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. Оценка тренда осуществляется параметрическим и непараметрическим методами. Параметрический метод заключается в подборе гладкой функции, которая описывала бы тенденцию ряда: линейный тренд, полином и т.д. Непараметрический метод используется, когда нельзя подобрать гладкую функцию и заключается в механическом сглаживании временных рядов методом скользящей средней.
Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течении одного года, то их называют сезонными колебаниями. Оценка сезонной компоненты осуществляется двумя способами: с помощью тригонометрических функций и методом сезонных индексов.
В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента или стационарный случайный процесс. Моделирование ССП осуществляется следующими методами: модель авторегрессии (АР), модель скользящего среднего (СС), модель авторегрессии скользящего среднего (АРСС) и модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС).
Авторегрессионный процесс – процесс, в котором значения находятся в линейной зависимости от предыдущих. АР бывают первого порядка (Марковский процесс) и второго(процесс Юла). Порядок АР обозначается через p.
В моделях скользящего среднего мы выделяем период запаздывания (q).
Если у нас присутствуют и p и q, то мы имеем дело с моделью АРСС.
В моделях АР, СС, АРСС моделируют ряд без тренда и сезонной компоненты, т.е. ССП. Модель АРПСС позволяет исключить тренд путем перехода к разностям исходного ряда. Порядок разности, при котором ряд становится ССП дает нам d, которая является третьей неизвестной необходимой при моделировании АРПСС плюс ранее упомянутые p и q.
Прогнозирование с помощью компонентного анализа состоит из следующих шагов: оценка и удаление тренда, оценка и удаление сезонной компоненты, моделирование ССП, конструирование прогнозной модели и выполнение прогноза.
В конце, после прогнозирования мы проверяем полученную модель на адекватность, т.е. соответствие модели исследуемому объекту или процессу. Т.к. полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность – в какой-то мере – условное понятие. Модель временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда.
2.Характеристика исходных данных.
| Дата | Данные | Дата | Данные |
| 17.09.2001 | 87,5546 | 31.10.2001 | 90,1826 |
| 18.09.2001 | 87,4391 | 1.11.2001 | 89,8761 |
| 19.09.2001 | 84,5301 | 2.11.2001 | 91,5291 |
| 20.09.2001 | 83,7572 | 5.11.2001 | 93,2659 |
| 21.09.2001 | 79,2693 | 6.11.2001 | 93,1579 |
| 24.09.2001 | 82,4232 | 7.11.2001 | 94,5799 |
| 25.09.2001 | 84,3556 | 8.11.2001 | 95,0691 |
| 26.09.2001 | 84,5737 | 9.11.2001 | 94,7875 |
| 27.09.2001 | 83,9814 | 12.11.2001 | 93,4776 |
| 28.09.2001 | 86,3375 | 13.11.2001 | 95,5143 |
| 1.10.2001 | 86,599 | 14.11.2001 | 96,8397 |
| 2.10.2001 | 87,3761 | 15.11.2001 | 97,4543 |
| 3.10.2001 | 88,0099 | 16.11.2001 | 97,5407 |
| 4.10.2001 | 89,8228 | 19.11.2001 | 98,2696 |
| 5.10.2001 | 88,9447 | 20.11.2001 | 98,2506 |
| 8.10.2001 | 89,3786 | 21.11.2001 | 97,4645 |
| 9.10.2001 | 89,2734 | 22.11.2001 | 98,0953 |
| 10.10.2001 | 89,7515 | 23.11.2001 | 98,0437 |
| 11.10.2001 | 92,0404 | 26.11.2001 | 98,6222 |
| 12.10.2001 | 91,4634 | 27.11.2001 | 97,7607 |
| 15.10.2001 | 91,8107 | 28.11.2001 | 96,628 |
| 16.10.2001 | 92,3968 | 29.11.2001 | 96,2972 |
| 17.10.2001 | 91,9989 | 30.11.2001 | 97,5226 |
| 18.10.2001 | 90,6101 | 3.12.2001 | 96,5187 |
| 19.10.2001 | 90,8081 | 4.12.2001 | 97,0024 |
| 22.10.2001 | 91,0108 | 5.12.2001 | 98,7592 |
| 23.10.2001 | 92,4902 | 6.12.2001 | 99,9798 |
| 24.10.2001 | 92,1829 | 7.12.2001 | 99,3854 |
| 25.10.2001 | 91,4308 | 10.12.2001 | 98,6803 |
| 26.10.2001 | 93,6935 | 11.12.2001 | 97,9448 |
| 29.10.2001 | 92,3283 | 12.12.2001 | 97,4542 |
| 30.10.2001 | 90,1196 | 13.12.2001 | 96,913 |
Эти данные – это низшая отметка индекса Доу Джонса на торгах. Данные взяты с интернета на период с 17 сентября по 13 декабря 2001г. Показания являются ежедневными, в неделе 5 дней торгов. Нужно будет дать прогноз на 26 декабря 2001г.
3.Практическая часть.
3.1.Компонентный анализ.
3.1.1.Оценка и удаление тренда.
А.) Сперва нужно выяснить, имеет ли исходный ряд тренд. Для этого проводится спектральный анализ исходного ряда.
На рис.1 показан спектр исходного ряда, по которому видно, что в ряде присутствует тренд.
Б.)Для того чтобы оценить тренд параметрическим методом подберем гладкую функцию, описывающую долгосрочную тенденцию исходного ряда.
На рис.2 - график исходного ряда и линейный тренд описывающий его тенденцию. Наш временной ряд имеет тенденцию к росту.
В.) Теперь, определив тренд, нужно его удалить вычитанием из исходного ряда.
На рис.3 показан график исходного временного ряда только уже без тренда.
3.1.2.Оценка и удаление сезонной компоненты.
А.) Выяснение наличия сезонной компоненты в ряде с удаленным трендом производится, как и в случае тренда, с помощью спектрограммы. Смотрится спектр ряда с удаленным трендом и выясняется наличие или отсутствие сезонности. В случае ее наличия также по спектрограмме находится период колебаний и потом удаляется сезонная компонента.
На рис.4 представлена спектрограмма ряда с удаленным трендом.
Б.) По спектрограмме видно, что в данном ряде сезонность отсутствует. Теперь можно приступать к моделированию случайного стационарного процесса (ССП).
