2. Операции наращения и дисконтирования

В процессе сравнения стоимости денежных средств при их инвестировании и возврате принято использовать два основных понятия: будущая и настоящая стоимость денег.

Будущая стоимость денег - сумма инвестированных в настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения этой стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение суммы вклада путем присоединения к первоначальному его размеру суммы процента (процентных платежей). Эта сумма рассчитывается по процентной ставке. В инвестиционных расчетах ставка применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и в более широком смысле как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

Настоящая стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных с учетом определенной ставки процента (дисконтной ставки) к настоящему периоду. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования этой стоимости, который представляет собой операцию, обратную наращению при обусловленном конечном размере денежных средств. В этом случае сумма процента (дисконта) вычитается из конечной суммы (будущей стоимости) денежных средств. Такая ситуация возникает в тех случаях, когда определяют, сколько средств необходимо инвестировать сегодня для того, чтобы через определенное время получить заранее обусловленную их сумму.

Для того чтобы обезопасить себя от инфляции, риска неполучения дохода, инвестор определяет для себя требуемую норму доходности на вложенный капитал, которая полностью возместит ему все моральные и материальные неудобства. Количественной мерой этой величины является процентная ставка. С ее помощью может быть определена как сегодняшняя (текущая, приведенная) стоимость будущих денежных потоков, так и будущая стоимость “сегодняшних” денег (если деньги будут отданы в кредит). В первом случае говорят об операции дисконтирования, или приведения будущей стоимости к ее современной величине, во втором случав выполняется наращение, поэтому будущую стоимость называют наращенной.

Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма PV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - РV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным показателем - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо РV, либо FV. Таким образом, ставка за время t рассчитывается по одной из двух формул:

В финансовых вычислениях первый показатель имеет названия “процентная ставка”, “ставка процента”, “процент”, “рост”, “норма прибыли”), “доходность”, а второй - “учетная ставка”, “дисконт”. Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой:

r= или d= (3)

Оба показателя могут выражаться либо в десятичных дробях, либо (как правило, на практике) в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1)- исходная сумма, в формуле (2)- возвращаемая (ожидаемая) сумма. Из определения показателей следует, что r > 0 и 0<

Степень расхождения между r и d зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если r= 7%, то d= 6,54%, т.е. расхождение сравнительно невелико; если r = 70%, то d= 41,18%, т.е. ставки существенно различаются по величине.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется наращением, искомая величина - наращенной суммой, а ставка - ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется дисконтированием, искомая величина - приведенной суммой, а ставка - ставкой дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему (рис. 1.1).

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (1)

FV=РV (1+ r) (4)

то FV > РV(так как 1 +г >1), т.е. время генерирует деньги.

Величина РУ, определяемая по формуле (1.7), показывает ка1 бы будущую стоимость “сегодняшней” величины РУ при задан ном уровне доходности г,.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Одна из интерпретаций коэффициента дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина РV показывает как бы текущую, “сегодняшнюю” стоимость будущей величины FV.

Отчетность; - статистическая финансовая информация; - несистемные данные. 3.2 Информационное обеспечение деятельности финансового менеджера Основой информационного обеспечения системы финансового менеджмента служит любая информация финансового характера: - бухгалтерская отчетность; - сообщения финансовых органов; - информация учреждений...

И порядок работы финансовых органов; а также позволяющих обеспечить функционирование и дальнейшее развитие механизма формирования и распределения финансовых результатов на твердой законной основе в условиях перехода к рыночной экономике. Механизм формирования и распределения финансовых результатов можно условно разделить на две части: механизм формирования финансовых результатов и механизм...

Смысл, означая совокупность денежных средств, находящихся в распоряжении государства (государственный бюджет), образование и использование которой есть главный инструмент финансового регулирования государством рыночной экономики. Хотя размеры государственных доходов постоянно растут, величина государственных расходов растёт ещё быстрее. Эта диспропорция объясняется направлениями государственного...

