Вопрос 1: «ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА»
Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных:
· данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;
· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.
Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называютсямоделями временных рядов.
Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
· факторы, формирующие тенденцию ряда;
· факторы, формирующие циклические колебания ряда;
· случайные факторы.
При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.
Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 6.1 а) показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.
Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой-бизнес цикла, в которой находится экономика страны. На рис. 6.1 б) представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.
Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 6.1 в).
Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов
Рис. 6.1. «Основные компоненты временного ряда: а – возрастающая тенденция; б – сезонная компонента, в – случайная компонента.
Вопрос 2: «АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ»
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называютавтокорреляцией уровней рада.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.
Пример 6.1 Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление.
Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление y t (д.е.) за 8 лет. Табл. 6.1
Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.
| t | ()* () | ||||||
| 1 | 7 | - | - | - | - | - | - |
| 2 | 8 | 7 | -3,29 | -3,00 | 9,86 | 10,80 | 9,00 |
| 3 | 8 | 8 | -3,29 | -2,00 | 6,57 | 10,80 | 4,00 |
| 4 | 10 | 8 | -1,29 | -2,00 | 2,57 | 1,65 | 4,00 |
| 5 | 11 | 10 | -0,29 | 0,00 | 0,00 | 0,08 | 0,00 |
| 6 | 12 | 11 | 0,71 | 1,00 | 0,71 | 0,51 | 1,00 |
| 7 | 14 | 12 | 2,71 | 2,00 | 5,43 | 7,37 | 4,00 |
| 8 | 16 | 14 | 4,71 | 4,00 | 18,86 | 22,22 | 16,00 |
| Итого | 86 | 70 | 0 | 0 | 44,00 | 53,42857 | 38 |
Расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.
Определим коэффициент корреляции между рядами и и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в таблицу 6.1 временно й ряд
Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:
В качестве переменной х
мы рассмотрим ряд 
; в качестве переменной y – ряд
.
Тогда приведенная выше формула примет вид
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней первого порядка, т.к. он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1 , т.е. при лаге 1.
Для данных пример 6.1 соотноешния (6.2) составят:
Используя формулу (6.1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:
Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейное тенденции.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорелляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
Для данных из примера 6.1 получим:
Построим таблицу 6.2 подставив полученные значения в формулу (6.3), имеем:
Таблица 6.2
Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.
| t | |||||||
| 1 | 7 | - | - | - | - | - | - |
| 2 | 8 | - | - | - | - | - | - |
| 3 | 8 | 7 | -3,833 | -2,333 | 8,944 | 14,694 | 5,444 |
| 4 | 10 | 8 | -1,833 | -1,333 | 2,444 | 3,361 | 1,778 |
| 5 | 11 | 8 | -0,833 | -1,333 | 1,111 | 0,694 | 1,778 |
| 6 | 12 | 10 | 0,167 | 0,667 | 0,111 | 0,028 | 0,444 |
| 7 | 14 | 11 | 2,167 | 1,667 | 3,611 | 4,694 | 2,778 |
| 8 | 16 | 12 | 4,167 | 2,667 | 11,111 | 17,361 | 7,111 |
| Итого | 86 | 56 | 0,000 | 0,000 | 27,333 | 40,833 | 19,333 |
Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.
Необходимо отметить два важных свойства коэффициента корреляции.
Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
Во-вторых , по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называютавтокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называетсякоррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. 6.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 6.1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.
Пример 6.2. Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда.
Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов. (табл. 6.3).
Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт*ч
| t | |||||
| 1 | 6,0 | - | - | - | - |
| 2 | 4,4 | 6,0 | - | - | - |
| 3 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | - | - |
| 4 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | - |
| 5 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 |
| 6 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 |
| 7 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 |
| 8 | 10 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 |
| 9 | 8,0 | 10 | 6,0 | 4,8 | 7,2 |
| 10 | 5,6 | 8,0 | 10 | 6,0 | 4,8 |
| 11 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10 | 6,0 |
| 12 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10 |
| 13 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 |
| 14 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 |
| 15 | 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 |
| 16 | 10,8 | 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 |
Нанесем эти значения на график 6.2
Рис. 6.2. «Потребление электроэнергии жителями региона»
Определим коэффициент автокорреляции первого порядка (добавим 6.3 и воспользуемся формулой расчета линейного коэффициента корреляции). Он составит: . Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровень зависит от уровня и в гораздо большей степени, чем от уровня . Построим ряд (см. табл. 6.3). Рассчитав коэффициент автокорреляции второго порядка , получим количественную характеристику корреляционной связи рядов , ,: . Продолжив расчеты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таблице 6.4. Аналогично рассчитываем и другие автокорреляции
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временно м ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 6.2).
Аналогично, если, например, при анализе временно го ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд содержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру.
Вопрос 3: «Моделирование тенденции временного ряда»
Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называютаналитическим выравниванием временного ряда.
Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:
Линейный тренд 
Гипербола: 
;
Экспоненциальный тренд:
Тренд в форме степенной функции:
Парабола второго и более высоких порядков:
Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, …, n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у t . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.
Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов
Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R 2 и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.
Вопрос 4: «Моделирование сезонных и циклических колебаний»
Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.
Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:
Y=T+S+E (6.5)
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид мультипликативной модели выгладит так:
Y=T*S*E (6.6)
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может бьггь представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+ Е) в аддитивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (T * S).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Подробнее методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.
Пример 6.4. Построение аддитивной модели временного ряда.
Обратимся к данным об объеме потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года, представленным в табл. 6.3.
В примере 6.2 было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II иIII кварталы). По графику, этого ряда (рис. 6.2) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о возможном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
а. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 6.5);
б. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 6.5). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;
в. приведем эта значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 6.5).
Расчет оценок сезонной компонентности в аддитивной модели
| № квартала, t | Потребление электроэнергии, | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 6 | - | - | - | - |
| 2 | 4,4 | 24,40 | 6,100 | - | - |
| 3 | 5 | 25,60 | 6,400 | 6,250 | -1,250 |
| 4 | 9 | 26,00 | 6,500 | 6,450 | 2,550 |
| 5 | 7,2 | 27,00 | 6,750 | 6,625 | 0,575 |
| 6 | 4,8 | 28,00 | 7,000 | 6,875 | -2,075 |
| 7 | 6 | 28,80 | 7,200 | 7,100 | -1,100 |
| 8 | 10 | 29,60 | 7,400 | 7,300 | 2,700 |
| 9 | 8 | 30,00 | 7,500 | 7,450 | 0,550 |
| 10 | 5,6 | 31,00 | 7,750 | 7,625 | -2,025 |
| 11 | 6,4 | 32,00 | 8,000 | 7,875 | -1,475 |
| 12 | 11 | 33,00 | 8,250 | 8,125 | 2,875 |
| 13 | 9 | 33,60 | 8,400 | 8,325 | 0,675 |
| 14 | 6,6 | 33,40 | 8,375 | -1,775 | |
| 15 | 7 | ||||
| 16 | 10,8 |
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями рада и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 6.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 6.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
Для данной модели имеем:
0,6-1,958-1,275+2,708=0,075
Определим корректирующий коэффициент:
К=0,075/4 = 0,01875
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
Где i =1:4
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
0,581-1,977-1,294+2,960=0
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: = 0.581
II квартал: = -1,979
III квартал: = -1,294
IV квартал: = 2,690
Занесем полученные значения в табл. 6.6 для соответствующих кварталов каждого года (стр.3)
Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т+E=Y-S (гр.4 табл. 6.7). Эти значения рассчитываются за каждый период времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели
| t |  | T | T+S |  | E 2 | ||
| 1 | 6,0 | 0,581 | 5,419 | 5,902 | 6,483 | -0,483 | 0,2333 |
| 2 | 4,4 | -1,977 | 6,337 | 6,088 | 4,111 | 0,289 | 0,0835 |
| 3 | 5,0 | -1,294 | 6,294 | 6,275 | 4,981 | 0,019 | 0,0004 |
| 4 | 9,0 | 2,690 | 6,310 | 6,461 | 9,151 | -0,151 | 0,0228 |
| 5 | 7,2 | 0,581 | 6,619 | 6,648 | 7,229 | -0,029 | 0,0008 |
| 6 | 4,8 | -1,977 | 6,777 | 6,834 | 4,857 | -0,057 | 0,0032 |
| 7 | 6,0 | -1,294 | 7,294 | 7,020 | 5,727 | 0,273 | 0,0745 |
| 8 | 10,0 | 2,690 | 7,310 | 7,207 | 9,896 | 0,104 | 0,0108 |
| 9 | 8,0 | 0,581 | 7,419 | 7,393 | 7,974 | 0,026 | 0,0007 |
| 10 | 5,6 | -1,977 | 7,577 | 7,580 | 5,603 | -0,030 | 0,0009 |
| 11 | 6,4 | -1,294 | 7,694 | 7,766 | 6,472 | -0,072 | 0,0052 |
| 12 | 11,0 | 2,690 | 8,310 | 7,952 | 10,642 | 0,358 | 0,1282 |
| 13 | 9,0 | 0,581 | 8,419 | 8,139 | 8,720 | 0,258 | 0,0784 |
| 14 | 6,6 | -1,977 | 8,577 | 8,325 | 6,348 | 0,252 | 0,0635 |
| 15 | 7,0 | -1,294 | 8,294 | 8,519 | 7,218 | -0,218 | 0,0475 |
| 16 | 10,8 | 2,690 | 8,110 | 8,698 | 11,388 | -0,588 | 0,3457 |
Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
Константа 5,715416
Коэффициент регрессии 0,186421
Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,015188
R-квадрат 0,914971
Число наблюдений 16
Число степеней свободы 14
Таким образом, имеем следующий линейный тренд:
Т=5,715+0,186*t
Подставляя в это уравнение значения t=1, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 6.7). График уравнения тренда приведен на рис. 6.3.
