В данной статье вы прочитаете, как научиться правильно считать на русских счетах. Вероятно, многие молодые люди ни разу не видели живьем такой арифметический инструмент, как счеты. А кто и видел, скорее всего, не знает, что с помощью этого инструмента можно научиться быстро складывать, вычитать и даже умножать и делить достаточно большие числа. Конечно, сегодня это не так актуально. Но в рамках раздела, посвященного , думаю, многим будет интересно прочитать о таком популярном приспособлении, облегчающем устный счет, но не исключающим его полностью.
Описание
В исходном положении в «обнуленных» счетах все костяшки выровнены по правому краю (как показано на рисунке). Каждый ряд костяшек представляет собой разряд числа, единицы находятся над четырьмя костяшками. Выше единиц – десятки, сотни и т.д., ниже – четверти, десятые и сотые. С таким раскладом удобно считать деньги, где в ходу есть четвертаки (например, 25 копеек). Черным цветом выделены центральные костяшки (для удобства).
Набор числа. Если мы хотим установить какое-нибудь число на счетах (для совершения с ним в дальнейшем арифметических действий), то необходимо просто передвинуть нужные костяшки налево. Например, для набора числа «3 251,5» передвигаем 2 четвертака (или 5 десятых), 1 единицу, 5 десяток, 2 сотни и 3 тысячи.
Но набор числа, это только начало. По-настоящему пользоваться деревянными счетами, значит совершать арифметические операции.
Сложение
Чтобы сложить на счетах два числа, нужно просто набрать костяшками одно число, а затем перенести налево каждый разряд второго числа, начиная с нижних рядов (именно с нижних!). Если вдруг выясняется, что костяшек в каком-то ряду не хватает, то в этом ряду нужно оставить столько костяшек, сколько не хватает, а на уровне выше перекинуть влево еще 1 костяшку. Чтобы лучше разобраться, как правильно складывать числа на счетах, смотрите пример ниже (987 + 134 = 1 121):
Вычитание
Вычитание на счетах производится точно таким же образом как сложение, сверху вниз. Только если костяшек в ряду не хватает, в этом ряду нужно оставить (10-x) костяшек, где x-число нехвативших костяшек, а в ряду выше нужно убрать одну костяшку (сдвинуть ее вправо). Ниже смотрите пример, как правильно считать разность на русских счетах (121 – 98 = 23):
Умножение
Умножение на счетах является не самым быстрым и простым. В некоторых случаях, гораздо проще воспользоваться навыками . Однако в рамках данной статьи приведены некоторые методики умножения на деревянных счетах. Для того, чтобы умножить число на 2 или на 3, нужно просто сложить данное число с собой (при умножении на 2), и повторить эту процедуру при умножении на 3. Умножение на 4 производится как умножение на 2 с последующим умножением на 2 полученного результата. Что касается умножения на 5, как вы можете убедиться из , оно равносильно делению на 2 и последующему умножению на 10. В этом случае, после деления на 2 вы просто переносите разряды (костяшки) на уровень выше. Умножение на большие числа осуществляется при помощи комбинации описанных методов.
Деление
Деление на русских счетах является достаточно сложной процедурой. Использовать для этого счеты иногда просто иррационально. Если пример удобный, допустим, необходимо разделить 280 на 2, тогда действительно, нужно просто из каждого ряда отодвинуть направо половину костяшек и тогда получится 140. Но иные примеры в большинстве своем требуют сложных алгоритмов и хорошего .
Учебный проект
Русские счёты
Руководитель: Плотникова Е.А.
Школа-интернат №15 ОАО «РЖД» г. Челябинска
В современном мире практически каждый день появляются новые гаджеты, приборы облегчающие жизнь и деятельность человека. Одним из таких приборов, прочно вошедших в жизнь человека ещё до нашего появления на свет, стал микрокалькулятор. О возможностях калькулятора знает каждый школьник и свободно с ним управляется. Калькулятор способен мгновенно произвести любые арифметические действия.
Возникает естественный вопрос: А какой прибор использовали до появления калькулятора? Как и когда он появился? Может ли он быть использован нами для выполнения различных вычислений? Интересно, а с пособствует ли он формированию навыка устных вычислений?
Ведь всем известно, что несмотря на скорость, точность и иные достоинства, калькулятор/компьютер разрушают навык устного счета.
У нас возник вопрос: действительно ли, русские счёты являются предшественниками микрокалькулятора в России и какова сфера их применения?
Приступая к работе над проектом, мы сформулировали цели и задачи предстоящей работы.