3.1.4.Моделирование ССП.
Мы проведем моделирование ССП методами АРСС и АРПСС, а потом выберем наиболее верный.
А.) Модель АРСС строится на ряде с удаленным трендом и сезонной компонентой. Сначала выясняют порядки p и q. Для того, чтобы их выяснить, строят коррелограммы АКФ для нахождения q и ЧАКФ для нахождения p. Их строят на ряде с удаленным трендом и сезонной компонентой.
На рис.5 показана коррелограмма АКФ, на рис.6 – ЧАКФ. С помощью этих коррелограмм и эмпирического поиска наименьшей среднеквадратичной ошибки мы определяем неизвестные параметры: p=2, q=1.
Теперь можно приступать к моделированию ССП методом АРСС.
Временные ряды реализуют широкий набор методов описания, построения моделей, декомпозиции и прогнозирования временных рядов как во временной, так и в частотной области. Все процедуры полностью интегрированы и результаты анализа одной модели. Имеются самые разнообразные возможности для просмотра и графического представления одномерных и многомерных рядов. Можно анализировать очень длинные ряды (более 100 тыс. наблюдений для компьютера с 8 Mb оперативной памяти). С многомерными рядами (в случае многомерных исходных данных или с рядами, полученными на различных этапах анализа) можно работать в активной рабочей области; здесь их можно просматривать и сопоставлять друг с другом. Информация о последовательных преобразованиях хранится в виде длинных меток переменных, поэтому при сохранении вновь полученных рядов в файле данных автоматически сохраняется вся "история" каждого из рядов.
С помощью различных преобразований исходного временного ряда можно понять его структуру и имеющиеся в нем закономерности; реализованы такие часто используемые преобразования, как: удаление тренда, удаление автокорреляций, сглаживание скользящими средними (невзвешенными или взвешенными - с весами, заданными пользователем или вычисленными по методам Даниеля, Тьюки, Хэмминга, Парзена и Бартлета), медианное сглаживание (среднее заменено медианой), простое экспоненциальное сглаживание (подробное описание его вариантов см. далее), взятие разностей, суммирование, вычисление остатков, сдвиг, 4253H-сглаживание, косинус-сглаживание, преобразование Фурье, а также обратное преобразование Фурье и др. Можно выполнить анализ автокорреляций, частных автокорреляций и кросскорреляций.
Временные ряды включают полную реализацию модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего. Модель может включать константу. Перед построением модели ряд может быть подвергнут преобразованию, которое автоматически будет отменено после построения прогноза по АРПСС, при этом предсказанные значения и их стандартные ошибки будут выражены через значения исходного (а не преобразованного) ряда. Могут быть вычислены приближенные и точные суммы квадратов из условия максимума правдоподобия; уникальной особенностью является способность анализировать модели с длинными периодами сезонности (с лагом до 30).
Стандартный набор результатов содержит оценки параметров, стандартные ошибки и корреляции. Предсказанные значения могут быть представлены в числовой и графической форме и добавлены к исходному ряду. Имеются многочисленные дополнительные функции для исследования остатков, в том числе большой набор графических средств. Реализация модели позволяет проводить анализ прерванных временных рядов (рядов с интервенциями). Имеется возможность использовать одновременно несколько различных интервенций (до 6). Доступны следующие виды интервенций: однопараметрические скачкообразные, двупараметрические постепенные, временные (характер воздействия можно просмотреть на графике). Для всех прерванных моделей могут быть построены прогнозы, которые можно вывести на график (вместе с исходным рядом) и, если требуется, добавить прогнозы к исходному ряду.
Полностью реализованы все 12 классических моделей экспоненциального сглаживания. Задание модели может включать аддитивную или мультипликативную сезонную составляющую и/или линейный, экспоненциальный или демпфированый тренд; в частности, доступны популярные модели с линейным трендом Холта-Винтера. Пользователь может задавать начальное значение параметров сглаживания, начальное значение тренда и (если требуется) сезонные факторы. Для тренда и сезонной составляющей могут быть заданы независимые параметры сглаживания. Для определения лучшей комбинации параметров используется метод поиска на сетке; в таблицах результатов для всех комбинаций значений параметров сглаживания вычисляется средняя ошибка, средняя абсолютная ошибка, сумма квадратов ошибок, среднеквадратическая ошибка, средняя относительная ошибка и средняя абсолютная относительная ошибка. Наименьшие значения этих ошибок выделяются цветом. Имеется возможность автоматического поиска лучшего набора параметров в смысле среднеквадратической, средней абсолютной или средней абсолютной относительной ошибки (для этого используется общая процедура минимизации). Все результаты преобразования экспоненциальным сглаживанием, остатки и прогноз на требуемое число шагов доступны для дальнейшего анализа и вывода на график. Для оценки адекватности модели используются графики, на которых вместе с исходным рядом в подходящем масштабе по оси Y изображаются его сглаженный вариант, прогноз и ряд остатков.
Имеется возможность задать произвольный сезонный лаг и выбрать либо аддитивную, либо мультипликативную сезонную модель. Программа вычисляет скользящие средние, отношения или разности, сезонные компоненты, ряд с сезонной поправкой, сглаженную тренд-циклическую и нерегулярную компоненты. Все эти составляющие ряда доступны для дальнейшего анализа; например, для проверки адекватности можно построить гистограммы, графики на нормальной вероятностной бумаге и т.д.
Структура всех функций и диалоговых окон соответствует требованиям и соглашениям, описанным в документации Bureau of the Census. Можно выбрать либо аддитивные, либо мультипликативные модели. Пользователь может дополнительно вычислить априорные поправки на число рабочих дней и сезонные поправки. Колебания числа рабочих дней оцениваются регрессионными методами (с правильной обработкой крайних членов ряда) и затем (по желанию) используются для корректировки ряда. Реализованы стандартные средства для градуировки выбросов, вычисления сезонных факторов и вычисления тренд-циклической компоненты (имеется возможность выбирать несколько типов взвешенного скользящего среднего; кроме того, программа может сама находить оптимальную длину и тип скользящего среднего). Итоговые компоненты ряда (сезонная, тренд-циклическая, нерегулярная) и ряд с внесенной сезонной поправкой всегда доступны для дальнейшего анализа и вывода на график; кроме того, все они могут быть сохранены для дальнейшего исследования другими методами и/или в других программах. Все компоненты выводятся на графики в различной форме, включая категоризованные графики по месяцам (кварталам).