Рис. 6.3. «Потребление электроэнергии жителями района (фактическое, выравненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т+S) представлены на рис. 6.3.
Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле
E=Y-(T+S) (6.8)
Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 6.7.
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59 , эта величина составляет чуть более 1,5%
(1-1,10/71,59)*100=1,536
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временно го ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.
Вопрос 5: «Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений».
От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временно го ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени , происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 6.4
Рис. 6.4. «Изменение характера тенденции временного ряда».
Момент (период) времени сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель . Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.
Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии , т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени и после момента ) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 6.4 этим уравнением соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменении незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 6.4 этому уравнению соответствует прямая (3)).
Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений, и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в кажодм уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет, сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.
| № уравнения | Вид уравнения | Число наблюдений в совокупности | Остаточная сумма квадратов | Число параметров в уравнении 1 | Число степеней свободы остаточной дисперсии |
| Кусочно-линейная модель |
|||||
| (1) |  | ||||
| (2) |  | ||||
| Уравнение тренда по всей совокупности |
|||||
| (3) |  | ||||
| 1 В рассматриваемой нами формулировке число параметров всех уравнений k 1 =k 2 =k 3 =2. В общем случае число параметров в каждом уравнении может различаться. |
|||||
Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики которых изображены на рис. 6.5 (1), (2), (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 6.8
Выдвинем гипотезу Н 0 о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.
Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели () можно найти как сумму и
Соответствующее ей число степеней свободы зависит:
Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:
Число степеней свободы, соответствующее , с учетом соотношения 6.10 будет равно
Найденное значение сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы и
Пример 6.2. Расчет параметров тренда.
Имеются помесячные данные о темпах роста номинальной заработной платы в РФ за 10 месяцев 2010 года в процентах к уровню предыдущего месяца 2009 г. (Табл. 6.3). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.
Построим график данного временного ряда
Рис. 6.2. Динамика темпов роста номинальной заработной платы за 10 мес. 2010г.
На графике рис. 6.2. заметно наличие возрастающего тренда (тенденции). Возможно существование линейной зависимости.
Http://homekid.ru/kidinspb2010/kid2010part2.htm
Понятие сезонных колебаний и сезонной составляющей
Методы распознавания типа тренда и оценки его параметров
Основные типы трендов
Виды и построение временных рядов
ТЕМА 6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТРЕНДОВ
План лекции:
Эконометрическую модель можно построить, используя 2 типа исходных данных:
1. данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (периоды времени). Модели, построенные по этим данным, называются пространственными.
2. данные, характеризующие один объект за ряд последовательных периодов времени. Модели, построенные по этим данным, называются моделями временных рядов
В литературе встречаются также понятия ряда динамики или динамические ряды. Данные термины несколько отличаются по сущности от понятия временной ряд , поскольку не каждый ряд уровней за последовательные периоды времени на самом деле содержат динамику какого - либо показателя.
Термин динамика правильнее относить к изменениям, направленному развитию, наличию тенденций рассматриваемых показателей. Следовательно, временной ряд – это более общее понятии, включающее, как динамические, так и статистические последовательности уровней какого-либо показателя.
Временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления.
Классификация временных рядов.
Каждый временной ряд включает 2 обязательных элемента:
2. конкретное значение показателей (уровень ряда)
Временной ряд различаю по следующим признакам:
1. повремени:
а) моментный ряд, характеризующий изучаемое явление в конкретный момент времени
б) интервальный, т.е., уровень ряда, характеризующий признак за определенный период времени
2. по форме представления:
а) абсолютных величин
б) относительных величин
в) средних величин
3. по расстоянию между датами или интервалами времени:
а) полные ряды, когда даты следуют друг за другом с равными интервалами-
б) неполные.
а) частных показателей, характеризующих явления односторонне, изолированных
б) ряды агрегированных показателей, т.е. характеризующих явления комплексно.
Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов. Условно их можно подразделить на 3 группы:
1) факторы, формирующие тенденцию ряда
2) факторы, формирующие цикличность колебаний ряда
3) случайные факторы
При статистическом изучении динамики, необходимо четко разделять 2 основных ее элемента:
1) тенденцию
2) колеблемость,
чтобы с помощью специальных показателей дать каждому из них, количественную характеристику
Колеблемость – это отклонение уровней отдельных периодов времени от тенденции динамики.
Тренд – это устойчивая тенденция во временном ряду, более или менее свободная от случайных колебаний.
Тенденции изменения показателей сложных общественных явлений только приближенно можно выразить тем или иным уравнением, линией тренда.
Во временных рядах обычно различают тенденции трех видов.