Цель исследования:
изучить историю появления, совершенствования русских счётов,
показать значимость их применения для упрощения вычислений,
научиться выполнять вычисления на счётах,
найти возможности для применения русских счётов в обучении математике
Задачи исследования:
исследовать, применяют ли школьники приемы быстрого счета;
изучение источников, в которых встречаются приёмы вычислений на русских счётах;
систематизировать изученный материал, выбрать самые интересные и доступные приемы вычислений на счётах;
изучить возможности русских счётов для формирования у школьников десятичного состава числа, его разрядов, для формирования вычислительных навыков.
Для начала мы изучили историю счёта и приборов для счёта.
Как вы думаете что люди использовали на заре человечества при необходимости считать предметы?
Самым первым прибором для счёта были пальцы, камешки, узелки на верёвках, зарубки на костях и палочках.
Затем, примерно в четвёртом веке до нашей эры учёный Абакус придумал первое счётное устройство, состоящее из глиняной пластинки с желобами, в которых раскладывались камни, представляющие числа. Один желобок изображал единицы, другой – десятки. Этот прибор назвали в честь его создателя – АБАК.
В средние века это устройство крестоносцы привезли из Азии в Европу, и учёные стали применять его для простейших математических операций. Вскоре с появлением бухгалтерской науки стало неудобным и несолидным носить глиняные пластинки и для счёта стали использовать разлинованные таблицы.
В странах Востока распространены аналог абака - и японский - . Конструкции принципиально аналогичны, используют десятичную систему счисления, хотя японский вариант несколько экономичнее (в китайском, как и в русских счётах, используются «лишние» с точки зрения математики косточки). Для китайского и японского абака существует скрупулёзно разработанный набор алгоритмов, позволяющих механически (то есть не занимаясь дополнительными вычислениями в уме или на бумаге) выполнять все четыре арифметических действия и даже извлекать квадратные и кубические корни.
Японский соробан по сей день активно применяется, несмотря на повсеместное распространение электронных калькуляторов. В Японии использование соробана является элементом школьной программы обучения счёту в младших классах. Также в Японии и странах, имеющих значительную японскую диаспору, счёт на соробане популярен как вид развлечения или своеобразный спорт.
Долгое время считалось, что русские счеты ведут свое происхождение от китайского суаньпаня, и лишь в начале 50-х годов ленинградский ученый И.Г. Спасский убедительно показал оригинальное русское происхождение этого счетного прибора - у него, во-первых , горизонтальное расположение спиц с косточками и, во-вторых , для представления чисел использована десятичная (а не пятеричная) система счисления.
Десятичный строй счетов - довольно веское основание для того, чтобы признать временем возникновения этого прибора XVI век, когда десятичный принцип счисления был впервые применен в денежном деле России.
В 30-е годы XVI века московское правительство, возглавляемое Еленой Глинской, матерью малолетнего Ивана Грозного, провело денежную реформу, объединив московскую и новгородскую денежные системы. Московская деньга, составлявшая в то время 1/200 московского рубля, и ее половина - полушка - стали половиной и четвертью новой основной монетной единицы, которая получила название «копейки». Благодаря введению копейки рубль стал делиться на 100 основных единиц.
Счеты являются первым простейшим приспособлением для вычислений счета. Они прошли длительный путь эволюции, в котором можно выделить четыре стадии.
Русские счеты широко использовались при начальном обучении арифметике в качестве учебного пособия. Благодаря известному французскому математику Ж. Пон-селе, который познакомился со счетами, будучи военнопленным офицером наполеоновской армии в Саратове, аналогичный прибор под названием булье появился во французских школах, а затем и в некоторых других странах Европы.
Между тем Запад почти не знает счетов - вы не найдете их ни в одном магазине Европы, и только в начальных школах имеются огромные счеты - наглядное классное пособие при обучении нумерации.
Правда, на русских счетах нельзя производить всех тех действий, которые выполняются машинами. Нынешние счетные машины, конечно, оставляют далеко позади наши счеты. Но во многом - например, в сложении и вычитании - счеты могут соперничать со сложными приборами. Впрочем, в искусных руках умножение и деление также значительно ускоряются на счетах, если знать приемы выполнения этих действий.
Познакомимся с некоторыми из них.
Сами счеты появились в глубокой древности. И с тех пор принципиально не изменились. Только называются везде по-разному. Международное название "Абак". В Китае "суаньпань", в Японии "соробан", а в России русские счеты. Между собой они отличаются только количеством спиц и косточек на них. Сам же принцип работы одинаков.
Русские счеты, аналог римских, появились в начале XVI столетия. Их использовали и в коммерции, и в школе для обучения арифметике. Но в 60-х годах XX века русские счеты, из системы школьного образования исключили. Как устаревший метод.