С помощью реализованных методов полиномиальных распределенных лагов можно выполнять оценку моделей с обычными лагами и лагами Алмона. Для анализа распределений переменных модели имеется ряд графических средств.
Преимущества реализации спектрального анализа в STATISTICA особенно отчетливо проявляются при анализе очень длинных временных рядов (с более чем 250 тыс. наблюдений) и не предполагают каких-либо ограничений на длину ряда (в частности, длина исходного ряда не обязана быть четной). Вместе с тем, иногда бывает разумно предварительно увеличить или уменьшить длину ряда. Стандартные методы предварительной обработки ряда включают косинус-сглаживание, вычитание среднего и удаление тренда. Результаты обычного спектрального анализа содержат коэффициенты частоты, периода, коэфициенты при синусах и косинусах, периодограмма и оценка спектральной плотности. Оценка плотности может быть вычислена с помощью весов Даниеля, Хэмминга, Бартлетта, Тьюки, Парзена или с весами и шириной, заданными пользователем. Очень полезно, особенно при работе с длинными рядами, иметь возможность выводить в убывающем порядке заранее заданное число точек периодограммы или спектральной плотности; таким образом можно легко обнаружить резкие пики периодограммы и спектральной плотности для длинных рядов.
Имеется возможность вычислить d-критерий Колмогорова-Смирнова для значений периодограммы чтобы проверить, подчиняются ли они экспоненциальному распределению (является ряд белым шумом или нет). Для представления результатов анализа имеются различные типы графиков; можно отобразить коэффициенты при синусах и косинусах, периодограмму, лог- периодограмму, спектральную и лог-спектральную плотность по отношению к частотам, периодам и лог-периодам. В случае длинного исходного ряда имеется возможность выбрать конкретный сегмент (период), для которого будут изображаться соответствующие периодограмма и график спектральной плотности, тем самым будет улучшено их "разрешение".
При кросс-спектральном анализе, в дополнение к результатам обычного спектрального анализа каждого отдельного ряда, вычисляется кросс- периодограмма (вещественная и мнимая часть), ко-спектральная плотность, квадратурный спектр, кросс-амплитуда, значения когерентности, усиления и фазовый спектр. Все эти величины могут быть выведены на график, где по горизонтальной оси будет откладываться частота, период или лог-период либо для всего интервала периодов (соответственно, частот), либо для выбранного пользователем диапазона. Указанное пользователем количество наибольших значений кросс-периодограммы (вещественных или мнимых) может быть выведено в убывающем порядке в виде таблицы результатов, что позволяет легко выявлять на ней резкие пики для длинных исходных рядов. Как и во всех других процедурах модуля Временные ряды, все полученные ряды могут быть добавлены в активную рабочую область и затем подвергнуты дальнейшему исследованию с помощью других методов анализа временных рядов или средствами других модулей системы STATISTICA.
Наконец, в системе STATISTICA реализованы регрессионные методы анализа временных рядов для переменных с запаздыванием (лагом) или без него, в том числе - регрессия, проходящая через начало координат, нелинейная регрессия и интерактивное "что-если" прогнозирование.
Данные за прошлые периоды можно использовать для прогнозирования.
Множество данных, где время является независимой переменной, называется временным рядом .
Общее изменение со временем результативного признака называется трендом . Мы рассмотрим модели линейного тренда , то есть параметры тренда модно рассчитать с помощью модели линейной регрессии.
Сезонная вариация – это повторение данных через небольшой промежуток времени. Под «сезоном» можно понимать день, и неделю, и месяц, и квартал. Если же промежуток времени будет длительным, то это – циклическая вариация . Мы остановимся на изучении данных для небольших интервалов времени, поэтому циклическую вариацию исключим из рассмотрения.
Сначала
на основании прошлых данных определяется
сезонная вариация. Исключив сезонную
вариацию (проведя так называемую
десезонализацию
данных
), с
помощью модели линейной регрессии
находим уравнение тренда. По уравнению
тренда и прошлым данным вычисляем
величины ошибок. Это среднее абсолютное
отклонение
,
где
- это разность фактического и прогнозного
значений в момент времениt
, n
– число наблюдений.
Анализ аддитивной модели.
Для аддитивной модели фактическое значение фактическое значение A = трендовое значение T + сезонная вариация S + ошибка E .
Пример 50 . Предположим, что нам известен объем прожаж (тыс. руб.) за последние 11 кварталов. Дадим на основании этих данных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
|
Номер квартала |
Объем продаж |
Оценка сезонной вариации |
||
Заполним следующую таблицу. Оценки сезонной вариации запишем под соответствующим номером квартала году. В каждом столбце вычисляем среднее значение оценок сезонной вариации = (сумма чисел в столбце)/ (количество чисел в столбце). Результат запишем в строке «Среднее» (округления взяты до одной цифры после запятой). Сумма чисел в строке «Среднее» = -1.
Скорректируем значения в строке «Среднее», чтобы общая сумма была равна 0. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной вариации в целом за год. Корректирующий фактор вычисляется следующим образом: сумма оценок сезонных вариаций (-1) делится на число кварталов в году (4). Поэтому из каждого числа этой строки нужно вычесть -1/4= -0,25. Так как у нас округления до одной цифры после запятой, то из нечетных столбцов вычтем -0,3, а из четных столбцов вычтем -0,2. В последней строке получены значения сезонной вариации для соответствующего квартала года.
|
Номер квартала в году | ||||||
|
Номер квартала |
Объем продаж |
Сезонная вариация |
A - S = T + E |
Уравнение
линии тренда T
=
a
+
b
*
x
,
где
-
номерi
-
го квартала.
Найдем коэффициенты a и b
где
-
номерi
-
го квартала, а
-
значение сезонной вариацииi
-
го квартала.
|
Номер квартала |
x 2 | |||
a =1,9 и b =1,1.
T = 1,9+ 1,1 x .
i
,
где
-
объем продаж,
-
сезонная вариация,
-
трендовое значение вi
-ом
квартале.
i x
Составим таблицу
|
Объем продаж A |
Десезонализированный объем продаж A - S = T + E |
Трендовое значение |
Ошибка
|
|
|
|
И среднеквадратическая ошибка
Прогноз объема продаж в 12-м квартале: (1,9+1,1*12)+(-0,9)=14,2 тыс.руб.