Тенденция среднего уровня выражается обычно с помощью математического уравнения линии, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. Уравнение имеет следующий вид: ƒ.
Смысл этой функции заключается в том, что значения тренда в отдельные моменты времени выступают математическими ожиданиями ряда динамики.
Тенденция дисперсии характеризует тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.
Тенденция автокорреляции характеризует связь между отдельными уровнями ряда динамики.
Общие составляющие компоненты временного ряда y или :
: Регулярная (основная) компонента, характеризующая общую тенденцию ряда (тренд)
v:Сезонная компонента (внутригодичные колебания) в общем виде - циклическая составляющая
e: Случайная компонента (случайные отклонения).
Как видим, все компоненты, которые формируют уровень временного ряда, подразделяются на три группы. Основной составляющей является тренд. Значения сезонной и случайной компонент остаются после выделения из него трендовой составляющей.
Если все составляющие компоненты найдены верно, то математическое ожидание случайной компоненты равно нулю и ее колебания около среднего значения постоянны.
При различных сочетаниях в изучаемом явлении этих элементов, временной ряд может иметь различные формы:
1) большинство временных рядов имеет тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Данные факторы, взятые в отдельности могут оказывать разнонаправленные воздействия, однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.
2) изучаемые показатели могут быть подвержены циклическим колебаниям, они могут носить сезонный характер.
3) Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклические компоненты, а каждый их следующий уровень образуется, как сумма среднего уровня ряда и некоторые случайные компоненты.
В реальных условиях временной ряд содержит чаще всего 3 компонента и каждый уровень ряда формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний, и случайной компоненты.
Уровни временного ряда можно представить как сумму или произведение всех его составляющих компонент (трендовой, сезонной и случайной). Модель, в которой все компоненты ряда представлены как сумма этих составляющих, называют аддитивной. Если факторы влияния представлены как произведение составляющих, то модель называют мультипликативной.
Основной задачей эконометрики при исследовании временного рядя является количественное выражение каждой из вышеперечисленных компонент для дальнейшего использования полученной информации. (для прогнозирования будущих значений ряда или построения модели двух или более временных рядов).
О качестве моделей регрессии можно судить также по значениям коэффициента корреляции (индекса корреляции) и коэффициента детерминации для однофакторной модели и по значениям коэффициента множественной корреляции и совокупного коэффициента детерминации для моделей множественной регрессии.
Чем ближе абсолютные величины указанных коэффициентов к 1, тем теснее связь между изучаемым признаком и выбранными факторами и, следовательно, с тем большей уверенностью можно судить об адекватности построенной модели, включающей в себя наиболее влияющие факторы.
Для оценки точности регрессионных моделей обычно используются те же статистические критерии точности, что и для трендовых моделей, в частности, средняя относительная ошибка аппроксимации. Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели. Если расчетное значение этого критерия со степенями свободы vi = ra-lHV2 = ra-m-l, где п - количество наблюдений и т - число включенных в модель факторов, больше табличного значения критерия Фишера при заданном уровне значимости, то модель признается значимой.
Привести формулы для получения точечной (интервальной) оценки прогнозного значения изучаемого показателя.
Что называется временным рядом, уровнем временного ряда?
Временно́й ряд (или ряд динамики) - собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде для каждого отсчёта должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки
Временным рядом называется ряд наблюдаемых значений изучаемого показателя, расположенных в хронологическом порядке или в порядке возрастания времени.
Отдельно взятый временной ряд можно представить как выборочную совокупность из бесконечного ряда значений показателей во времени.
Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
факторы, формирующие тенденцию ряда;
факторы, формирующие циклические колебания ряда;
случайные факторы
Уровнями временного ряда называются наблюдения
из которых состоит данный ряд.
Временной ряд называется моментным рядом , если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определённый момент времени.
Временной ряд называется интервальным рядом , если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определённый период времени.
Временной ряд называется производным рядом , если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей).
Исследование данных, представленных в виде временных рядов, преследует две основные цели:
1) характеристика структуры временного ряда;
2) прогнозирование будущих уровней временного ряда на основании прошлых и настоящих уровней.
Достижение поставленных целей возможно с помощью идентификации модели временного ряда.
Идентификацией модели временного ряда называется процесс выявления основных компонент, которые содержит изучаемый временной ряд.
Временные ряды могут содержать два вида компонент – систематическую и случайную составляющие.
Систематическая составляющая временного ряда является результатом воздействия постоянно действующих факторов.
Выделяют три основных систематических компоненты временного ряда:
2) сезонность;
3) цикличность.
Трендом называется систематическая линейная или нелинейная компонента, изменяющаяся во времени.
Сезонностью называются периодические колебания уровней временного ряда внутри года.
Цикличностью называются периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года определяют как длину цикла.
Какова цель построения и анализа временных рядов.