Хорошо забытая старая система счета, как новая заработала в 1993 году в Азии. А сегодня более 5 тысяч таких школ по всему миру. Исключая Россию.
Выводы:
Навыки устного счета необходимы каждому человеку.
Приёмы «быстрого» устного счёта применяют 12% учащихся 5 – 9 классов нашей школы (по данным нашего опроса)
Мы овладели приёмами сложения и вычитания многозначных чисел на счётах, при этом автоматически улучшили навыки устных вычислений.
Преимущества счётов для формирования вычислительных навыков (против счётных палочек):
Дешевизна,
Надёжность: уронишь не сломаются,
В отличие от счётных палочек, не теряются косточки, т.к. нанизаны на спицы
Простота.
Безопасность в виде отсутствия электромагнитных излучений и поражений током.
В изуализация приёмов вычислений.
Развитие памяти.
Энциклопедичный YouTube
1 / 2
Ментальная арифметика: Урок 1 "Знакомство с абакусом, прямой счет"
Делаем абакус сами! Счеты для ментальной арифметики своими руками!
Субтитры
История
Первое известное упоминание счётов встречается в «Переписной книге домовой казны патриарха Никона», составленной в 1658 году , где они называются «счоты» .
Система счисления и система кодирования
В русских счётах применяется позиционная десятичная система счисления с непозиционным унарным кодированием внутри каждого разряда.
Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд , который вверх от спицы с четырьмя костяшками возрастает от единиц до сотен тысяч, а вниз - уменьшается от десятых до тысячных. Максимальное значение для каждого ряда - десять, умноженное на вес разряда (для разряда единиц максимальное значение - 10, если все костяшки отложены влево, для десятков - 100 и так далее). «Набор» числа осуществляется сдвиганием костяшек из правого края прута в левый.
Прут, на котором находятся всего 4 костяшки, использовался для расчётов в полушках . Одна полушка равнялась половине одной деньги , то есть четверти копейки . Соответственно, четыре костяшки составляли одну копейку . Также этот прут использовался для перевода фунтов в пуды (1 пуд = 40 фунтов). Также этот прут может служить разделителем целой и дробной частей набранного на счётах числа и в вычислениях не использоваться.
Таким образом, максимальное число, которое можно набрать на счётах с семью рядами целых чисел, составляет 11 ′ 111 ′ 111 , 110 {\displaystyle 11"111"111,110} .
После добавления к девяти костяшкам одного разряда десятой костяшки производится операция записи единицы переноса в следующий разряд, состоящая из трёх действий:
- сдвигом влево одной костяшки к девяти костяшкам добавляется десятая костяшка;
- сдвигом вправо всех десяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;
- сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса.
Выполнением этого правила исключается любое неоднозначное представление чисел. С точки зрения теории систем счисления , для действий в показательной единично кодированной десятичной позиционной системе счисления достаточно девяти костяшек, о чём пишет и Я. И. Перельман , при этом операция записи единицы переноса производилась бы за два действия вместо трёх действий:
- сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса;
- сдвигом вправо девяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;
но для удобства счета (в частности, чтобы удобно получать дополнение до 10, необходимое для переноса разряда при вычитании) в русских счётах было выбрано число костяшек равное десяти, что формально соответствует единичнокодированной 11-ричной системе счисления [ ] .
Правила счёта
Общие замечания
С помощью счётов, в пределах их разрядности, можно выполнять все базовые арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление . Однако на практике удобно и быстро можно только складывать и вычитать: операция умножения на произвольное число достаточно сложна, а деление в общем виде, скорее всего, займёт больше времени, чем выполнение той же операции на бумаге - с помощью «деления столбиком ». Впрочем, есть достаточно большое количество специальных случаев , когда счёты вполне применимы для умножения и деления.
Кроме того, нужно учитывать следующие моменты:
- Счёты в принципе не предназначены для манипуляций с отрицательными числами. Поэтому любые операции должны приводиться к положительным числам, а знак, если это необходимо, должен просто учитываться отдельно.
- В операциях умножения и деления достаточно неудобно учитывать положение десятичного разделителя для обоих операндов . Вследствие этого при выполнении умножения и деления десятичных дробей либо только второй, либо оба операнда приводятся к целому числу, то есть десятичный разделитель в них просто игнорируется. После выполнения операции положение десятичного разделителя восстанавливается вручную.
«Набор» числа
Представление чисел на счётах и порядок набора описан выше. Необходимо лишь отметить, что правило расположения разрядов числа на проволоках (то есть помещение единичного разряда непременно перед проволокой с четырьмя косточками) в практических расчётах часто бывает необязательно соблюдать. Более того, в процессе расчётов бывает удобно иногда вместо перенабора числа просто мысленно перенести разделитель целой и дробной части на другое место.
