Проценты — удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число. Один процент — это одна сотая доля. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля».
Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.
1. Формула расчета доли в процентном отношении.
Пусть задано два числа: A 1 и A 2 . Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A 1 от A 2 .
P = A 1 / A 2 * 100.
В финансовых расчетах часто пишут
P = A 1 / A 2 * 100%.
Пример. Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов).
2. Формула расчета процента от числа.
Пусть задано число A 2 . Надо вычислить число A 1 , составляющее заданный процент P от A 2 .
A 1 = A 2 * P / 100.
Пример. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.
P = 10000 * 5 / 100 = 500.
3. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС.
Пусть задано число A 1 . Надо вычислить число A 2 , которое больше числа A 1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
A 2 = A 1 + A 1 * P / 100.
A 2 = A 1 * (1 + P / 100).
Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.
A 2 = 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1.05 = 10500.
Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с НДС составляет:
A 2 = 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1.18 = 1180.
style="center">
4. Формула уменьшения числа на заданный процент.
Пусть задано число A 1 . Надо вычислить число A 2 , которое меньше числа A 1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
A 2 = A 1 - A 1 * P / 100.
A 2 = A 1 * (1 - P / 100).
Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:
A 2 = 10000 * (1 - 13 / 100) = 10000 * 0.87 = 8700.
5. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС.
Пусть задано число A 1 , равное некоторому исходному числу A 2 с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A 2 . Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.
Обозначим p = P / 100, тогда:
A 1 = A 2 + p * A 2 .
A 1 = A 2 * (1 + p).
Тогда
A 2 = A 1 / (1 + p).
Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет:
A 2 = 1180 / (1 + 0.18) = 1000.
style="center">
6. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов.
Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.
S = K + (K*P*d/D)/100
Sp = (K*P*d/D)/100
Где:
S — сумма банковского депозита с процентами,
Sp — сумма процентов (доход),
K — первоначальная сумма (капитал),
d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D — количество дней в календарном году (365 или 366).
Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов.
S = 100000 + 100000*20*365/365/100 = 120000
Sp = 100000 * 20*365/365/100 = 20000
Пример 2. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 30 дней по ставке 20 процентов.
S = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84
Sp = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84
7. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов.
Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов.
S = K * (1 + P*d/D/100) N
Где:
P — годовая процентная ставка,
При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход):
Sp = S - K = K * (1 + P*d/D/100) N - K
Sp = K * ((1 + P*d/D/100) N - 1)
Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.
S = 100000 * (1 + 20*30/365/100) 3 = 105 013.02
Sp = 100000 * ((1 + 20*30/365/100) N - 1) = 5 013.02
style="center">
Пример 2. Проверим формулу начисления сложных процентов для случая из предыдущего примера.
Разобьем срок депозита на 3 периода и рассчитаем начисление процентов для каждого периода, использую формулу простых процентов.
S 1 = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84
Sp 1 = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84
S 2 = 101643.84 + 101643.84*20*30/365/100 = 103314.70
Sp 2 = 101643.84 * 20*30/365/100 = 1670.86
S 3 = 103314.70 + 103314.70*20*30/365/100 = 105013.02
Sp 3 = 103314.70 * 20*30/365/100 = 1698.32
Общая сумма процентов с учетом начисления процентов на проценты (сложные проценты)
Sp = Sp 1 + Sp 2 + Sp 3 = 5013.02
Таким образом, формула вычисления сложных процентов верна.
8. Еще одна формула сложных процентов.
Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так.
S = K * (1 + P/100) N
Где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — процентная ставка,
N — число периодов начисления процентов.
Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1.5 процента в месяц.
S = 100000 * (1 + 1.5/100) 3 = 104 567.84
Sp = 100000 * ((1 + 1.5/100) 3 - 1) = 4 567.84
Процент - это специальный математический знак, применяемый для обозначения относительных величин. Какова его история и как рассчитать процент от числа - об этом пойдет речь в статье.
Процент - что это такое?