Практическое изучение временного ряда предполагает выявление свойств ряда и получение выводов о вероятностном механизме, порождающем этот ряд. Основные цели при изучении временного ряда следующие:
– описание характерных особенностей ряда в сжатой форме;
– построение модели временного ряда;
– предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений;
– управление процессом, порождающим временной ряд, путем выборки сигналов, предупреждающих о грядущих неблагоприятных событиях.
Достижение поставленных целей возможно далеко не всегда как из-за недостатка исходных данных (недостаточная длительность наблюдения), так из-за изменчивости со временем статистической структуры ряда.
Перечисленные цели диктуют в значительной мере, последовательность этапов анализа временных рядов:
Графическое представление и описание поведения ряда;
Выделение и исключение закономерных, неслучайных составляющих ряда, зависящих от времени;
Исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления закономерной составляющей;
Построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;
Прогнозирование будущих значений ряда.
При анализе временных рядов используются различные методы, наиболее распространенными из которых являются:
Корреляционный анализ, используемый для выявления характерных особенностей ряда (периодичностей, тенденций и т. д.);
спектральный анализ, позволяющий находить периодические составляющие временного ряда;
Методы сглаживания и фильтрации, предназначенные для преобразования временных рядов с целью удаления высокочастотных и сезонных колебаний;
Методы прогнозирования.
Анализ временных рядов - это анализ, основанный на исходном предложении, согласно которому случившееся в прошлом служит достаточно надежным указанием на то, что произойдет в будущем. Это также можно назвать проектированием тенденций.
Существует две основные цели анализа временных рядов : определение природы ряда и прогнозирование , т.е. предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям. Обе цели требуют, чтобы модель ряда была определена и более или менее формально описана. Как только модель определена, с ее помощью можно интерпретировать рассматриваемые данные - например, использовать ее для анализа наличия сезонного изменения цен на товары. Затем можно экстраполировать ряд на основе найденной модели, т.е. предсказать его будущие значения.
Указать общий вид и область применения модели аддитивной модели временного ряда.
Модели , где временной ряд представлен в виде суммы перечисленных компонентов называются аддитивными , если в виде произведения – мультипликативными моделями . Аддитивная модель имеет вид: Y = T + S + E.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Аддитивная модель применима в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет приблизительно одинаковые изменения на протяжении всей длительности ряда.
Наиболее фундаментальной является классическая мультипликативная модель временного ряда, широко используемая при анализе ежемесячных, ежеквартальных и ежегодных данных и потому чаще всего применяемая в экономических исследованиях.
Определить параметры аддитивной модели: тренд, сезонная компонента, ошибка модели.
Компоненты временного ряда
Уровни временного ряда являются суммой двух составляющих:
систематической (детерминированной, регулярной)
случайной (нерегулярной, непредсказуемой), не зависящей от времени
Регулярная составляющая, в общем случае, может складываться из тренда, циклической компоненты и сезонной компоненты. Однако, регулярная составляющая не обязательно должна включать все три компоненты.
Случайная (нерегулярная) компонента. Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:
факторы резкого, внезапного действия;
текущие факторы.
Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило , вызывает более значительные отклонения по сравнению со случайными колебаниями - иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.
Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.
Цель сезонной декомпозиции и корректировки временного ряда состоит в том, чтобы разложить ряд на составляющие: тренд, сезонную компоненту и нерегулярную составляющую.
В общем случае временной ряд можно представить из четырех различных компонент:
сезонной компоненты (обозначается St, где t обозначает момент времени)
тренда (Tt)
циклической компоненты (Ct)
случайной, нерегулярной компоненты (Et)
Разница между циклической и сезонной компонентой состоит в том, что последняя имеет регулярную (сезонную) периодичность, тогда как циклические факторы обычно имеют более длительный эффект, который, к тому же, меняется от цикла к циклу. Тренд и циклическую компоненту обычно объединяют в одну тренд-циклическую компоненту (TtCt) (для простоты обозначений далее TtCt->Tt). Конкретные функциональные взаимосвязи между этими компонентами могут иметь самый разный вид. Однако можно выделить два основных способа, с помощью которых они могут взаимодейс твовать - аддитивно и мультипликативно:
Аддитивная модель: Уt = TCt + St + Et
Мультипликативная модель: Уt = Tt*Ct*St*Et
Модель смешанного типа: Уt = Tt*Ct*St+Et
Выбор одной из трех моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:
Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней .
Расчет значений сезонной компоненты S .
Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Y - S=T + E) в аддитивной или (Y: S=T * E) в мультипликативной модели.
Аналитическое выравнивание уровней (T + E) или (T * E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.
Расчет полученных по модели значений (T + E) или (T * E).
Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если из временного ряда удалить тренд (Tt) и периодические составляющие (Ct и St), то останется нерегулярная компонента (Et), так называемая, ошибка. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок (Et) для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Скользящее среднее
Прежде, чем рассчитывать сезонную компоненту (S), исходный временной ряд необходимо выровнять. Для этого применяются методы механического выравнивания, к которым относятся:
метод скользящих средних;
метод экспоненциального сглаживания;
метод медианного сглаживания и др.