В некоторых руководствах по вычислениям на счётах рекомендуется следующее «усовершенствование»: просверлить в раме счётов слева ряд небольших отверстий, расположенных напротив промежутков между проволоками. При расчётах какой-либо предмет - например, гвоздь или разогнутая скрепка - помещается в отверстие, находящееся напротив промежутка, в данный момент разделяющего единицы и десятые доли. Таким образом в любой момент положение десятичного разделителя явно отмечено и может быть легко изменено.
Сложение
Согласно одному из возможных способов, сложение на счётах выполняется «снизу вверх» (от младших разрядов к старшим). На счётах «набирается» первое слагаемое, после чего поразрядно, от младшего разряда к старшему, производятся следующие действия:
- влево столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде второго слагаемого.
- Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, то на проволоке слева оставляется столько косточек, сколько не хватило, а на следующей (находящейся выше) проволоке перебрасывается влево одна косточка.
- Если в результате действия (как первого, так и второго, и данного) слева на проволоке оказалось 10 косточек, то все косточки на этой проволоке перебрасываются вправо, а на следующей (находящейся выше) проволоке дополнительно перебрасывается влево одна косточка.
После того, как будут выполнены действия со всеми разрядами, «набранное» на счётах число и будет результатом сложения.
Есть и другой способ: сложение от старших разрядов к младшим - см. анимацию.
Вычитание
Вычитание на счётах выполняется «сверху вниз», то есть от старших разрядов к младшим. В силу неприспособленности счётов для работы с отрицательными числами всегда нужно из большего положительного числа вычитать меньшее положительное число. Если требуется вычесть из меньшего большее, числа следует поменять местами и оставить знак «в уме».
На счётах «набирается» уменьшаемое, после чего поразрядно, от старшего разряда к младшему, производятся следующие действия:
- На проволоке, соответствующей разряду, перебрасывается вправо столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде вычитаемого.
- Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, производится перенос разряда: слева оставляется (10 - n) косточек, где n - «недостающее» число косточек (чтобы не делать второе вычитание в уме, можно весь десяток косточек на данной проволоке перенести влево, после чего отбросить недостающее число косточек), а на находящейся выше проволоке отбрасывается вправо одна косточка
- Если при переносе на проволоке, соответствующей старшему разряду, не хватает косточек, то выполняется перенос в следующий (ещё более старший) разряд и так до тех пор, пока на одной из проволок не окажется достаточного количества косточек. Так, например, при вычитании (1001 - 3) сначала на проволоке младшего разряда будет оставлено 8 косточек и потребуется перенос во второй разряд, затем - в третий, и только после этого на проволоке четвёртого разряда окажется достаточно косточек, чтобы завершить операцию.
Умножение
Умножение на однозначное число в общем случае может быть заменено на сложение множимого с самим собой соответствующее количество раз. Целые многозначные числа перемножаются поразрядно, аналогично «умножению в столбик»:
- В качестве множимого выбирается то из двух чисел, которое содержит больше ненулевых цифр.
- Множимое прибавляется к самому себе столько раз, сколько единиц в младшем (первом) разряде множителя.
- Для каждого следующего разряда множителя множимое прибавляется к уже имеющемуся на счётах числу соответствующее количество раз, но со сдвигом на один разряд вверх. То есть для разряда десятков сложение производится со сдвигом на один разряд, сотен - на два и так далее.
- Если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, то, естественно, никакого сложения не производится, а просто делается сдвиг на одну проволоку вверх и переход к следующему разряду.
- Когда будут произведены прибавления для всех ненулевых разрядов множителя, на счётах будет получен результат умножения. Положение десятичного разделителя при этом нужно учитывать в той позиции, где он был при первых сложениях (то есть сдвиги десятичного разделителя учитываются только в промежуточных операциях).
Если перемножаются нецелые числа, то операция выполняется точно так же (вычисления ведутся с целыми числами, десятичные разделители просто игнорируются). Десятичный разделитель ставится в нужную позицию вручную при записи результата.
Несмотря на громоздкость алгоритма, при выработанном навыке выигрыш времени по сравнению с расчётом на бумаге может быть значительным.
Деление
Деление в общем виде заменяется вычитанием. Общий алгоритм деления целых чисел выглядит следующим образом:
- Делимое набирается на счётах в нижней их части.
- Из старших разрядов делимого выбирается группа такого размера, чтобы составленное ею число было больше делителя, но меньше делителя, умноженного на десять. Десятичный разделитель мысленно переносится за младший разряд этой группы.