Процент - это понятие, которое используется в нескольких значениях и сферах деятельности:
- В математике: это одна сотая часть какого-либо числа, представленная в виде целого.
- В метрологии: это единица измерения, выраженная в сотых долях какой-либо величины.
- В экономике и банковском деле: величина дохода, получаемая субъектом финансовых отношений от каждой сотни денежных единиц.
Как мы видим, данное понятие используется в различных областях, а потому необходимо знать, как посчитать процент от числа.
Процент как единица измерения
Этот термин имеет латинское происхождение: "per cent" можно перевести как "на сотню". По сути, это одна сотая часть чего-то. В математике и информатике имеет свое обозначение - "%". То есть 10 килограмм от одной тонны (что составляет, как известно, 1000 кг) - это будет как раз 1 %. В школах понятие процента очень часто объясняют на примере пирога. Так, целый пирог - это единица (или 100 %). Если мы отрежем от него половину - то это будет 50 %, если четверть - то 25 % и так далее.
История процента
О процентах знали (и активно их применяли в качестве своеобразной системы исчисления) еще в древнеримском государстве. Тогда использовались дроби в качестве определения размера налога на товары (его величина составляла одну сотую).
Как свидетельствуют многочисленные источники, такая дробная система активно использовалась и позже, уже в Средние Века. С её помощью вычисляли размер процентных ставок, а также величину доходов и убытков. Начиная с 17 века эта система стала общестандартной для подобных исчислений. На территории нашей страны процентная система прижилась во времена великого реформатора Петра Первого. Однако можно утверждать, что она существовала и раньше в виде привязки денег (монет) к стандарту 1:100 (ведь русский рубль издавна и не случайно делился именно на 100 копеек).
Математический знак процента и история его происхождения
Как же возник этот математический знак, который обозначает "проценты" и известен сегодня во всем мире? Оказывается, история его происхождения очень любопытна, а возник он вследствие простой опечатки! Так, французский математик в 1685 году издает труд под названием "Руководство по коммерческой арифметике". При этом для обозначения процента он пользовался сокращением "cto". Когда же он отдал свою рукопись в печать, то человек, набиравший его текст, воспринял это сокращение как дробь и в книге напечатал его именно так: " 0 / 0 ". Вот так и родился этот знак - в результате банальной опечатки наборщика! И очень быстро он стал популярным и узнаваемым по всей планете.
Как вычислить процент от числа?
Каждый человек практически ежедневно может столкнуться с необходимостью произвести математическое действие с процентами. Как посчитать процент от числа правильно? Сделать это совсем несложно. К примеру, вам нужно определить величину, которая равняется 35 % от числа 1500. Для этого необходимо исходное число разделить на 100 и умножить полученный результат на 35. Получаем ответ: 525.
Как посчитать процент от числа с помощью калькулятора?
Если у вас есть калькулятор, то произвести такую математическую операцию тоже не составит труда. Так, в поле счетной машинки нужно ввести "1500", затем нажать "умножить", ввести "35" и в конце нажать специальную кнопку "%". В результате мы получим то же числовое значение: 525.
Правила использования знака при компьютерном наборе
Этот знак используется исключительно вместе с цифрой. До 1982 года ГОСТом было принято не разрывать знак "%" и числовое значение, идущее перед ним. Однако потом правила набора изменились, теперь между числом и знаком процента нужно ставить так называемый неразрывный пробел. Это пробел, который не разрывает два соседних символа на разные строки документа. Исключением является лишь тот случай, когда знак применяется на письме для обозначения слова "процентный", или "процентная". Так, например, при написании фразы "5%-й раствор глюкозы" пробел между числом и знаком не ставится.
В заключение
Процент - это понятие, о котором знали еще древние римляне. Процентная система активно использовалась ими для различных экономических расчетов. Применяется она и в наши дни в разных науках и сферах деятельности общества. Надеемся, что наша статья помогла вам разобраться с тем, как посчитать процент от числа быстро и легко.