Смысл, означая совокупность денежных средств, находящихся в распоряжении государства, образование и использование которой есть главный инструмент финансового регулирования государством рыночной экономики. Основным источником государственных доходов являются налоги, а также предпринимательская деятельность самого государства (доходы от госпредприятий, сдача объектов госсобственности в аренду, ...

Процесс определения текущей стоимости денег называется дисконтированием.

Наиболее распространенное применение дисконтирования :
1) авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, т.е. до наступления срока ее погашения; 2) учет векселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока гашения; 3) оценка облигаций путем дисконтирования будущих купонных платежей, а также оценка акций на основе использования модели дисконтирования дивидендов.

Выделяют два вида дисконтирования – математическое дисконтирование (приведение по вкладу) и банковский учет (приведение по платежу).

Математическое дисконтирование определяет современное или приведенное значение Р на некоторый момент времени T, которое соответствует заданному значению F в другой момент времени t. Таким образом, математическое дисконтирование – это формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени. Можно еще определить математическое дисконтирование как приведение по вкладу Р – это такой подход к расчету искомой предшествующей суммы Р, который дает сумму F (известную к началу расчета) при начислении процентов (простых или сложных) через n периодов. В этом случае за базовую величину, то есть за 100% принимается размер вклада Р.

Величину Р, найденную с помощью процесса дисконтирования, называют в зависимости от контекста приведенной (современной, текущей, капитализированной) стоимостью.

Приведем некоторые из формул математического дисконтирования.

1. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по простой процентной ставке равно:

где r – простая годовая процентная ставка;

n – период начисления процентов;

k D - коэффициент дисконтирования (приведения), равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при простой процентной ставке.

2. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной процентной ставке равно:

где r с – сложная процентная ставка за единичный период начисления;

n – число периодов начисления процентов;

k DC - коэффициент дисконтирования, равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при сложной процентной ставке.

Формулы (1) и (2) используются в частности для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и прочих ценных бумаг.

Пример 1. Из какого капитала можно получить 3,4 млн. руб. через 3 года наращения по простым процентам при ставке 12%?

Решение . Р=3,4/ (1*30,12)=2,5 млн. руб. Дисконт=Р 2 -Р 1 =F-P=3,4-2,5=0,9 млн. руб.

Пример 2. Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с приближенным числом дней?

Решение . Д=F-P=2,14-2=0,14 т.р.

Банковское дисконтирование или приведение по платежу (второй подход) состоит в том, что неизвестен размер платежа, к которому придем при удержании с конечной суммы F за срок n. В этом случае за 100% берется будущая сумма F.

Формула дисконтирования приведением по платежу по простым процентам: P n =F-n*d*F=F(1-nd), где d – учетная ставка, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы F на один период назад.

Формула дисконтирования приведением по платежу по сложным процентам: P n =F(1-d) n .

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств банком. Поэтому далее в задачах будет использовано понятие векселя. Вексель – это долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал векселя F) в конкретный срок. Вексель может быть простым, переводным, коммерческим, казначейским и т.д. Чаще всего работа с векселем – это принятие векселя к погашению. Учет векселя означает оплату векселя с дисконтом, т.е. со скидкой с его номинала. Дисконт представляет собой проценты, начисленные за время n от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму F, подлежащую оплате в конце срока. Чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Вексель, допускающий участие третьих лиц, называется переводным или траттой. Учет векселя чаще всего осуществляется способом: приближенное число дней в году (360) и точное число дней в периоде от момента учета векселя до момента погашения (365/360). Приведем некоторые из формул банковского учета, содержащие дисконт.

Для простой учетной ставки:

1. Если срок n от даты учета до даты погашения составляет часть года, то дисконт определяется по формуле где

d –относительная величина годовой учетной ставки;

t- период начисления в днях; К- количество дней в году.