Прогноз объема продаж в 13-м квартале: (1,9+1,1*13)+2=18,2 тыс.руб.
Задача 50. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.) за последние 11 кварталов. Дать на основании этих данных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
На первом шаге нужно исключить влияние сезонной вариации. Воспользуемся методом скользящей средней. Заполним таблицу.
|
Номер квартала |
Объем продаж |
Скользящая средняя за 4 квартала |
Центрированная скользящая средняя |
Оценка сезонной вариации |
1 год = 4 квартала. Поэтому найдем среднее значение объема продаж за 4 последовательных квартала. Для этого нужно сложить 4 последовательных числа из 2-го столбца (объем продаж), эту сумму умножить на 4 (количество слагаемых) и результат записать в 3-й столбец напротив 3-го слагаемого.
Если при заполнении 3-го скользящая средняя вычислялась для четного числа сезонов, то вычисляется центрированная скользящая средняя по следующему правилу: полусумму двух соседних чисел из 3-го столбца запишем в четвертый столбец напротив верхнего из них. В противном случае (если скользящая средняя вычислялась для нечетного числа сезонов) центрированную скользящую среднюю вычислять не надо.
5-й столбец (оценка сезонной вариации) – это разность объема продаж и скользящей средней, в случае если последняя вычислялась для нечетно числа сезонов или разность объема продаж и центрированной скользящей средней в противном случае.
Заполним следующую таблицу. Оценки сезонной вариации запишем под соответствующим номером квартала году. В каждом столбце вычисляем среднее значение оценок сезонной вариации = (сумма чисел в столбце)/ (количество чисел в столбце). Результат запишем в строке «Среднее» (округления взяты до одной цифры после запятой). Сумма чисел в строке «Среднее» .
Скорректируем значения в строке «Среднее», чтобы общая сумма была равна 0. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной вариации в целом за год. Корректирующий фактор вычисляется следующим образом: сумма оценок сезонных вариаций. Поэтому из каждого числа этой строки нужно вычесть = 0,593. В последней строке получены значения сезонной вариации для соответствующего квартала года.
|
Номер квартала в году | ||||||
|
Скорректированная сезонная вариация | ||||||
Исключим сезонную вариацию из фактических данных. Проведем десезонализацию данных.
|
Номер квартала |
Объем продаж |
Сезонная вариация |
Десезонализированный объем продаж A - S = T + E |
Из чисел 2-го столбца вычитаем числа 3-го столбца и результат пишем в 4-м столбце.
Уравнение
линии тренда T
=
a
+
b
*
x
,
где
-
номерi
-
го квартала.
Найдем коэффициенты a и b по данным следующим формулам:
где
-
номерi
-
го квартала, а
-
значение сезонной вариацииi
-
го квартала.
Для упрощения расчетов по указанным формулам заполним таблицу
|
Номер квартала |
x 2 | |||
Подставляя соответствующие данные из таблицы в приведенные выше формулы получим: a =1,97 и b =1,12.
Итак, уравнение тренда запишется так T = 1,97+ 1,12 x .
Теперь займемся расчетом ошибок.
Для
этого необходимо найти величины
-
разность фактического и прогнозного
значения вi
-ом
квартале по следующей формуле:
,
где
-
объем продаж,
-
сезонная вариация,
-
трендовое значение вi
-ом
квартале.
Чтобы вычислить трендовое значение в i -ом квартале воспользуемся соответствующей формулой приведенной выше подставляя в нее вместо x номер соответствующего квартала.
Составим таблицу
|
Объем продаж A |
Десезонализированный объем продаж A - S = T + E |
Трендовое значение |
Ошибка
|
|
|
|
Среднее абсолютное отклонение и среднеквадратическая ошибка . Мы видим, что ошибки достаточно велики. Это скажется на качестве прогноза.
Дадим прогноз объема продаж на следующие два квартала.
прогноз = трендовое значение + скорректированная сезонная вариация.
Мы считаем, что тенденция, выявленная по прошлым данным, сохранится и в ближайшем будущем. Подставляем номера кварталов в формулу и учитываем скорректированную сезонную вариацию. T = 1,97+ 1,12 x .
Прогноз объема продаж в 12-м квартале: (1,97+1,12*12)+(-0,453)=14,957 тыс.руб.
Прогноз объема продаж в 13-м квартале: (1,97+1,12*13)+ 1,047=17,577 тыс.руб.