Рисунок позволяет определить величину цены капитала или процента как своеобразную равновесную цену, при которой спрос равен предложению, т.е. позволяет определить условия равновесия на рынке капитала.
Рисунок показывает, что в точке Е происходит совпадение предельной доходности капитала и предельных издержек упущенных возможностей; спрос на судный капитал при этом равен его предложению.
Таким образом, процент (или годовая процентная ставка) является обобщающим выражением дохода (издержек) на капитал.
Процент (процентная ставка) – это такая величина дохода (издержек), которая исчисляется за определенный период времени, чаще всего за год, в процентном отношении к величине применяемого капитала.
Рис. 10.4. Рынок капитала
Размер получаемого дохода выступает, по существу, ценой капитала . Формы капитала различны, но обобщающим знаменателем их стоимости является денежная оценка.
Процент, как доход на капитальные активы будет тем выше, чем выше производительность этого фактора. Такой капитал принесет большую прибыль. Именно с этой целью осуществляется накопление капитала и его инвестирование.
Оценка прибыльности капитала осуществляется на основе чистой производительности капитала исчисляемой, во-первых , после всех платежей от прибыли, и, во-вторых , в сопоставлении с осуществленными затратами.
Эффективный инвестиционный проект – это проект, годовой доход которого не ниже рыночной нормы процента по любому другому капитальному активу, включая банковскую процентную ставку. То есть в основе процента лежит норма прибыли, которая определяется по формуле:
Чистый доход или чистая плата
Норма прибыли = ──────────────────────── х 100 %
Сумма инвестиций в данный объект
Процент (от англ. interest – «доля») – это сумма поверх займа, рассчитанная в процентном отношении к сумме заемных средств. Он представляет собой важнейшую категорию рыночной экономики.
Процент двулик – с одной стороны он результат для заемщика ресурсов, с другой – результат для кредитора , процент на его ресурсы.
В чем же состоит необходимость уплаты процента? Для ответа на этот вопрос сформулируем несколько положений раскрывающих сущность процента :
1) процент – это плата за использование денег в форме займа для использования их в своих интересах;
2) процент – это плата (цена) за право располагать ресурсами в настоящий момент, вместо того, чтобы ожидать подчас длительное время, когда будут заработаны денежные средства, на которые можно будет приобрести ресурсы, которые могли бы начать «работать» значительно раньше.
3) сегодняшние, настоящие ресурсы ценнее будущих, люди ценят больше то, чем располагают в настоящее время. Это называется временным предпочтением , т.е. склонностью предпочесть реальный товар в настоящий момент, нежели его получение в неком будущем. Возрастание дохода является следствием возрастания объема имеющихся ресурсов, но за это надо платить. Эта плата и есть процент.
4) за денежные средства, взятые в заем надо платить и потому, что кредитор, отдавая в заем денежные средства, несет издержки упущенных возможностей альтернативного использования этих средств. Возмещение этих издержек и есть процент.
5) процент – это и издержки производства тех лиц, которые его выплачивают владельцу заемных средств, но это особые издержки, обусловленные желанием экономического агента иметь и использовать ресурсы для получения дохода сегодня, а не завтра.
6) величину процента можно трактовать как разницу превышения ценности сегодняшних благ над будущими благами.
7) чтобы побудить владельца денег отказаться от сегодняшнего распоряжения ресурсами необходимо вознаградить его за такой отказ платой процента.
Уровень ссудного процента за кредит прямо пропорционален размеру ссуд, сроков, их обеспеченности, форме кредитования и степени кредитных рисков.
Экономическая сущность процента заключается в том, что процент есть цена, которую люди платят за то, чтобы получить ресурсы сейчас, вместо того, чтобы ждать до тех пор, пока они заработают деньги, на которые эти ресурсы можно купить.
Хейне «Экономический образ мышления».
Существует множество видов процента в зависимости от признака классификации. Так, по времени проценты классифицируются как: долгосрочные, среднесрочные и краткосрочные.