2. Цена покупки векселя банком или сумма, выдаваемая предъявителю учитываемого денежного обязательства по простой учетной ставке, рассчитывается по формуле:

F-номинальная сумма данного обязательства;

Р- цена покупки векселя банком или это деньги, которые получает владелец векселя, в случае операции дисконтирования;

D d -дисконт, сумма процентных денег;

(1-nd) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.

3. Процентный доход покупателя (банка) векселя по простой ставке:
Для сложной учетной ставки:

4. Формула для определения стоимости капитала, учтенного за n лет при m-кратном дисконтировании в течение года, примет вид:

С ростом числа дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.

Для облегчения расчетов при удержании сложных процентов используются дисконтные множители , которые показывают, во сколько раз уменьшится сумма при удержании с нее сложных процентов по ставке d в течение n промежутков удержания: Dis(n,d)=(1-d) n .

5. Соотношение между простыми годовыми процентными ставками r и d, обеспечивающими через период времени n получение одной и той же наращенной величины F из начального капитала Р: d(1+nr)=r.

Ставки d и r, связанные между собой этим соотношением называются эквивалентными, так как они приводят к одинаковому финансовому результату.

Пример . 3. Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 19%, при наращении капитала за год.

Решение . N=1, r =0,19, d=0,19/(1+0,19)»0,15966, d»16%. Т. о., учет за год по учетной ставке 16% приносит такой же доход, как наращение простыми процентами по ставке 19%.

Если время измеряется в днях t, n=t/T, где Т – временная база, равная количеству дней в году. В этом случае

Пример 4. Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по учетной ставке 12%, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по процентной ставке при временной базе, равной 365.

Решение . Если разные временные базы, то получим равенство: . Отсюда следует, что

нахождения сложной годовой учетной ставки.

Пример 5. Вексель был учтен за полтора года до срока, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

Решение . P=0,8; n=1,5; при m=1 d=1-0,8 1/1,5 =0,1382, т.е. d=13,82%

Пример 6. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 т.р. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую получит векселедержатель.

Решение . P=f*(1-nd)=50*(1-15/360*0,3)=49,375 т.р.

Непрерывное наращение и дисконтирование. Уменьшая частоту начисления в пределе можно перейти к непрерывным процентам. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Где е примерно равно 2,718281 –число Эйлера и r (¥) =d -обозначение непрерывной ставки и называют ее силой роста. Сила роста характеризует интенсивность наращения за год при непрерывном начислении процентов.

Аналогично другим множителям наращения е d n равен индексу роста суммы Р за n лет.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач (при выборе и обосновании инвестиционных решений). Также бывает целесообразно предполагать при оценке работы учреждения за период, в котором платежи поступают многократно, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени, и применять непрерывное начисление процентов.

Бывают ситуации, когда непрерывное начисление процентов применяется непосредственно и при работе с клиентами.

Пример. На вклад в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Найти наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим образом: в первые 2 года равна 8%, в следующие три года 10% и в каждый оставшийся год увеличивается на о,5%.

Решение .

Кредитные операции также связаны с дисконтированием. Рассмотрим операцию удержания процентов с суммы, взятой заемщиком в кредит. Проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму Р за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, которую следует вернуть. Удержание процентов можно проводить по простым и сложным процентам:

1. , где d – простая учетная ставка;

2. , где d с - сложная учетная ставка;

3. Срок, на который выдан кредит, рассчитывается по формуле: ,

4. Учетная ставка рассчитывается по формуле:

5. При непрерывном исчислении процентов, т.е. при мультиплицирующий множитель М(m, r/m) имеет предел, равный е r , где е-основание натуральных логарифмов (е=2,71). Непрерывным наращением процентов по ставке r называется увеличение суммы в е r раз за единичный промежуток начисления. Непрерывным дисконтированием называется обратная операция непрерывному наращению, т.е. уменьшение суммы в е i раз за единичный промежуток. Также справедливо следующее соотношение: .

Пример .На сумму в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты по ставке 8%. Определить наращенную сумму за 5 лет.