Вычисляя скользящее среднее для временного ряда, интервал сглаживания (ширина окна) берется равным периоду сезонности. Если период сезонности - четное число, можно выбрать одну из двух возможностей:
в случае взвешенного скользящего среднего, брать скользящее среднее с одинаковыми весами или же с неравными весами так, что первое и последнее наблюдения в окне имеют усредненные веса.
в случае простого скользящего среднего, необходимо провести процедуру центрирования, которая заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.
После определения скользящих средних вся сезонная (т.е. внутри сезона) изменчивость будет исключена и поэтому разность (в случае аддитивной модели) или отношение (для мультипликативной модели) между наблюдаемым (Yi) и сглаженным рядом (Ŷt) будет выделять сезонную составляющую плюс нерегулярную компоненту.
Таким образом, результатом процедуры сглаживания будет временной ряд выровненных значений Ŷt, не содержащий сезонной компоненты. То есть: ряд скользящих средних вычитается из наблюдаемого ряда (Yi-Ŷt) (в аддитивной модели) или же значения наблюдаемого ряда делятся на значения скользящих средних (Yi:Ŷt) (в мультипликативной модели).
Сезонная составляющая
На следующем шаге вычисляется сезонная составляющая, как среднее (для аддитивных моделей) или урезанное среднее (для мультипликативных моделей) всех значений ряда, соответствующих данной точке сезонного интервала по аналогичным временным периодам, с последующей сезонной корректировкой ряда.
Если временной ряд представлен аддитивной моделью, то в качестве сезонной компоненты (составляющей) используется показатель абсолютного отклонения – SΔi (S->SΔi). Сумма всех сезонных компонент, т.е. показателей абсолютных отклонений SΔi должна быть равна нулю.
Если временной ряд представлен мультипликативной моделью, то в качестве сезонной компоненты используется индекс сезонности – Isi (S->Isi). Среднее всех сезонных компонент, т. е. индексов сезонности Isi, должно быть равно единице.
Обычно сумма индексов сезонности хотя и незначительно, но отличается от 4 (для четырех кварталов сумма индексов должна быть равна 4, для года - 12, а их средняя равна 1,00), то для устранения этих расхождений определяется поправочный коэффициент как отношение теоретической суммы индексов (4,0) к фактической величине их суммы.
Показатель абсолютного отклонения в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней временного ряда:
Индекс сезонности в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отношений фактического уровня временного ряда к выровненному:
Если, при построении аддитивной модели временного ряда, сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных компонент по формуле:
где L – общее количество сезонных компонент (уровни временного ряда могут быть представлены в виде квартальных показателей, либо детализированы по месяцам за весь временной отрезок). При этом, для определения среднего значения отклонений для соответствующего периода, все отклонения необходимо сгруппировать (соответственно, по аналогичным кварталам или месяцам каждого года) и только потом определить среднюю величину отклонений, на которую и будет произведена корректировка. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В случае с поквартальным представлением уровней временного ряда, число периодов одного цикла равно 4.
Уровни исходного временного ряда корректируются на величину сезонной компоненты следующим образом:
1) для аддитивной модели: из исходных уровней вычитаются скорректированные показатели абсолютных отклонений
SΔi (S->SΔi) (Уt=TtCt+St+Et отсюда: Y - SΔскорр.=T+E)
2) для мультипликативной модели: уровни исходного временного ряда делятся на скорректированные индексы сезонности
Isi (S->Isi) (Уt=Tt*Ct*St*Et отсюда: Y: Isскорр.=T*E)
(Смотри на примере: Сезонная корректировка временного ряда)
На следующем этапе построения модели временного ряда осуществляется расчёт трендовой компоненты с помощью метода аналитического выравнивания функциями времени y=f(t) или кривыми роста. Данный метод выравнивания применяют не к исходному временному ряду, а к временному ряду с исключённой сезонной компонентой. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию (T) и случайную компоненту (E).
Тренд-циклическая компонента
Циклическая компонента отличается от сезонной компоненты тем, что продолжительность цикла больше, чем один сезонный период (год) и разные циклы могут иметь разную продолжительность. Периодическая компонента рассматривается как долговременное колебательное изменение уровней - долгопериодическая функция. Примерами долговременной циклической компоненты могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы; соответствующая реакция экономики страны, находящейся в определенной фазе своего развития: I – фаза кризиса; II – фаза депрессии; III – фаза оживления; IV – фаза подъема и стабилизации. Теория циклического развития создает основу для преодоления экстраполяционных подходов в построении прогнозов, для достоверного учета нелинейности экономической динамики. Ориентация на цикличный характер развития способствует верному выявлению и отражению в прогнозах предстоящих критических или поворотных точек в трендовом движении.