Другими видами процента являются проценты : фиксированные и плавающие; простые и сложные; нетто и брутто; временный, точный, коммерческий.
Особую роль в экономике играет ссудный процент.
Ссудный процент – такой процент, который выплачивается ссудополучателем за предоставление ему суммы денег на принципах : срочности, платности и возвратности . Проценты выплачиваются или по мере их начисления, или плюсуются к сумме долга. Они могут исчисляться как простые (плюсуются к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды) или сложные (когда ссудный процент начисляется на сумму с уже начисленными в предыдущем периоде процентами).
Ссудные проценты могут быть фиксированными на протяжении действия контракта и не меняться или плавающими (гибкими в зависимости от динамики инфляции, валютного курса и т.п.).
Анализ показывает, что величина доходов на капитал и ставки процентов различны для краткосрочного и долгосрочногопериодов . На рисунке 10.4. точка E – это точка краткосрочного равновесия с большей величиной процентной ставки. Точка E L – это точка долгосрочного равновесия с меньшей величиной процентной ставки. Колебания вокруг точки E L неизбежны как результат соотношения спроса и предложения. На изменение величины процентной ставки влияет много факторов : от научно-технического прогресса до разделения труда и других факторов.
Возможен и иной подход к определению процента с помощью диаграммы Фишера . В частности, диаграмма Фишера показывает влияние ожидания технических изменений и производительности капитала на уровень процента (рис.10.5).
Рис. 10.5. Диаграмма Фишера: «Влияние ожидания технических изменений на уровень процента».
На диаграмме Фишера показано, как воздействуют на величину процента два фактора : ожидание и производительность капитала. Производительность капитала , как выражение степени использования научно-технического прогресса, непосредственно определяет уровень процента. В свою очередь, склонность к текущему (сегодняшнему) потреблению ограничивает инвестиции, и, соответственно, мультипликатор накопления становится меньше.
Кривая производственных возможностей показывает, как экономия может трансформировать текущее потребление в будущее потребление . Касательная линия в точке E есть точка максимизации потребления . Наклон двух кривых безразличия выше и ниже точки равновесия Е соответствует минусу (1 + r), где r – реальный уровень процента (т.е. учитывающий степень инфляции) или доход, используемый на потребление товаров завтра как жертва сегодняшнего текущего потребления.
Выделяют следующие виды процентных ставок.
Номинальная процентная ставка (r н) – это текущая ставка процента без учета темпов инфляции.
Реальная процентная ставка (r р) – это номинальная ставка процента за вычетом ожидаемых (предполагаемых) темпов инфляции (π). То есть:
r Р = r Н – π
Диапазон процентных ставок и их величина зависит от: срочности, размера ссуды, риска, налогообложения, ограничения конкуренции на рынке и многих других факторов.
Проценты в математике. Задачи на проценты.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Проценты в математике.
Что такое проценты в математике ? Как решать задачи на проценты ? Эти вопросы всплывают, увы, внезапно… Когда выпускник читает задание ЕГЭ. И ставят его в тупик. А зря. Это очень простые понятия.
Единственно, что нужно запомнить железно – что такое один процент . Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.
Один процент – это одна сотая часть какого-то числа . И всё. Нет больше никаких мудростей.
Резонный вопрос – а сотая часть какого числа ? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. И так далее. Понятно, что само число, о котором идёт речь, составляет всегда 100%. А если нет самого числа, то и проценты смысла не имеют…
Другое дело, что в сложных задачах само число так запрячут, что и не найдёшь. Но мы на сложное пока не замахиваемся. Разбираемся с процентами в математике .
Я не зря акцентирую слова один процент, одна сотая . Запомнив, что такое один процент , вы легко найдёте и два процента, и тридцать четыре, и семнадцать, и сто двадцать шесть! Сколько надо, столько и найдёте.
А это, между прочим, основное умение для решения задач на проценты.
Попробуем?