- Из набранного числа (с учётом поставленного разделителя) делитель вычитается до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше делителя. При каждом успешном вычитании на верхней проволоке счёт переносится влево одна косточка.
- По завершении вычитания десятичный разделитель мысленно передвигается на одну проволоку вниз. Далее вычитание делителя повторяется для нового уменьшаемого, а результат заносится на следующую (вторую, далее - третью и т. д.) проволоку.
- Предыдущий пункт повторяется до тех пор, пока не закончится набранное на счётах число, либо пока не будет получено нужное число цифр результата.
- На верхних проволоках по завершении всех операций будет набран результат деления. Положение десятичного разделителя при этом - такое же, как было у делимого.
Если делимое кратно делителю, то операция завершится по достижении младшего десятичного разряда делимого и все косточки, кроме тех, на которых накоплен результат, будут справа. Если же нет, то на счётах останется число, соответствующее остатку от деления. Если необходимо, далее можно получать десятичные знаки дробного результата до тех пор, пока хватает проволок на счётах (когда сдвигать десятичный разделитель вниз станет некуда, можно искусственно перенести накопившийся остаток выше, чтобы продолжить деление; так можно получить до 7-8 цифр результата).
Например, вычисляем 715/31:
Как и в случае с умножением, при делении десятичных дробей аргументы заменяются на целые числа и вычисления выполняются в точно таком же порядке, а десятичный разделитель в результате переносится на нужное место вручную.
Упрощённые приёмы умножения и деления
Произвольное умножение и в особенности деление на счётах не слишком удобно. Однако существует ряд частных случаев, когда эти операции выполняются намного проще:
- Умножение и деление на 10 заменяется переносом числа на разряд вверх или вниз. При этом фактически переносить запись нет никакой необходимости - достаточно мысленно переместить разделитель целой и дробной части числа на одну проволоку, соответственно, вниз или вверх. В руководствах по вычислению на счётах рекомендовалось во время ведения вычислений удерживать палец левой руки на раме счётов напротив промежутка между проволоками, соответствующими единицам и десятым, либо отмечать текущее положение десятичного разделителя каким-нибудь подручным средством (кнопка, гвоздик, вставляемый в специально проделанные в раме счётов отверстия и т. п.).
- Умножение на 2 заменяется сложением числа с самим собой: 39 ∗ 2 = 39 + 39 = 78 {\displaystyle 39*2=39+39=78} .
- Умножение на 3 - сложением с самим собой два раза: 39 ∗ 3 = 39 + 39 + 39 = 117 {\displaystyle 39*3=39+39+39=117} .
- Умножение на 4 - двукратным удвоением: 18 ∗ 4 = (18 + 18) ∗ 2 = 36 + 36 = 72 {\displaystyle 18*4=(18+18)*2=36+36=72} .
- Умножение на 5 - умножением на 10 и делением на 2: 26 ∗ 5 = 26 ∗ 10 2 = 260 / 2 = 130 {\displaystyle 26*5={\tfrac {26*10}{2}}=260/2=130} .
- Умножение на 6 - умножением на 5 и прибавлением исходного числа: 26 ∗ 6 = 26 ∗ 5 + 26 = 26 ∗ 10 2 + 26 = 130 + 26 = 156 {\displaystyle 26*6=26*5+26={\tfrac {26*10}{2}}+26=130+26=156} .
- Умножение на 7 - троекратным удвоением и вычитанием исходного числа: 13 ∗ 7 = 26 ∗ 2 ∗ 2 − 13 = 52 ∗ 2 − 13 = 104 − 13 = 91 {\displaystyle 13*7=26*2*2-13=52*2-13=104-13=91} .
- Умножение на 8 - троекратным удвоением: 13 ∗ 8 = 13 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 26 ∗ 2 ∗ 2 = 52 ∗ 2 = 104 {\displaystyle 13*8=13*2*2*2=26*2*2=52*2=104}
- Умножение на 9 - умножением на 10 и вычитанием исходного числа: 23 ∗ 9 = 23 ∗ 10 − 23 = 230 − 23 = 207 {\displaystyle 23*9=23*10-23=230-23=207} .
- Деление на 2 производится от младших разрядов к старшим. На каждой проволоке отбрасывается половина имеющихся косточек. Если на проволоке нечётное количество косточек, то «лишняя» косточка тоже отбрасывается, а на проволоке ниже (в младшем разряде) переносится влево ещё пять косточек. Например, при делении 57 на 2 в разряде единиц имеется нечётное число, поэтому будут отброшены 4 косточки (останется 3), а в разряде десятых долей прибавятся 5, затем в разряде десятков из пяти косточек отбросятся три - останутся две, а в единичный разряд дополнительно прибавится 5 - станет 8. Таким образом, правильный ответ: 28 , 5 {\displaystyle 28,5} .