Развитие цивилизаций Случайная или нерегулярная компонента
На последнем шаге выделяется случайная или нерегулярная компонента (погрешность, шум, ошибка) путем вычитания из ряда с сезонной поправкой (аддитивная модель) или делением этого ряда (мультипликативная модель) на тренд-циклическую компоненту.
Привести схему построения аддитивной модели временного ряда.
Алгоритм построения аддитивной модели
Построение аддитивной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.
3 Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E).
4 Аналитическое выравнивание уровней (T + E) с использованием полученного уравнения тренда.
5 Расчет полученных по модели значений (T + E).
Указать формулу расчета прогнозного значения по аддитивной модели временного ряда.
Прогнозирование по аддитивной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент
Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитываются как
F = Т + S+/-E (тыс. шт. за квартал),
где трендовое значение Т, сезонная компонента S , Е - ошибка прогноза
Привести схему построения мультипликативной модели временного ряда .
Алгоритм построения мультипликативной модели
Построение мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1 Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2 Расчет значений сезонной компоненты S.
3 Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T x E).
4Аналитическое выравнивание уровней (T x E) с использованием полученного уравнения тренда.
5 Расчет полученных по модели значений (T x E).
6 Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Указать формулу расчета прогнозного значения по мультипликативной модели временного ряда.
Прогнозирование по мультипликативной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в мультипликативной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для мультипликативной модели фактическое значение рассчитывается по формуле:
Расчет фактического значения в мультипликативной модели
Т - трендовое значение S - сезонная вариация Е - ошибка прогноза
Описать схему построения модели прогнозирования на основе временных рядов при отсутствии сезонных колебаний.
Какие формулы расчета точечной и интервальной оценки прогнозного значения применяются в модели временного ряда при отсутствии сезонных колебаний?
В чем заключаются ошибки 1-го и 2-го рода временного ряда
Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.
Временной ряд х t (t=1; n ) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.
Каждый временной ряд х t складывается из следующих основных составляющих (компонентов):
- Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом (Т ).
- Циклической или периодической составляющей, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Колебания представляют собой отклонения фактических уровней ряда от тренда. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям. Сезонные колебания (S ) – периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку. Конъюнктурные колебания (К) связаны с большими экономическими циклами, период таких колебаний – несколько лет.
- Случайной составляющей, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е ).
В зависимости от взаимосвязи между составляющими может быть построена либо аддитивная модель : =T+K+S+E, либо мультипликативная модель : =T·K·S·E ряда динамики.
Для определения состава компонентов (структуры временного ряда)
в модели временного ряда строят автокорреляционную функцию.
Автокорреляция – корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг). То есть, автокорреляция - это связь между рядом: x 1 , x 2 , ... x n-l
и рядом x 1+l , x 2+l , ...,x n
, где L - положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции:
,
где 
,
– средний уровень ряда (x 1+L , x 2+L ,...,x n
),
средний уровень ряда (x 1 , x 2 ,..., x n-L),
s t
, s t-L
– средние квадратические отклонения, для рядов (x 1+L
, x 2+L ,..., x n
) и (x 1 , x 2 ,..., x n-L
) соответственно.
Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L =1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка r t,t-1 , если L =2, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка r t,t- 2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n /4.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (L), при котором автокорреляция (r t,t-L ) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .
- Если наиболее высоким оказывается значение коэффициента автокорреляции первого порядка r t,t- 1 , то исследуемый ряд содержит только тенденцию.
- Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции r t,t-L порядка L , то ряд содержит колебания периодом L .
- Если ни один из r t,t-L не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
- либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.
Рассмотрим на примере как построить коррелограмму, чтобы определяется структуру временного ряда.
Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой –х
(усл.ед.) за 3 года:
|
1993 |
1994 |
1995 |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
Чтобы построить коррелогорамму для нашего примера, исходный ряд динамики дополним рядами из уровней этого ряда, сдвинутыми во времени (таблица 6).
Таблица 6
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
х t |
- |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-1 =0,537 |
|
x t-1 |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
|
|
х t |
- |
- |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-2 =0,085 |
|
х t-2 |
- |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
|
|
х t |
- |
- |
- |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-3 =0,445 |
|
х t-3 |
- |
- |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
|
|
х t |
- |
- |
- |
- |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-4 =0,990 |
|
х t-4 |
- |
- |
- |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
|
|
х t |
- |
- |
- |
- |
- |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-5 =0,294 |
|
х t-5 |
- |
- |
- |
- |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
Рассчитаем коэффициенты корреляции:
1-ого порядка для рядов х t и х t -1 ,
2-ого порядка для рядов х t и х t -2 ,
3-его порядка для рядов х t и х t -3 ,
4-ого порядка для рядов х t и х t -4,
5-ого порядка для рядов х t и х t -5
Результаты расчетов представлены в таблице 7.