Давайте найдём 3% от 400. Сначала найдём один процент . Это будет одна сотая, т.е. 400/100 = 4. Один процент – это 4. А нам сколько процентов надо? Три. Вот и умножаем 4 на три. Получим 12. Всё. Три процента от 400 – это 12.
5% от 20 это будет 20 поделить на 100 (одна сотая – 1%), и умножить на пять (5%):
5% от 20 это будет 1. Всё.
Проще некуда. Давайте-ка быстро, пока не забылось, потренируемся!
Найдите, сколько будет:
5% от 200 рублей.
8% от 350 километров.
120% от 10 литров.
15% от 60 градусов.
4% отличников от 25 учащихся.
10% двоечников из 20 человек.
Ответы (в полном беспорядке): 9, 10, 2, 1, 28, 12.
Эти числа – количество рублей, градусов, учеников и т.д. Я не написал, сколько чего, чтобы решать интересней было…
А если нам нужно записать х% от какого-то числа, например, от 50? Да всё то же самое. Один процент от 50 – это сколько? Правильно, 50/100 = 0,5. А у нас этих процентов – х . Ну и умножим 0,5 на х ! Получим, что х% от 50 это – 0,5х.
Надеюсь, что такое проценты в математике вы уяснили. И легко сможете найти любое количество процентов от любого числа. Это просто. Вам сейчас по силам примерно 60% от всех задач на проценты! Уже больше половины. Ну что, добиваем оставшееся? Ладно, как скажете!
В задачах на проценты частенько встречаются обратная ситуация. Нам дают величины (какие угодно), а надо найти проценты . Освоим и этот нехитрый процесс.
3 человека из 120 – это сколько процентов? Не знаете? Ну, тогда, пусть это будет х процентов.
Вычислим х% от 120 человек. В человеках. Это мы умеем. 120 делим на 100 (вычисляем 1%) и умножаем на х (вычисляем х% ). Получаем 1,2х .
Осмыслим результат.
х процентов от 120 человек, это 1,2х человек . А таких человек у нас три. Остаётся приравнять:
Вспоминаем, что за икс мы брали количество процентов. Значит 3 человека от 120 человек – это 2,5%.
Вот и всё.
Можно и по-другому. Обойтись простой смекалкой, безо всяких уравнений. Соображаем, во сколько раз 3 человека меньше 120? Делим 120 на 3 и получаем 40. Значит, 3 меньше 120 в 40 раз.
Искомое количество людей в процентах будет во столько же раз меньше 100%. Ведь 120 человек – это и есть 100%. Делим 100 на 40, 100/40 = 2,5
Вот и всё. Получили 2,5%.
Есть ещё способ пропорций, но это, в сущности, то же самое в сокращенном варианте. Все эти способы – правильные. Как вам удобнее, привычнее, понятнее – так и считайте.
Опять тренируемся.
Посчитайте, сколько процентов составляют:
3 человека из 12.
10 рублей от 800.
4 учебника из 160 книг.
24 правильных ответа на 32 вопроса.
2 угаданных ответа на 32 вопроса.
9 попаданий из 10 выстрелов.
Ответы (в беспорядке): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.
В процессе вычислений вы вполне можете столкнуться с дробями. В том числе и неудобными, типа 1,333333… А кто вам велел калькулятором пользоваться? Сами? Не надо. Считайте без калькулятора , как написано в теме «Дроби». Проценты всякие бывают…
Вот мы и освоили переход от величин к процентам и обратно. Можно браться за задачки.
Задачи на проценты.
В ЕГЭ задачи на проценты очень популярны. От самых простых до сложных. В этом разделе мы работаем с простыми задачами. В простых задачах, как правило, нужно перейти от процентов к тем величинам, о которых идёт речь в задаче. К рублям, килограммам, секундам, метрам, и так далее. Или наоборот. Это мы уже умеем. После этого задача становится понятной и легко решается. Не верите? Смотрите сами.
Пусть у нас есть такая задачка.
«Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?»
Как решать? Если мы узнаем, сколько 25% в рублях – то и решать-то нечего. Отнимем скидку от исходной цены – и все дела!