3.2. Характеристика акций и облигаций

3.3. Методы анализа конъюнктуры фондового рынка

3.4. Биржевые индексы

3.5. Виды портфелей ценных бумаг

3.6. Оценка стоимости и доходности ценных бумаг (практика)

Доходность акций.

Стоимость акций.

4.1. Виды аудита

4.2. Стандарты аудиторской деятельности

4.3. Понятие существенности в аудите

5.1. Оценка доходности финансовых активов (теория и практика)

5.2. Финансовая система и финансовые результаты организаций

5.3. Сравнительная характеристика финансов организаций, осуществляющих коммерческую и некоммерческую деятельность

Значение финансового планирования

5.5. Финансовый механизм управления нормируемыми оборотными средствами (теория и практика)

5.6. Финансовая стратегия и финансовая тактика организации, их особенности в условиях кризиса

Начальная стратегия

Стратегия проникновения.

Стратегия ускоренного роста.

Стратегия переходного периода.

Стратегия стабилизации и выживания.

Стратегия стабилизации.

Стратегия выживания.

6.1. Функции корпоративных финансов и принципы их организации (теория)

6.2. Временнáя ценность денег: операции наращения и дисконтирования (теория и практика)

6.3. Денежные потоки: виды, оценка. Понятие аннуитета (теория и практика)

6.5.Показатели и методы оценки эффективности инвестиционных проектов корпораций (теория и практика)

1. Метод чистой приведенной стоимости npv (NetPresentValue).

2. Метод расчета индекса доходности (рентабельности) (рi).

3. Метод внутренней нормы прибыли (доходности) (irr).

7.1. Политика управления структурой капитала, ее основные этапы (теория и практика)

7.2. Дивидендная политика, ее основные этапы (теория и практика)

7.3. Политика управления запасами и денежными активами организации (теория и практика)

7.4. Политика управления портфелем ценных бумаг (теория и практика)

7.5. Политика управления денежными потоками (теория и практика)

Политика управления денежными потоками - политика, реализующая генеральный план (финансовую стратегию) действий в сфере организации оборота денежных средств организации.

8.1. Тарифная политика страховщика

8.2. Условия обеспеченности финансовой устойчивости проводимых страховых операций

8.4. Расчет страховых выплат (практика) Задача 1. Расчет страхового возмещения (выплаты)

9.1. Типы и элементы денежных систем, их характеристика.

9.2. Виды и типы инфляции. Особенности современной инфляции и меры воздействия на инфляцию.

10.1. Бюджеты функциональных блоков. Взаимосвязи в системе бюджетирования.

10.2. Последовательность разработки и утверждения бюджетов. Корректировка бюджетов.

10.3. Бюджеты прибылей и убытков, баланса и движения денежных средств.

Бюджет прибылей и убытков

Прогнозный баланс.

10.4. Разработка бюджетов по функциональным блокам (практика)

10.5. Разработка финансовых бюджетов (практика)

11.1. Учет производственных запасов (практика)

3. Учет материалов на складе

4. Оценка и учет материалов при их выбытии.

11.2. Учет готовой продукции (практика)

11.3. Учет выручки и прочих доходов в организации (теория)

Счет 91 "Прочие доходы и расходы" корреспондирует со следующими счетами Плана:

11.4. Учет финансовых результатов деятельности организации (практика)

11.5. Анализ финансовой устойчивости предприятия (практика)

1. Абсолютная финансовая устойчивость, она задается условиями

2. Нормальная финансовая устойчивость

3. Неустойчивое финансовое состояние

4. Кризисное финансовое состояние

11.6. Анализ ликвидности бухгалтерского баланса и платежеспособности организации (практика)

6.2. Временнáя ценность денег: операции наращения и дисконтирования (теория и практика)

Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные суммы "сегодня" и "завтра" оцениваются по-разному, – сегодняшние деньги ценнее будущих. Отмеченная зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени.

Во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, то есть деньги могут быть инвестированы и тем самым принести доход. Рубль сегодня стоит больше, чем рубль, который должен быть получен завтра ввиду процентного дохода, который вы можете получить, положив его на сберегательный счет или проведя другую инвестиционную операцию;

Во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени. Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, так как цены на товар повышаются.