Транскрипт
1 Лабораторная работа 10. Прогнозирование временных рядов. Цель работы: Построение прогноза временного ряда несколькими способами и выбор лучшей модели прогнозирования. Нужно сделать Взять 2 временных ряда -- один в виде отдельного файла, другой из документа Excel Провести корреляционный анализ каждого временного ряда построить его график, рассчитать АКФ, построить график АКФ, определить свойства ряда Построить прогнозы заданных временных рядов несколькими различными способами. Модели временных рядов выбирать из текста лекции. Оценить ошибки прогнозирования и на основании рассчитанных ошибок выбрать наилучшую модель прогнозирования. К отчету Документ Mathematica с отчетами. Анализ и прогнозирование временных рядов Введение Прогнозирование одна из самых востребованных задач бизнес-аналитики. Продажи, поставки, заказы это процессы, распределенные во времени, следовательно, прогнозирование в области продаж, сбыта и спроса, управления материальными запасами и потоками обычно связано именно с анализом временных рядов. Временной ряд последовательность наблюдений за изменениями во времени значений параметров некоторого объекта или процесса. Временные отсчеты значения, зафиксированные в некоторые, обычно равноотстоящие моменты времени. В задачах анализа временных рядов мы имеем дело с дискретным временем, когда каждое наблюдение за параметром образует временной отсчет. Все временные отсчеты нумеруются в порядке возрастания. Тогда временной ряд будет представлен в виде X={x 1,x 2,x n }. Одномерные временные ряды содержат наблюдения за изменением только одного параметра исследуемого процесса или объекта, а многомерные за двумя параметрами или более. Например, трехмерный временной ряд, содержащий наблюдения за тремя параметрами X,Y,Z процесса F можно записать в следующем виде Цели и задачи анализа временных рядов F={(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2),(x n,y n,z n)} Описание характеристик и закономерностей ряда Моделирование построение модели исследуемого процесса Прогнозирование предсказание будущих значений временного ряда
2 Управление. Зная свойства временных рядов, можно выработать воздействия на соответствующие бизнес-процессы для управления ими методы Детерминированная и случайная составляющая временного ряда Закономерная (детерминированная) составляющая временного ряда последовательность значений, элементы которой могут быть вычислены в соответствии с определенной функцией. Закономерная составляющая временного ряда отражает действие известных факторов и величин. Зная функцию, описывающую закономерность, в соответствии с которой развивается исследуемый процесс, мы можем вычислить значение детерминированной составляющей в любой момент времени. Случайная (стохастическая) составляющая временного ряда последовательность значений, которая является результатом воздействия на исследуемый процесс случайных факторов. Случайная составляющая и ее влияние на временной ряд могут быть оценены только с помощью статистических методов. Случайная составляющая проявляется как результат воздействия набора случайных факторов на исследуемый процесс и обычно выражается в повышенной изменчивости временного ряда, а также в отклонении значений детерминированной составляющей. Результирующее значение временного ряда это результат взаимодействия детерминированной и случайной составляющих. Простейший вид такого взаимодействия случай, когда, каждое значение временного ряда можно рассматривать как сумму (разность) двух значений, одно из которых обусловлено детерминированной составляющей, а другое случайной, т.е. x i =d i +p i. Модели временных рядов Наблюдаемые значения временного ряда представляют собой результат взаимодействия детерминированной и случайной составляющих. Различают два вида такого взаимодействия: Аддитивное значения временного ряда получаются как результат сложения детерминированной и случайной составляющих Мультипликативное значения временного ряда получаются как результат умножения детерминированной и случайной составляющих Соответственно, аддитивная модель имеет вид x i =d i +p i, мультипликативная модель имеет вид x i =d i p i. Компоненты временного ряда Типовые структуры, которые можно выделить во временном ряду тренд, сезонная компонента, циклическая компонента. Тогда детерминированная составляющая может быть записана в виде: d i =t i +s i +c i, где t i тренд, s i сезонная компонента, c i циклическая компонента.
3 Тренд Тренд медленно меняющаяся компонента временного ряд, которая описывает влияние на временной ряд долговременно действующих факторов, вызывающих плавные и длительные изменения ряда. Чтобы представить характер тренда, обычно достаточно взглянуть на график временного ряда. Наиболее популярные модели для описания тренда: Простая линейная модель: t i =a+b i Полиномиальная модель: t i =a+b 1 i+ b 2 i b n i n. В большинстве реальных задач степень полинома не превышает 5 Экспоненциальная модель: t i =exp(a+b i). Используется в случаях, когда процесс характеризуется равномерным увеличением темпов роста Логистическая модель t i =a./(1+b e - k i), где k константа, управляющая крутизной логистической функции. Такого типа кривые, имеющие S-образную форму, часто называют сигмоидами. Они хорошо описывают процессы с непостоянными темпами роста. Сезонная компонента Многим процессам свойственна повторяемость во времени, причем периодичность таких повторений может изменяться в очень широком диапазоне. Очевидно, что для описания таких периодических изменений, присутствующих во временных рядах, тренд непригоден. Сезонная компонента составляющая временного ряда, описывающая регулярные изменения его значений в пределах некоторого периода и представляющая сосбой последовательность почти повторяющихся циклов. Сезонная компонента может быть привязана к определенному календарному временному интервалу: дню, неделе, месяцу либо к какому-либо событию, которое пямо не соотносится с конкретными календарными интервалами. Сезонную компоненту с изменяющимся периодом иногда называют плавающей. Циклическая компонента Часто временные ряды содержат изменения, слишком плавные и заметные для случайной составляющей. В то же время такие изменения нельзя отнести ни к тренду, поскольку они не являются достаточно протяженными, ни к сезонной компоненте, поскольку они не являются регулярными. Подобные изменения называются циклической компонентой временного ряда. Циклическая компонента временного ряда интервалы подъема или спада, которые имеют различную протяженность, а также различную амплитуду расположенных в них значений. Изучение циклической компоненты часто оказывается полезным для прогнозирования, особенно краткосрочного.