Но мы уже умеем это узнавать! Сколько будет один процент от 14 рублей? Одна сотая часть. То есть 14/100 = 0,14 рубля. А таких процентов у нас 25. Вот и умножим 0,14 рубля на 25. Получим 3,5 рублей. Вот и всё. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:
14 – 3,5 = 10,5.
Десять с половиной рублей. Это ответ.
Как только от процентов перешли к рублям, всё стало просто и понятно. Это общий подход к решению задач на проценты.
Понятное дело, не все задачи одинаково элементарны. Есть и посложнее. Подумаешь! Мы и их сейчас порешаем. Сложность в том, что всё наоборот. Нам даны какие-то величины, а найти надо проценты. Например, такая задача:
«Раньше Вася решал правильно две задачи на проценты из двадцати. После изучения темы на одном полезном сайте, Вася стал решать правильно 16 задач из 20. На сколько процентов поумнел Вася? За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач.»
Раз вопрос про проценты (а не рубли, килограммы, секунды и т.д.), то и переходим к процентам. Узнаем, сколько процентов Вася решал до поумнения, сколько процентов после – и дело в шляпе!
Считаем. Две задачки из 20 – это сколько процентов? 2 меньше 20 в 10 раз, правильно? Значит, количество задачек в процентах будет в 10 раз меньше, чем 100%. То есть 100/10 = 10.
10%. Да, немного решал Вася… На ЕГЭ делать нечего. Но вот он поумнел, и решает 16 задач из 20. Считаем, сколько это будет процентов? Во сколько раз 16 меньше 20? Навскидку и не скажешь… Придётся делить.
В 5/4 раза. Ну а теперь делим 100 на 5/4:
Вот. 80% это уже солидно. А главное – не предел!
Но это ещё не ответ! Читаем задачу снова, чтобы не ошибиться на ровном месте. Да, нас спрашивают, на сколько процентов поумнел Вася? Ну, это просто. 80% - 10% = 70%. На 70%.
70% - это правильный ответ.
Как видите, в простых задачках достаточно перевести заданные величины в проценты, или заданные проценты – в величины, как всё и проясняется. Ясное дело, что в задачке вполне могут быть и дополнительные навороты. Которые, часто, к процентам отношения и не имеют вовсе. Тут, главное, внимательно условие читать и по шагам, не спеша, разворачивать задачку. Об этом мы в следующей теме поговорим.
Но есть в задачах на проценты одна серьёзная засада! Многие в неё попадают, да… Выглядит эта засада вполне невинно. Например, вот такая задачка.
«Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?»
Ну, как? Элементарно?
Если вы стремительно и радостно дали ответ «40 рублей!», то вы попали в засаду…
Фокус в том, что проценты всегда считаются от чего-то .
Вот и считаем. На сколько рублей продавец взвинтил цену? 25% от 40 рублей - это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей. Это понятно, да?
А теперь нам надо сбросить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.
Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50! ) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:
45 – 6,75 = 38,25 рубля.
Как видите, засада заключается в том, что проценты считаются каждый раз от новой цены. От последней. Так бывает практически всегда. Если в задаче на последовательное повышение-понижение величины открытым текстом не сказано, от чего считать проценты, надо считать их от последнего значения. И то, правда. Продавец откуда знает, сколько раз эта тетрадка дорожала-дешевела до него и сколько она стоила в самом начале…
Кстати, теперь вы можете подумать, зачем в задачке про умного Васю написана последняя фраза? Вот эта: «За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач»? Вроде и так всё ясно… Э-э-э… Как сказать. Если этой фразы не будет, Вася вполне может посчитать за 100% свои начальные успехи. То есть две решённые задачки. А 16 задач – в восемь раз больше. Т.е. 800% ! Вася сможет вполне оправданно говорить о собственном поумнении аж на 700%!