- Деление на 3 заменяется умножением исходного числа на 3 и последовательным сложением результата с самим собой со сдвигом вниз столько раз, сколько нужно разрядов в результате. При сдвиге «за пределы счётов» прибавляемое число округляется. Результат сложения нужно разделить на 10. (Используется тот факт, что x / 3 = 0.3 (3) ⋅ x = 3.3 (3) ⋅ x 10 {\displaystyle x/3={0.3(3)}\cdot {x}={\tfrac {3.3(3)\cdot x}{10}}} ).
- Деление на 4 - двукратным делением на 2.
- Деление на 5 - делением на 10 и умножением на 2.
- Деление на 6 - последовательным делением на 2 и на 3.
- Деление на 7 выполняется по общему алгоритму (поразрядное вычитание семёрки).
- Деление на 8 заменяется трёхкратным делением на 2.
- Деление на 9 выполняется сложением числа с самим собой с последовательным поразрядным сдвигом вниз столько раз, сколько нужно разрядов в результате. Результат сложения делится на 10. (Используется соотношение x / 9 = 0 , 1 (1) ⋅ x = 1 , 1 (1) ⋅ x 10 {\displaystyle x/9={0,1(1)}\cdot {x}={\tfrac {{1,1(1)}\cdot {x}}{10}}} ).
- Умножение и деление на любую степень двойки производится, соответственно, последовательным удвоением или делением на 2.
- Умножение на двузначное число из двух одинаковых цифр «NN» (11, 22, 33, 44 и т. д.) заменяется умножением и сложением со сдвигом:
- Сначала исходное значение умножается на N любым удобным способом.
- Затем десятичный разделитель переносится на разряд вниз и результат умножения прибавляется сам к себе, но со сдвигом вниз на одну проволоку (прибавлять со сдвигом вниз удобнее, так как сложение производится снизу вверх, и добавляемое число косточек всегда видно на одну проволоку выше - нет необходимости что-то запоминать).
Часто можно с помощью несложных манипуляций привести вычисляемую операцию к комбинации частных случаев умножения и деления. Например, умножение на 25 можно заменить умножением на 100 и двукратным делением на 2. Когда один или оба операнда близки к «удобным» для расчётов числам, можно комбинировать специальные случаи умножения и деления со сложением и вычитанием. Но возможность подобных трюков сильно зависит от уровня подготовки вычислителя. Собственно, искусство вычисления на счётах и заключается в умении свести любое требуемое вычисление к комбинации легко поддающихся счёту элементов. x {\displaystyle x} - это количество синего сукна, а y {\displaystyle y} - чёрного, можно составить следующую систему уравнений :
{ x + y = 138 5 x + 3 y = 540 . {\displaystyle {\begin{cases}x+y=138\\5x+3y=540\,\,.\end{cases}}}
Решив её, получим ответ: y = 75 , x = 63 {\displaystyle y=75,\ x=63} , то есть 75 аршин чёрного сукна и 63 аршина - синего.
Однако подобное решение этой задачи ведет к потере её внутренней логики. Отец мальчика, отставной губернский секретарь Удодов, продемонстрировал другое решение:
И без алгебры решить можно,- говорит Удодов, протягивая руку к счётам и вздыхая. - Вот, извольте видеть…
Он щёлкает на счётах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
- Вот-с… по-нашему, по-неучёному.
Само «неучёное» решение Чеховым в рассказе не приводится, но оно легко может быть реконструировано, поскольку задача имеет стандартное арифметическое решение, опирающееся на логику и состоящее в выполнении шести арифметических действий. Предположим, что всё купленное сукно было синее. Тогда партия в 138 аршин стоила бы 690 рублей ( 5 ⋅ 138 {\displaystyle 5\cdot 138} ). Но это на 150 рублей ( 690 − 540 {\displaystyle 690-540} ) больше того, что было заплачено в действительности. «Перерасход» в 150 рублей указывает на то, что в партии имелось более дешевое, чёрное, сукно - по 3 рубля за аршин. Этого сукна столько, что из двухрублёвой разницы ( 5 − 3 {\displaystyle 5-3} ) получается 150 «лишних» рублей. То есть, 75 аршин ( 150 / 2 {\displaystyle 150/2} ) чёрного сукна. Теперь можем найти количество сукна синего: 63 аршин ( 138 − 75 {\displaystyle 138-75} ).
«Щёлканье на счётах», выполненное Удодовым, выглядело следующим образом.