4 Т.о., временной ряд можно представить как композицию, состоящую из двух составляющих случайной и детерминированной. Детерминированная составляющая, в свою очередь, содержит три компоненты тренд, сезонную и циклическую. Исследование временных рядов и автокорреляция Цель анализа временного ряда построение его математической модели, с помощью которой можно обнаружить закономерности поведения ряда, а также построить прогноз его дальнейшего развития. Временной ряд называется стационарным, если его статистические свойства (мат.ожидание и дисперсия) одинаковы на всем протяжении ряда. В противном случае ряд называется нестационарным. Прежде чем приступить к построению модели ряда, его стараются привести к стационарному. При исследовании временного ряда ищут ответы на несколько вопросов. Является ли ряд случайным? Содержит ля временной ряд тренд и сезонную компоненту? Является ли временной ряд стационарным? Для ответа используется аппарат корреляционного анализа. Корреляция характеризует степень статистической взаимосвязи между элементами данных. Если взаимосвязь между элементами присутствует, то данные называются коррелированными. Когда определяется степень статистической взаимосвязи между значениями одного временного ряда, имеет место автокорреляция. В этом случае вычисляется корреляция между временным рядом и его копией, сдвинутой на один или несколько временных отсчетов. Смысл корреляционного анализа заключается в следующем. Детерминированная составляющая характеризуется плавными изменениями значений ряда, т.е. соседние значения ряда не должны сильно отличаться, и, следовательно, между ними присутствует сильная зависимость. Если значения ряда в большей степени обусловлены случайной составляющей и соседние значения могут существенно отличаться друг от друга, то корреляция будет меньше. Пример. Пусть дан ряд, который содержит последовательность ежемесячных наблюдений за продажами. Месяц Продажи Январь 125 Февраль 130 Март 140 Апрель 132 Май 145 Июнь 150 Июль 148 Август 155 Сентябрь 157 Октябрь 160 Ноябрь 158 Декабрь 165
5 Для того, чтобы вычислить автокорреляцию ряда, будем использовать его копию, сдвинутую в сторону запаздывания на определенное количество отсчетов. X X i X i X i-n 125 Для определения степени взаимной зависимости элементов ряда используется коэффициент автокорреляции r k, где k количество отсчетов, на которое был сдвинут временной ряд при вычислении данного коэффициента. r k = n i= k+ 1 (x i x)(x (n k) σ i k 2 x x) где x i значение i-го отсчета, x i-k наблюдение x i со сдвигом на k временных отсчетов, x - - среднее значение ряда, σ -- дисперсия ряда. 2 x Коэффициент корреляции изменяется в диапазоне [-1,1], где r k =1 указывает на полную корреляцию Если рассчитать коэффициенты корреляции для каждого сдвига, получим последовательность коэффициентов, называемую автокорреляционной функцией (АКФ). Результаты расчета АКФ для ряда X. k r k Автокорреляционная функция временного ряда Значение коэффициента автокорреляции при нулевом сдвиге равно 1, поскольку ряд полностью коррелирован с самим собой. Также наблюдается высокая степень корреляции r k >0.8 при сдвиге менее чем на 4 временных отсчета и умеренная при r k для 5-7 отсчетов. Затем корреляция быстро падает. Т.о., можно сделать вывод о высокой степени зависимости между соседними значениями данного временного ряда. Данный вывод подтверждается визуальным исследованием ряда: в нем присутствует небольшой линейный положительный тренд, отсутствует сезонная компонента, а достаточно высокая гладкость позволяет выдвинуть предположение о малой величине случайной
6 составляющей. Все это хорошо согласуется с выводами, сделанными на основе корреляционного анализа. Для произвольного временного ряда, корреляционный анализ позволяет придти к следующим заключениям: Если ряд содержит тренд, то коэффициент автокорреляции значителен для первых нескольких сдвигов ряда, а в дальнейшем убывает до нуля Если действие случайной компоненты велико, то коэффициенты автокорреляции для любого значения сдвига будут близки к нулю. Случайный ряд и его АКФ Если ряд содержит сезонную компоненту, то коэффициент автокорреляции будет большим для значений сдвига, равных периоду сезонной составляющей или кратных ему. Ряд с сезонной компонентой и его АКФ
7 Таким образом, корреляционный анализ позволяет выявить в ряду тренд и сезонную компоненту, а также определять, насколько поведение ряда обусловлено его случайной компонентой. Знание данных свойств временного ряда помогает строить более адекватные модели и выбирать методы прогнозирования Модели прогнозирования Главный инструмент прогнозирования в современной бизнес-аналитике прогностические модели. Обобщенная модель прогноза Набор входных переменных x i (i=1,n) исходные данные для прогноза. Набор выходных переменных y j (j=1,m) набор прогнозируемых величин, n>m. Когда решается задача прогнозирования временного ряда, описывающего динамику изменения некоторого бизнес-процесса, входные значения наблюдения за развитием процесса в прошлом, а выходные прогнозируемые значения процесса в будущем. При этом временные интервала прошлых наблюдений и временные интервалы, по которым требуется получить прогноз, должны соответствовать друг другу. «Наивная» модель прогнозирования Предполагает, что последний период прогнозируемого временного ряда лучше всего описывает будущее этого ряда. Простейшая модель y(t+1)=x(t), где x(t) последнее наблюдаемое значение, y(t+1) прогноз. Чтобы модель учитывала наличие возможных трендов, ее можно несколько усложнить, например преобразовав к виду y(t+1)=x(t)+ или y(t+1)=x(t). При необходимости учета сезонных колебаний модель модифицируется следующим образом: y(t+1)=x(t-s), где s показатель, учитывающий сезонные изменения прогнозируемого временного ряда. Экстраполяция Если значения функции f(x) известны в некотором интервале , то целью экстраполяции является определение наиболее вероятного значения в точке x n+1. Экстраполяция применима только в тех случаях, когда функция f(x), а соответственно и описываемый ей временной ряд, достаточно стабильна и не подвержена резким изменениям.
8 Наиболее популярный метод экстраполяции в настоящее время экспоненциальное сглаживание. Основной его принцип заключается в том, чтобы учесть в прогнозе все наблюдения, но с экспоненциально убывающими весами. Метод позволяет принять во внимание сезонные колебания ряда и предсказать поведение трендовой составляющей. Например, в случае ряда с «нулевым» трендом, можно выбрать следующую модель экспоненциального сглаживания y(t+1)= λ y(t)+(1-λ) x(t), \где x(t) последнее наблюдаемое значение, y(t) прогноз на момент времени t, y(t+1) прогноз на момент времени t+1. 