А ещё можно и 16 задач взять за 100%. И получить новый ответ. Тоже правильный…
Отсюда вывод: самое главное в задачах на проценты – чётко определить, от чего надо считать тот или иной процент.
Это, кстати, и в жизни надо. Там, где проценты используются. В магазинах, банках, на акциях всяких. А то ждёшь 70% скидки, а получаешь 7%. И не скидки, а удорожания… И всё честно, сам просчитался.
Ну вот, представление о процентах в математике вы получили. Отметим самое важное.
Практические советы:
1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу !
2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!
3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!
Решите несколько задач на проценты. Для закрепления, так сказать. В этих задачках я постарался собрать все главные трудности, которые поджидают решающих. Те грабли, на которые чаще всего наступают. Вот они:
1. Элементарная логика при анализе простых задачек.
2. Правильный выбор величины, от которой нужно считать проценты. Сколько народу споткнулось на этом! А ведь есть оч-ч-чень простое правило...
3. Проценты от процентов. Мелочь, а смущает здорово...
4. И ещё одни вилы. Связь процентов с дробями и частями. Перевод их друг в друга.
«В олимпиаде по математике принимали участие 50 человек. 68% учеников решили мало задач. 75% оставшихся решили средне, а остальные – много задач. Сколько человек решило много задач?»
Подсказка. Если у вас получаются дробные ученики – это неправильно. Читайте внимательно задачу, есть там одно важное слово… Ещё задачка:
«Вася (да-да, тот самый!) очень любит пончики с повидлом. Которые пекут в булочной, через одну остановку от дома. Стоят пончики по 15 рублей за штуку. Имея в наличии 43 рубля, Вася поехал в булочную на автобусе за 13 рублей. А в булочной шла акция «Скидка на всё – 30%!!!». Вопрос: сколько дополнительных пончиков не смог купить Вася из-за своей лени (мог бы и пешком прогуляться, правда?)»
Короткие задачки.
На сколько процентов 4 меньше 5?
На сколько процентов 5 больше 4?
Длинная задача...
Коля устраивался на несложную работу, связанную с расчётом процентов. При собеседовании начальник с хитрой улыбкой предложил Коле два варианта оплаты труда. По первому варианту Коле сразу назначалась ставка 15000 руб в месяц. По второму Коле, если он согласится, первые 2 месяца будут выплачивать пониженную на 50% зарплату. Типа, как новичку. Зато потом увеличат его пониженную зарплату аж на 80%!
Коля посещал один полезный сайт в Интернете... Поэтому, подумав шесть секунд, с лёгкой улыбкой выбрал первый вариант. Начальник улыбнулся в ответ и установил Коле постоянную зарплату в 17000 руб.
Вопрос: Сколько денег в расчёте за год (в тысячах рублей) Коля выиграл на этом собеседовании? Если сравнивать с самым неудачным вариантом? И ещё: что они всё время улыбались-то!?)
Опять короткая задачка.
Найти 20% от 50%.
И снова длинная.)
Скорый поезд №205 "Красноярск - Анапа" сделал остановку на станции "Сызрань-город". Василий и Кирилл пошли в привокзальный магазинчик за мороженым для Лены и гамбургером для себя. Когда они купили всё необходимое, уборщица магазина сообщила, что их поезд уже поехал... Василий и Кирилл быстро-быстро побежали и успели заскочить в вагон. Вопрос: успел бы в этих условиях заскочить в вагон чемпион мира по бегу?
Считаем, что в обычных условиях чемпион мира бежит на 30% быстрее Василия и Кирилла. Однако, стремление догнать вагон (он был последний), угостить Лену мороженым и съесть гамбургер, увеличило их скорость на 20%. А мороженое с гамбургером в руках чемпиона и шлёпанцы на ногах уменьшили бы его скорость на 10%...
А вот задачка без процентов... Интересно, зачем она здесь?)
Определить, сколько весит 3/4 яблока, если всё яблоко весит 200 граммов?
И последняя.