На вопрос Кто придумал СЧЁТЫ? Когда появились первые? заданный автором Ирина
лучший ответ это Греки и римляне производили вычисления с помощью специальной счетной доски - абака. Доска абака была разделена на полоски. Каждая полоска назначалась для откладывания тех или иных разрядов чисел: в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску - сколько в нем десятков, в третью - сколько сотен, и так далее. На рисунке показано число 510 742. Так как у римлян камешек называли калькулюс (сравните с русским словом "галька"), то счет на абаке получил название калькуляция. И сейчас подсчет расходов называют калькуляцией, а человека, выполняющего этот подсчет - калькулятором. Но после того как два десятка лет тому назад были сделаны маленькие приборы, выполняющие за считанные секунды сложные расчеты, название "калькулятор" перешло к ним.
Один и тот же камешек на абаке мог означать и единицы, и десятки, и сотни, и тысячи - все дело лишь в том, на какой полоске он лежал. Чаще всего абаком пользовались для денежных расчетов. В Древней Греции бытовала шутка: "Придворный похож на камешек для абака: захочет счетчик, цена ему будет целый талант, а захочет - только хальк".
Наши счеты представляют собой также абак, в котором место полосок занимают проволоки для единиц, десятков и т. д. А у китайцев на каждой проволоке не по десять шариков, как в наших счетах, а по семь. Последние два шарика отделены от первых, и каждый из них обозначает пять. Когда при расчетах набирается пять шариков, вместо них откладывают один шарик второго отделения счетов. Такое устройство китайских счетов уменьшает необходимое число шариков.
Абак (от греч. abax - доска) , доска, разделенная на полосы, где передвигались камешки, кости (как в русских счетах) , служившая для арифметических вычислений с древнейших времен до 18 века. Абак служил не столько для облегчения собственно вычислений, сколько для запоминания промежуточных результатов. Известны разновидности абака: собственно абак (греческий или египетский) в виде дощечки, на которой проводили линии или выдалбливали желобки, в которые колонки клали камешки; китайский суан-пан и японский соробан с шариками, нанизанными на прутики. Русский абак - счеты - появились приблизительно в 16 или 17 веке. Они использовали десятичную, а не пятеричную систему счисления, как остальные абаки. Основная заслуга изобретателей абака - создание позиционной системы представления чисел. История развития науки и техники
Счет на абаке сменил более древний счет на пальцах. Древние египтяне полагали, что в загробном миру душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. А в одной из древнегреческих комедий герой говорит, что предпочитает вычислять причитающиеся с него налоги по-старинному, на пальцах. Вероятно, счет на абаке казался ему слишком трудным.
Приверженцы старого метода стали его совершенствовать. Они научились даже умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках. К числу вытянутых пальцев, умноженному на 10, добавлялось полученное произведение.
В дальнейшем пальцевой счет был усовершенствован, и с помощью пальцев научились показывать числа до 10 000. А китайские купцы торговались, взяв друг друга за руки и указывая цену нажатием на определенные суставы пальцев.
Ответ от Наталья Корф
[гуру]
Счеты являются первым простейшим приспособлением для вычислений счета. Они прошли длительный путь эволюции, в котором можно выделить четыре стадии. Первая предваряет их возникновение-это счет с помощью косточек, очень близкий к западноевропейскому счету на линиях. Вторая - “дощаной счет”. Она начинается в конце 16 века и завершается в начале 18 века. На этой стадии изобретаются русские счеты, по форме сильно отличающиеся от современных.
Счеты с четырьмя полями (середина 17 века)
Они имели сначала четыре, а затем два счетных поля и были универсальным счетным прибором. Десятичная позиционная система счисления еще только начинала распространяться в России, и практически все вычисления производились на счетах.
Следующая, третья стадия охватывает 18-ый и начало 19-го века. В начале этой стадии счеты приобретают свою классическую форму и в дальнейшем совершенствуются только внешне, с точки зрения удобства пользования. Однако на этой стадии счеты уже не являются универсальным счетным прибором, они превращаются во вспомогательный прибор, а ведущее место занимают вычисления на бумаге.
Четвертая стадия развития русских счетов охватывает начало 19 – начало 20 века. Растущая потребность в механизации вычислений породила многочисленные попытки модернизировать счеты и снова придать им характер универсального счетного прибора. Однако эта идея была в принципе несостоятельной: счеты как сугубо ручной прибор не могли конкурировать при выполнении умножения и деления с развитыми конструкциями механических арифмометров. Русские счеты, приобретя свою классическую форму, вплоть до 70-х годов 20 века оставались наиболее массовым вспомогательным вычислительным прибором. Начиная с 70-х годов с ними успешно конкурируют карманные электронные калькуляторы, хотя счеты распространены и в наше время.