0< λ<1 параметр сглаживания или параметр адаптации, характеризующий меру обесценивания наблюдения за единицу времени. Инструментом прогноза является модель, первоначальная оценка параметра λ производится по нескольким первым наблюдениям. На ее основе делается прогноз, который сравнивается с фактическими наблюдениями. Далее модель корректируется в соответствии с величиной ошибки прогноза и вновь используется для прогнозирования следующего уровня, вплоть до исчерпания всех наблюдений. Таким образом, она постоянно «впитывает» новую информацию, приспосабливается к ней, и к концу периода наблюдения отображает тенденцию, сложившуюся на текущий момент. Прогноз получается как экстраполяция последней тенденции. Прогнозирование методом среднего и скользящего среднего Наиболее простая модель этой группы обычное усреднение набора наблюдений прогнозируемого ряда y(t+1)=(x(t)+x(t-1)+x(t-2)+ +x(1))/t. При усреднении сглаживаются резкие изменения и выбросы данных, что делает результаты прогноза более устойчивыми к изменчивости ряда, но в целом эта модель прогноза так же примитивна как «наивная». В формуле прогноза на основе среднего предполагается, что ряд усредняется по всем наблюдениям, но старые значения временного ряда могли формироваться на основе иных закономерностей и утратить актуальность. Чтобы повысить точность прогноза, можно использовать «скользящее среднее» y(t+1)=(x(t)+x(t-1)+x(t-2)+ +x(t-t))/(t+1), т.е. модель «видит» прошлое на Т отсчетов времени и прогноз строится только на этих наблюдениях. Иногда метод скользящего среднего оказывается даже эффективнее чем методы, основанные на долговременных наблюдениях. Регрессионные модели Один из методов прогнозирования временных рядов определение факторов, которые влияют на каждое значение временного ряда. Для этого выделяется каждая компонента временного ряда, вычисляется ее вклад в общую
9 составляющую, а затем на его основе прогнозируются будущие значения временного ряда. Данный метод получил название декомпозиции временного ряда. Исходный временной ряд представляется как композиция тренда, сезонной и циклической компоненты. Для построения прогноза выполняется выделение этих компонент из ряда, т.е. разложение ряда по компонентам. Рассмотрим прогнозирование методом декомпозиции с помощью тренда. Если тренд линейный, что типично для многих реальных временных рядов, то он представляет собой прямую линию, описываемую уравнением y=a+b t, где y значение ряда, a и b коэффициенты, определяющие расположение и наклон линии тренда, t время. Если уравнение линии тренда известно, то с его помощью можно рассчитать значение тренда в любой момент времени y t+k =a+b(t +k), где t начало прогноза, k горизонт прогноза. При использовании сезонности для прогнозирования методом декомпозиции сначала из временного ряда убирается тренд и сглаживается возможная циклическая компонента. Тогда можно считать, что оставшиеся данные будут обусловлены в основном сезонными колебаниями. На основе этих данных вычисляются так называемые сезонные индексы, которые характеризуют изменения временного ряда во времени. Например, временной ряд содержит наблюдения по месяцам в течение года. Сезонный индекс, равный 1, будет установлен для месяца, ожидаемое значение в котором составляет 1/12 от общей суммы по месяцам. Если для некоторого месяца устанавливается индекс 1.2, то ожидаемое значение для этого месяца составляет 1/12+20%, а если 0.8 то 1/12-20% и т.д. Ясно, что сумма сезонных индексов за год должны равняться 12. Использовать сезонность для прогнозирования можно тогда, когда сезонные колебания имеют хорошую повторяемость.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕЙ СРЕДНЕЙ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ Цель работы: научиться строить тренд временного ряда на основе метода скользящей средней. Содержание работы: 1. Суть метода
ЛЕКЦИЯ 7 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЕ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЛАГАМИ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ (ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ) Эконометрические модели, которые в качестве регрессоров включают лаговые переменные, относятся
Лекция 12. Введение в анализ временных рядов Виды временных рядов. Требования, предъявляемые к исходной информации Статистическое описание развития экономических процессов во времени осуществляется с помощью
РАЗДЕЛ. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПО ИХ ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ... ВРЕМЕННОЙ РЯД (ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ... СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ
ТЕМА 4. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.
1. Общий анализ временного ряда. 1.1. Проверка гипотезы о случайности временного ряда. График временного ряда изучаемого показателя «Среднедушевые денежные доходы» изображен на рис. «Доходы населения».
Методология Box Jenkins (BJ) или модели AR(I)MA. Модель авторегрессии AR(p). Модель скользящего среднего MA(q). Модель авторегрессии AR(p) Целью эконометрического моделирования часто является так называемое
Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 8 Анализ временных рядов Оглавление Понятие и виды временных рядов... 3 Прогнозирование экономических показателей на основе экстраполяции тренда... 3
Методология Box Jenkins (BJ) или модели AR(I)MA. Модель авторегрессии AR(p). Модель авторегрессии MA(q). Целью эконометрического моделирования часто является так называемое ou-of-sample предсказание, т.е.
Тема 10. Ряды динамики и их применение в анализе социально-экономических явлений. Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов.
МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах
УДК 338.4 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ПРОДАЖ В МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 8 Ю.С. Чуйкова, Б.А. Горлач Ключевые слова: товарные запасы, управление запасами, прогноз продаж, сезонность, тренд, сезонная волна,
АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Институт Бизнеса и Делового Администрирования Примеры использования дополнительных надстроек MS Excel Анализ модельных временных рядов с помощью надстройки
Абдиев Б.А. «Эконометрика» Предназначено для студентов специальности: Финансы, вечернее отделение (2 курс 4г.о.) Учебный год: 2015-2016 Текст вопроса 1 Парная регрессия у=а+вх+е представляет собой регрессию
55 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3 Постановка задачи регрессионного анализа Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли хозяйства) как правило представляются таблицами статистических данных:
ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Для решения задач экономического анализа и прогнозирования очень часто используются статистические, отчетные или наблюдаемые
1. Тема: Предпосылки МНК, методы их проверки Предпосылками метода наименьших квадратов (МНК) являются следующие функциональная связь между зависимой и независимой переменными присутствие в эконометрической
ПЛАН-КОНСПЕКТ. ТЕМА 5. МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗЕЙ Вопросы: 1. Сущность математико-статистических методов изучения связей 2. Корреляционный анализ 3. Регрессионный анализ 4. Кластерный
46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные
Порядок выполнения работы. На основе имеющихся данных о производстве продукции за N лет рассчитать следующие величины: темпы прироста производства, производительность труда, производительность капитала.