В скором поезде №205 "Красноярск - Анапа" попутчики разгадывали сканворд. Лена отгадала 2/5 всех слов, а Василий отгадал одну треть оставшихся. Затем подключился Кирилл и разгадал 30% всего сканворда! Серёжа отгадал последние 5 слов. Сколько всего слов было в сканворде? Верно ли, что Лена отгадала больше всех слов?
Ответы в традиционном беспорядке и без наименований единиц. Где пончики, где ученики, где рубли с процентами – это вы уж сами…
10; 50; да; 4; 20; нет; 54; 2; 25; 150.
Ну и как? Если всё сошлось - поздравляю! Проценты - не ваша проблема. Можно смело идти работать в банк.)
Что-то не так? Не получается? Не умеете быстро считать проценты от числа? Не знаете очень простых и понятных правил? От чего считать проценты, например? Или, как перевести дроби в проценты?
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Percent, 百分比
У слова процент латинские истоки - "pro centum" означает сотая доля.
На английском языке процент - percent, на американском английском языке иногда - per cent.
Как экономическое понятие в значении прибыль выгода, преимущество слово стало использоваться во второй половине 19 века. Финансовое определение процента - плата, которую одно лицо (заемщик) передает другому лицу (кредитору) за то, что последний предоставляет первому во временное пользование денежные средства.
Обозначение процента как % связано с следующей историей. В 1685 году в Париже была издана книга "Руководство по коммерческой арифметике" В одном месте речь шла о процентах которые тогда обозначали "cto" - сокращенно от cento Однако наборщик принял это "cto" за дробь и напечатал "%".
В современной финансовой лексике процент определяется как плата за использование заемных средств, как цена рентных доходов. Когда финансисты говорят о проценте, то они имеют в виду доходность к погашению, то есть такую ставку в коэффициенте дисконтирования , которая выравнивает дисконтированную (приведенную) цену будущих результатов инвестиции с ее настоящей ценой .
Бизнес лексика - работать за проценты означает работать за вознаграждение, исчисляемое в зависимости от прибыли или оборота. В этом плане процент выступает как комиссионные, которые характеризуют, прежде всего, работу брокера .
В практике финансовых расчетов есть немало нюансов, связанных с использование процентов. Например, 200% от 500 рублей - это 1000 рублей. Но если сумма равная 500 рублей выросла на 200%, то она будет равна 1500 рублей, то есть вырастет в 3 раза. Если доллар по отношению к рублю вырастет на 20 процентов, то рубль упадет по отношению к доллару не на 20%, а на 1: 1,2 = 0, 833, то есть на 16,7%.
Базовый пункт - одна сотая процента . Если индексы упали на 12 пунктов (на английском языке на 12 bps - basis points), это означает, что они упали на 0,01*12 = 0,12%
Китайское толкование слова "Процент"
Процент по-китайски обозначается разными словами в зависимости от того используется ли он в математическом или в экономическом смысле.
В чистом виде "процент" это 百分比 (байфэньби), что дословно переводится как "отношение к ста частям". Так, например 10% будут звучать как "десять сотых". То есть, в китайском проценте обязательно есть упоминание о "ста" и нет никаких посторонних заимствованных или древних слов
, а только чистая математика.
Процентное выражение в Китае используется очень в выражения "за минувший год страна стала вырабатывать на 9% больше электроэнергии". Причем, может использоваться как знак процента "%", так и дословное написание выражения "девять сотых".
В экономическом смысле процента - это "прибыль, выгода". Соответственно используется слово 利率 (лилю). Первый иероглиф - "прибыль", второй - "коэффициент", то есть "коэффициент прибыли ". Само слово может переводится как "процентная ставка, процент, процентное отношение (к капиталу), норма прибыли".
Можно увидеть, что в китайском языке слово "процент" полностью отражает свое содержание внутренними средствами языка без привлечения отдельного слова . Это, несомненно, оказывает влияние на степень его использования в экономической жизни.
Категория:
Связанные понятия:
комиссионные, погашение, прибыль,
commission, profit, redemption