В-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Сегодня рубль уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра, – еще вопрос.

Возникают, как правило, две задачи.

Первая – это определение будущей стоимости «сегодняшних» денег. В качестве цены денег рассматривается процент, как экономическая категория, используемая для сопоставления одной и той же суммы денег в различные периоды времени с учетом того, что вложенная сумма денег приносит доход.

Вторая – это определение текущей стоимости «будущих» денег.

Для рассмотрения формул, используемых при решении данных задач, введем ряд условных обозначений:

PV – величина первоначальной суммы или настоящая (текущая) стоимость денег (presentvalue);

FV – наращенная сумма или будущая стоимость денег (futurevalue), первоначальная сумма с начисленными на нее процентами;

r – ставка процента за период начисления процентов или норма доходности (interestrate);

n – число процентных периодов.

Рассмотрим суть и содержание каждой из этих задач.

Будущая стоимость денег – это стоимость настоящих денег через определенный период времени, увеличенная (наращенная) при осуществлении финансовой операции согласно заданной норме доходности. Операция наращения – это процесс увеличения (наращения) настоящей стоимости денег согласно заданной норме доходности при осуществлении финансовой операции по схеме простых или по схеме сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает начисление процентов в конце каждого периода начисления на настоящую стоимость денег.

Соответственно, будущая стоимость денег (по схеме простых процентов) к концу второго периода начисления процентов можно определить следующим образом:

FV=PV∙(1+r∙n)

Схема сложных процентов предполагает начисление процентов в конце каждого периода начисления на увеличенную на сумму начисленных процентов за предыдущие периоды стоимость денег. Принцип наращения при использовании схемы сложных процентов можно представить в таблице 2.

FV= PV∙〖(1+r)〗^n

Разберем теперь определение текущей стоимости денег (операция дисконтирования).

Текущая стоимость денег – это стоимость будущих денежных поступлений (платежей) в настоящий момент времени. Текущая стоимость денег определяется с помощью операции дисконтирования. Дисконтирование – это процесс приведения будущей стоимости денег к их текущей (приведенной) стоимости или оценка будущих денежных поступлений (платежей) с текущего момента времени.

Необходимость определения текущей стоимости денег обусловлена следующими факторами:

обесценивание денег в результате инфляции;

обращение денежных средств как капитала обеспечивает получение дохода от этого оборота;

предъявление инвестором определенных требований к доходности вкладываемых денежных средств (инвестором устанавливается норма доходности).

Модель операции дисконтирования описывается следующей формулой:

PV=FV/〖(1+r)〗^n

Пример 1. «Оценка будущей стоимости денег при использовании схемы простых процентов».

Организация помещает в банк 100 у.е. на три года. Банк использует при начислении схему простых процентов исходя из 12% годовых.

Определить: а) какая сумма денег будет на счете в банке на конец первого, второго и третьего года; б) какая сумма денег будет на счете в банке через три месяца.

Решение:

а) Определим сумму денег на счете в банке на конец соответствующего года:

на конец первого года: FV 1 = 100 · (1+0,12·1) = 112 у.е.;

на конец второго года: FV 2 = 100 · (1+0,12·2) = 124 у.е.;

на конец третьего года: FV 3 = 100 · (1+0,12·3) = 136 у.е.

б) Для определения суммы денег на счете в банке через три месяца необходимо определить ставку процента за три месяца:

Соответственно, сумма денег на счете через три месяца составит:

FV 3 мес. = 100 · (1 + 0,03·1) = 103 у.е.

Пример 2. «Оценка будущей стоимости денег при использовании схемы сложных процентов».

Организация помещает в банк 100 у.е. на три года. Банк использует при начислении схему сложных процентов исходя из 12% годовых.

Определить, какая сумма денег будет на счете в банке на конец первого, второго и третьего года, если период начисления процентов равен: а) году; б) трем месяцам; в) месяцу.