Русский народ изобрел идеальный прибор - счеты - для облегчения счисления по десятичной системе. Эти счеты по справедливости называются русскими.
В книгах можно встретить указание, что счеты были изобретены китайцами, что они от китайцев перешли к сибирским народам и что известные в русской истории купцы и промышленники Строгановы привезли их в Россию. Указывается и время, когда якобы появились счеты в России: по одним источникам - при Дмитрии Донском (XIV век), по другим - при Петре Первом (на рубеже XVII и XVIII веков).
Эти рассказы лишены основания в той же мере, как и предания о том, что предок Строгановых был татарским королевичем. К сожалению, рассказы о восточном происхождении русских счетов попали в «Историю государства Российского» Н.М. Карамзина и отсюда в большинство учебников. Одно из самых ранних описаний русских счетов, сделанное датским математиком - богословом Петером ван Хавеном в 1743 году, как и некоторые другие старые источники, совершенно отчетливо указывает на то, что у счетов на каждой проволоке имеется по девяти шариков. Таким образом можно утверждать, что этот русский народный счетный прибор самим народом был доведен до совершенства. Лишний десятый шарик появился позднее и сохранился до сих пор, хотя авторы XIX столетия неоднократно указывали, что он является лишним и мешающим.
Первоначальная форма счетов на Руси называлась «дощатый счет». «Дощатый счет» представлял собой доску или раму с чётками (шариками), надетыми на шнуры или веревки. На рисунке дано изображение «дощатого счета» с четырьмя счетными полями. Верхние 9-10 рядов имели 9-10 четок, нижние - от 1-й до 4-х четок для счета долей (дробей). Счет на этом приборе производится почти так, как на современных конторских счетах.
Постепенно совершенствуется конструкция этого счетного прибора. В начале XVIII столетия грубо сделанный ящик с вдетыми костяшками на бечевках превращается в искусно изготовленный прибор, напоминающий современную форму конторских счетов.
Отметим, что западноевропейский быт не знает употребления счетов, и ловкость пользования ими у русских много раз вызывала удивление иностранцев. Во время наполеоновского похода в Россию в 1812 году в сражении под Красным (Смоленской губернии) попал в плен поручик саперного батальона Жан Виктор Понселэ (1788-1867). Партия пленных была отправлена в Саратов пешком, при морозах, доходивших до 30°.
Среди немногих французов, вынесших четырехмесячный переход, был и Понселэ. В Саратове Понселэ создал новую область геометрии, которая под названием «проективной геометрии» изучается в наше время всеми лицами, получающими высшее математическое образование. Уезжая по окончании войны на родину, где Понселэ приобрел славу крупнейшего геометра, отца прикладной механики и военного инженера, он увез во Францию и русские счеты. Под названием булье счеты вошли в употребление во французской школе, а оттуда и в школах других стран.
Многие обороты нашей речи свидетельствуют о том, что счеты русским народом употребляются с очень давних пор. «Сбрасывать со счета», «прикидывать», «накидка», «скидка», «сводить счеты», «скостить» и много аналогичных выражений в народном языке появилось в результате пользования счетами в течение долгого времени.
Чаще всего на счетах приходится считать деньги. Широкое распространение русских десятичных счетов находится в связи с тем, что в России раньше, чем в других странах, возникла десятичная денежная система: рубль равен десяти гривенникам, гривенник - десяти копейкам, червонец - десяти рублям (впрочем, в XVIII веке червонец не сразу равнялся десяти рублям).
Историки приписывают приоритет введения десятичной денежной системы Соединенным Штатам Америки. Однако там деление доллара на 100 центов установилось только к концу XVIII века. В России же переход к десятичному делению денежных единиц был закончен в 1704 году, следовательно, на 100 лет ранее Соединенных Штатов Америки.
Не будем в дальнейшем повторять измышлений о чужеземном происхождении русских счетов, измышлений, иногда весьма курьезных, но один пример приведем. Американский историк математики Д. Е. Смит в специальном «исследовании» о счетных приборах, изданном в 1921 году, пишет, что русские счеты пришли в Россию через армян от турок и что этот прибор у турок якобы называется «кулба», а у армян - „хораб". Однако ни тот ни другой из названных языков не знает тех слов, которые Смит им приписывает. В турецком языке есть слово «хораб», в армянском же-слово «кулба», и оба слова означают одно и то же- именно «чулки».
К русским счетам мы не должны относиться с пренебрежением, как примитивному счетному аппарату. Этот прибор так долго и с такой честью служил русскому народу, что заслуживает нашей благодарности и уважения.