Динамика рождаемости по Чувашской республике Содержание Введение 1. Общая тенденция рождаемости населения Чувашской республики 2. Основная тенденция рождаемости 3. Динамика рождаемости городского и сельского
3, 01 Г. В. Жукова Ìàòåìàòè åñêèå ìåòîäû èíâåñòèöèîííîãî ïëàíèðîâàíèÿ Аннотация: в данной статье рассмотрены основные математические методы, позволяющие получить прогнозные оценки развития тех или иных
Литература 1. Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райтс А.Дж. Бизнес-прогнозирование, 7-е издание М.: Изд. Дом «Вильямс», 2003 2. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования/м. : ЮНИТИ- ДАНА, 2003 3. Вуколов
План лекций 1 семестр 1. Введение. 1.1. Предмет, метод и задачи статистики; источники статистической информации. 1.2. Кратка история развития статистики. Структура статистических органов на современном
Ср. температура 0 0,97789784683 Ср. осадки 0 0,893300077 Ср.температура/Осадки- 0,005975564 Данные, приведенные в табл. 4 показывают, что наиболее сильные корреляционные связи наблюдаются для среднегодовых
1 (64), 2012/ 33 The offered and realized additive model of calculation of specific norm of consumption of scrap metal at arc electric steel-smelting furnaces has allowed to reduce considerably the error
РЯДЫ ДИНАМИКИ КЛАССИФИКАЦИЯ Ряд динамики (РД), хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития
Прогнозирование в Excel методом скользящего среднего доктор физ. мат. наук, профессор Гавриленко В.В. ассистент Парохненко Л.М. (Национальный транспортный университет) Теоретическая справка. При моделировании
Контрольные тесты по дисциплине «Эконометрика» Первая главная компонента A. Содержит максимальную долю изменчивости всей матрицы факторов. B. Отражает степень влияния первого фактора на результат. C. Отражает
Алеткин П.А., Кожемякова В.В., Шайдуллина Л.И. Прогнозирование доходов и расходов предприятия на основе мультипликативной модели временных рядов В данной практической статье авторами рассмотрено применение
6 целей инвестирования в ИТ (опрос) Повышение эффективности операционной деятельности Новые товары, услуги, бизнес-модели Тесные контакты с покупателями и поставщиками Поддержка принятия решений Конкурентные
Лекция 5. Элементы теории корреляции.. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, т.е. изменение одной из них по
АВТОМАТИЗАЦИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Т. А. Заяц УО «Белорусский торгово-экономический университет потребительской кооперации», г. Гомель В современных экономических условиях планирование и управление
УДК 519.862. Физико-математические науки Летова Марина Сергеевна, студентка Факультет прикладной математики и механики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального
Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона. Бондар Е. В. Филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Южный федеральный университет» в г. Новошахтинске
ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ГОРНОМ ДЕЛЕ Прогнозирование событий, и в частности, последствий разработки полезных ископаемых, чрезвычайно сложное дело из-за взаимосвязанности процессов в биосфере.
Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.
11. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Приступая к изучению дисциплины, студенту необходимо внимательно ознакомиться с тематическим планом занятий, списком рекомендованной литературы.
Алеткин П.А., Кожемякова В.В., Шайдуллина Л.И. Прогнозный анализ доходов и расходов от обычных видов деятельности с помощью построения аддитивной модели временного ряда В данной практической статье авторами
Линейная корреляционная зависимость Часто на практике требуется установить вид и оценить силу зависимости изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин (случайных или неслучайных).
Кафедра экономики и управления Статистика Учебно-методический комплекс для студентов ФСПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Ряды динамики Составитель: Ст. преподаватель Е.Н.
Иткин В.Ю. Модели ARMAX Семинар 4. Временные ряды. Автокорреляционная функция 4.1. Пример временного ряда Рассмотрим пример: серия измерений давления газа на выходе из абсорбера на УКПГ. На первый взгляд,
Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается
Регрессионный анализ регрессионный анализ -введение коэффициент корреляции степень связи в вариации двух переменных величин (мера тесноты этой связи) метод регрессии позволяет судить как количественно
Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса Пусть имеются две измеренные случайные величины (СВ) X и Y. В результате проведения n измерений получено n независимых пар. Перед
7 (35) 008 Рынок ценных бумаг Применение анализа временных рядов в стратегии инвестора и торговой системе трейдера Е.Е. Лещенко Кафедра менеджмента инвестиций и инноваций Российской экономической академии
Задачи для текущего контроля Задача 1 Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за ряд лет (млн долл. в сопоставимых ценах). Исходные данные представлены ниже: Сумма Время, лет 1 2
3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ИЭП им Гайдарару 5 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В ПЕРИОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ: СУЩЕСТВУЮТ ЛИ ПРОСТЫЕ СПОСОБЫ УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПРОГНОЗОВ МТурунцева зав лабораторией ИЭП им ЕТ Гайдара и РАНХиГС
Управление производством УДК 631.15:338.27 ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В УПРАВЛЕНИИ ПРОИЗВОДСТВОМ ЗЕРНОВЫХ КУЛЬТУР Е. Г. НИКИТЕНКО, аспирант кафедры менеджмента Е-mail: [email protected] Ставропольский государственный
Новые возможности программы ФемтоСкан Советы и рекомендации Выпуск 003 Волшебство корреляционного анализа. Часть 1. В сканирующей зондовой микроскопии, и в первую очередь в сканирующей туннельной микроскопии,
36 УДК 68.3.068 А.Ю. СОКОЛОВ, О.С. РАДИВОНЕНКО, Т.В. КОРЧАК Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского ХАИ, Украина МЕТОДЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВСПЫШЕК ЭПИДЕМИЙ
Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 7 Анализ остатков. Автокорреляция Оглавление Свойства остатков... 3 1-е условие Гаусса-Маркова: Е(ε i) = 0 для всех наблюдений... 3 2-е условие Гаусса-Маркова:
Трансформация упорядоченных данных Многие аналитические задачи, например прогнозирование, анализ продаж, динамики спроса, состояния бизнес-объектов и других протяженных во времени процессов, связаны
Эконометрическое моделирование Лабораторная работа Корреляционный анализ Оглавление Понятие корреляционного и регрессионного анализа... 3 Парный корреляционный анализ. Коэффициент корреляции... 4 Задание
ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это
УДК 674.093 ЭВОЛЮЦИЯ ТРЕНДА И ВНУТРИГОДОВОЙ ДИНАМИКИ КИСЛОТНОСТИ ОСАДКОВ, ВЫПАДАЮЩИХ В ТВЕРИ Ф. В. Качановский В предыдущих публикациях автора рассмотрены различные аспекты проблемы кислотности атмосферных
"УТВЕРЖДАЮ" Заместитель Председателя Правления ОАО "СО ЦДУ ЕЭС" Н.Г. Шульгинов 4 декабря 2007 г. Методика прогнозирования графиков электропотребления для технологий краткосрочного планирования 2007 Содержание.
Корреляционный анализ. Корреляционно-регрессионный анализ выполняется на основе анализа эмпирических данных. Методы такого анализа являются составной частью эконометрики, которая устанавливает и исследует
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N o.1 СЛОЖЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ И ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы Целью работы является практическое ознакомление с физикой гармонических колебаний, исследование процесса
Лекция. Основные показатели динамики экономических явлений На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяются следующие основные аналитические показатели: абсолютные приросты; темпы
УДК 330.42 Экономические науки Харитонова Дарья Евгеньевна, студентка кафедры прикладной математики, специальность «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности», ФГБОУ ВО «Пермский