Решение:

Сумма денег на счете в банке на конец первого, второго и третьего года будет зависеть от длительности периода начисления процентов и составит соответственно:

а) длительность периода начисления процентов – год

FV 1 = 100 (1 + 0,12) 1 = 112 у.е.;

FV 2 = 100 (1 + 0,12) 2 = 125,5 у.е.;

FV 3 = 100 (1 + 0,12) 3 = 140,5 у.е.

б) длительность периода начисления процентов – три месяца

FV 1 = 100 (1+0,12/4) 12/3 = 100 (1+0,03) 4 = 112,6 у.е.;

FV 2 = 100 (1+0,12/4) 24/3 = 100 (1+0,03) 8 = 126,7 у.е.;

FV 3 = 100 (1+0,12/4) 36/3 = 100 (1+0,03) 12 = 142,6 у.е.

в) длительность периода начисления процентов – месяц

FV 1 = 100 (1+0,01) 12 = 112,7 у.е.;

FV 2 = 100 (1+0,01) 24 = 126,9 у.е.;

FV 3 = 100 (1+0,01) 36 = 143,1 у.е.

Можно сделать вывод, что меньше длительность периода начисления процентов, тем больше будет наращенная сумма за рассматриваемый период.

Пример 3. «Оценка текущей стоимости денег».

Предполагается получение 140,5 у.е. через три года. Ставка дисконтирования принимается на уровне 12% годовых (доход приносит вложенная сумма и полученные проценты). Первоначальный вклад составляет: а) 90 у.е.; б) 110 у.е.

Определить целесообразность заключения финансовой сделки в условиях разного первоначального вклада.

Решение:

Расчет текущей стоимости денег по приведенной модели дисконтирования выглядит следующим образом:

140,5/(1,12^3)=100

Расчет чистой текущей стоимости денег приведен по двум вариантам первоначальных затрат:

а) PVnet = 100 – 90 = 10 у.е.

б) PVnet = 100 – 110 = - 10 у.е.

По результатам расчетов можно сказать, что финансовая сделка целесообразна при условии первоначального вложения 90 у.е.

Тема 3. Основы финансовой математики

3.1. Временная ценность денег.

3.2. Операции наращения и дисконтирования.

3.3. Процентные ставки и методы начисления. Понятие простого и сложного процента.

3.4. Виды денежных потоков.

3.5. Оценка денежного потока с неравными поступлениями.

3.6. Оценка аннуитетов.

3.7. Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка.

Временная ценность денег.

Временную ценность денег рассматривается в двух аспектах.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с тече­нием времени. Представим, что предприятие имеет свободные денеж­ные средства в размере 15 тыс. руб., а инфляция составляет 20% в год (т.е. цены увеличиваются в 1,2 раза). Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 тыс. руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.

Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой дело­вой операции, которая принесет доход в размере 10 тыс. руб. по исте­чении двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 тыс. руб. по истечении каждого года, либо единовременное по­лучение всей суммы в конце двухлетнего периода.

Даже на житейском уровне очевидно, что второй вариант получе­ния доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это проистека­ет из того, что сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь пушена в оборот и, таким образом, принесет дополнительные доходы.

Операции наращения и дисконтирования

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сум­ма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для по­добной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-времен­ном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения ис­ходной суммы к базовой величине, в качестве которой, очевидно, мож­но взять либо РV, либо FV.

2 формулы расчета ставки:

r t = FV – PV (1)

d t = FV – PV (2)

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще назва­ния «процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй - «учетная ставка», «дисконт».

Оче­видно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, мож­но рассчитать другой:

r t = d t

d t = r t

d t -дисконт, r t - учетная ставка

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1)-исходная сумма, в форму­ле (2) - возвращаемая сумма.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом на­ращения, искомая величина - наращенной суммой, ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приве­денной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дискон­тирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к на­стоящему (рис. 1).

НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ

Рис. 1 Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой форму­лой состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы (3)

FV = PV + РУ *r t ,

Разность I = FV - PV называется процентом. Это величина дохо­да от предоставления в долг денежной суммы PV.

На практике доходность является величиной непостоянной, зави­сящей главным образом от степени риска, ассоциируемого с данным видом бизнеса, в который сделано инвестирование капитала. Связь здесь прямо пропорциональная - чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государствен­ные ценные бумаги или в государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невысока.

Величина FV показывает как бы будущую стоимость «сегодняш­ней» величины PV при заданном уровне доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во времен­ном упорядочении денежных потоков различных временных перио­дов. Одна из интерпретаций ставки, используемой для дисконтирова­ния, такова: ставка показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегод­няшнюю» стоимость будущей величины FV.

Предприятие получило кредит на один год в размере 5 тыс. руб. с условием возврата 10 тыс. руб. В этом случае процентная ставка рав­на 100%, а дисконт - 50%.

фининсовых

решений

Тема 1

Временная стоимость денег.

Операции наращения и дисконтирования

В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения, так или иначе, но обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования и кредитования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (или стоимость денег во времени –timevalueofmoney). Очевидно, что 100 000 руб., полученных через 5 лет, не равноценны этой же сумме поступившей сегодня.

Временная стоимость денег обуславливается наличием двух причин:

1) обесценением денежной наличности с течением времени. Так, если предприятие имеет свободные денежные средства в раз­мере 10,0 млн. руб., а инфляция, то есть обесценение денег, состав­ляет 20% в год, то это означает, что уже через год, в случае если предприятие никак их не инвестирует, они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в текущих ценах только 8 млн. руб.;

2) обращением капитала (денежных средств). Предположим, что предприятие имеет возможность участвовать в инвестиционном проекте, который может принести доход в размере 20,0 тыс. руб. по истечении двух лет. Имеется возможность выбора варианта получе­ния дохода: либо по 10 тыс. руб. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода. Очевидно, что второй вариант получения доходов менее выгоден по сравнению с первым, так как сумма, полученная в конце первого года, может принести дополнительные доходы.

(В Индии, на химическом заводе американской компании, произошла крупная авария. В качестве компенсации пострадавшим первоначально предложили выплатить 200 млн. долл. в течение 35 лет. Предложение было отклонено. Для иллюстрации влияния фактора времени скажем, что 57,6 млн. долл. в банк под 10% годовых обеспечит последовательную выплату 200 млн. долл. Т.е. 57.6 млн. выплаченных сегодня равнозначны 200 млн. долл. погашаемым ежемесячно в равных долях)

Простейшим видом финансовой операции является однократ­ное предоставление в долг некоторой суммы PV(presentvalue) с условием, что через какое-то времяtбудет возвращена большая суммаFV(futurevalue).

Результативность подобной сделки может быть охарактеризо­вана двояко: либо с помощью абсолютного показателя либо путем расчета некоторого относительного показателя.

Абсолютным показателем является разность I=FV-PV, которая называется процентом (interest) или суммой процентных денег. Это величина дохода от предоставления в долг денежной суммы PV.

Однако для оценки эффективности финансовых операций абсолютные пока­затели мало применимы ввиду их несопоставимости. Поэтому пользуются специальным коэффициентом – став­кой .

Под процентной ставкой (rate of interest) – понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга за единицу времени.

Временной интервал, которому соответствует процентная ставка, называют периодом начисления (год, полугодие, квартал, месяц, даже день).

Размер процентной ставки зависит от ряда объективных и субъективных факторов: общего состояния экономики, в том числе денежно кредитного рынка, кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики, вида сделки, ее валюты, срока кредита и т.д.

В общем виде процентная ставка может быть представлена как сумма четырех основных компонент, определяющих величину r :

r = i + f + E + g

где i – норма процента, отражающая компенсацию кредитору за от­каз использовать в других целях предоставленную сумму в течение времениt (пока не вернут долг);

f – так называемый фактор риска (эффект Фишера), представ­ляющий собой для кредитора компенсацию за неопределенность (риск) неполучения процентов или всей суммы вообще при наступле­нии срока возврата долга;

Е – инфляционная добавка, т.е. компенсация за возможное из­менение в уровне цен, за уменьшение покупательной способности де­нег вследствие инфляции;

g – компенсация, зависящая от продолжительности срока, на который ссужены деньги, и тем большая, чем длительнее этот срок.

В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле – как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой операции), независимо от того имел место или нет факт выдачи денег в долг и процесс наращения этой суммы.

Существует два принципа расчета процентов – наращение на сумму долга и скидка с конечной суммы задолженности. Соответственно применяют ставку наращения (interest base rate) и учетную ставку (discount base rate). Оба вида ставок применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной дисконтирование. Для учетной ставки наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.

Для расчета процентной ставки используется сле­дующая формула:

Для расчета учетной ставки используется сле­дующая формула:

Оба вышеназванных показателя взаимосвязаны между собой, т.е. зная один показатель можно рассчитать и другой:

Оба показателя могут выражаться либо в десятичных дробях, либо в процентах.

Из определения показателей следует, что r › 0 и 0 ‹ d ‹ 1. Слу­чай, когдаr = 0 иd = 0, не рассматривается, так как тогдаFV = PV , т.е. можно считать, что финансовой сделки как таковой просто нет. Случай, когдаd = 1 соответствует PV = 0 , т.е. не предоставляется ни­какая сумма в долг, а через некоторое время получаем FV .

Степень расхождения между d(t) иr(t) зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, еслиr = 7% , тоd = 6,54 , т.е. расхождение сравнительно невелико. Однако, еслиr = 70% , тоd = 41,18%, т.е. ставки существенно различаются по величине.

В прогнозных расчетах, например, при оценке инвестиционных проектов, как правило, имеют дело с процентной ставкой. Учетная ставка в основном используется в банковских операциях по учету векселей.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом нараще­ния (компаундинг). Причем величинаFV показывает будущую стоимость «сего­дняшней» величиныPV при заданном уровне доходности.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (или возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называ­ется процессом дисконтирования . Экономический смысл дисконтирования заключается во вре­менном упорядочении денежных потоков различных временных пе­риодов. При этом случае искомая величинаPV показывает текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величиныFV.

В первом случае речь идет о движении денежного потока от на­стоящего к будущему, а во втором – о движении от будущего к на­стоящему.

Логика финансовых операций представлена на рис. 1.

Настоящее Будущее

Исходная сумма

Наращение Возвращаемая сумма

Процентная ставка

Ожидаемая к поступлению сумма

Приведенная сумма Дисконтирование

Коэффициент дисконти­рования

Рис. 1. Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции, которая пред­ставляется формулой (1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (1) следует, что FV = PV * (1 + r t ) , то FV › PV (так как (1 +r t) › 1), т.е. время генерирует деньги.

Естественно, такой же вывод можно сделать, используя фор­мулу (2), так как из нее следует, что PV = FV *(1 – d t ) , и справедливо нера­венство1 – d ‹ 1.

Как уже отмечалось выше, в качестве ставки наращения может вы­ступать как процентная, так и учетная ставка. Если наращенная сумма находится по формуле FV = PV *(1 + r t ) , то ставкой наращения является процентная ставка. С другой стороны, из формулыPV = FV *(1 – d ) следует, что наращен­ную сумму можно определять по формуле:

Поэтому в этом случае ставкой наращения является учетная ставка. Учетная ставка используется для наращения в случае учета векселя в банке, если рассматривать эту операцию с позиции банка.

Аналогичные рассуждения можно высказать и в связи с процессом дисконтирования. Если приведенная сумма находится по формуле PV = FV *(1 – d ) , то в качестве ставки приведения выступает учетная ставка. С дру­гой стороны, из формулыFV = PV *(1 + r ) следует, что приведенную сумму можно определить также по формуле. В этом случае в качестве ставки дисконтирования выступает процентная ставка.