Таблица 7
|
Лаг (порядок) – L |
r t,t-L |
Коррелограмма |
|
1 |
0,537 |
**** |
|
2 |
0,085 |
* |
|
3 |
0,445 |
*** |
|
4 |
0,990 |
***** |
|
5 |
0,294 |
** |
Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. r t,t-1 =0,537 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. r t,t-4 =0,99 →1).
Построение модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель
).
Процесс построения модели временного ряда (х
), содержащего n
уровней некоторого показателя за Z
лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:
1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней
(х c
). Произведем выравнивание исходного ряда взятого из примера, рассмотренного выше, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 9 (столбец 4).
2) Расчет значений сезонной составляющейS i , i=1;L ,
где L
– число сезонов в году. Для нашего примера L =4 (сезоны - кварталы).
Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x-x c
(столбец 5, таблица 9). Для дальнейшего расчета S i
построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x -x c
. По этим данным рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке (S c i)
. Если сумма всех средних оценок равна нулю (), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (S i =S c i
). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу (
). Для нашего примера расчет значений S i
представлен в таблице 8.
Таблица 8
|
Номер сезона |
Год 1 |
Год 2 |
Год 3 |
Средняя оценка сезонной составляющей |
Скорректированная оценка сезонной составляющей S i |
|
1 |
- |
-66,67 |
-70,00 |
-68,33 |
-67,15 |
|
2 |
-1,67 |
-5,00 |
-1,67 |
-2,78 |
-1,60 |
|
3 |
123,33 |
180 ,00 |
183,33 |
162,22 |
163,40 |
|
4 |
-78,33 |
-113,33 |
- |
-95,83 |
-94,66 |
|
Итого |
|
|
|
-4, 72 |
0 |
3) Устранение влияния сезонной составляющей из исходного ряда динамики : x S = x-S i . Результаты расчета x S для нашего примера представлены в столбце 6 таблицы 9.
4) Аналитическое выравнивание уровней x S (построение тренда): .
Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. Для этого вводится новая условная переменная времени t y , такая, что åt y =0. Уравнение тренда при этом будет следующим:
.
При нечетном числе уровней ряда динамики для получения å t y =0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (периоду или моменту времени, соответствующему данному уровню присваивается нулевое значение). Даты времени, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3 ...), а даты времени, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (1 2 3 ...).
Если число уровней ряда четное, периоды времени левой половины ряда (до середины) нумеруются –1, -3, -5 и т.д. А периоды правой половины - +1, +3, +5 и.т.д. При этом åt y будет равна 0.
Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:
Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:
.
Интерпретация параметров линейного уравнения тренда
:
- уровень ряда за период времени t у =0;
- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.
В нашем примере четное число уровней ряда: n=12. Следовательно, условная переменная времени для 6-ого элемента ряда будет равна –1, а для 7-ого +1. Значения переменной i y содержатся во 2-ом столбце таблицы 9.
Параметры линейного тренда будут: =14257,5/572=24,93; =8845/12=737,08. Это значит, что с каждым кварталом объем выпуска товара в среднем увеличивается на 2∙28,7 усл.ед. А средний за период с 1993 по 1995гг объем выпуска составил 738,75 усл.ед.
Рассчитаем значения трендовой компоненты по формуле
(столбец 7 таблицы 9).
5) Учет сезонной составляющей в выровненных уровнях ряда (=T+S ). Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 8 таблицы 9.
6) Расчет абсолютной ошибки временного ряда (Е= x- ) осуществляется для оценки качества полученной модели. Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 9 таблицы 9.
Таблица 9
|
T |
t у |
x |
x c |
x- x c |
x s |
T |
|
E |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
-11 |
410 |
- |
- |
477,15 |
462,9 0 |
395,75 |
14,25 |
|
|
2 |
-9 |
560 |
561,67 |
-1,67 |
561,60 |
512,75 |
511,15 |
48,85 |
|
|
3 |
-7 |
715 |
591,67 |
123,33 |
551,60 |
562,60 |
726,00 |
-11,01 |
|
|
4 |
-5 |
500 |
578,33 |
-78,33 |
594,65 |
612,45 |
517,80 |
-17,80 |
|
|
5 |
-3 |
520 |
586,67 |
-66,67 |
587,15 |
662,31 |
595,15 |
-75,15 |
|
|
6 |
-1 |
740 |
745 ,00 |
-5 ,00 |
741,60 |
712,16 |
710,56 |
29,44 |
|
|
7 |
1 |
975 |
795 ,00 |
180 ,00 |
811,60 |
762,00 |
925,41 |
49,59 |
|
|
8 |
3 |
670 |
783,33 |
-113,33 |
764,65 |
811,86 |
717,21 |
-47,21 |
|
|
9 |
5 |
705 |
775 ,00 |
-70 ,00 |
772,15 |
861,71 |
794,56 |
-89,56 |
|
|
10 |
7 |
950 |
951,67 |
-1,67 |
951,60 |
911,56 |
909,97 |
40,03 |
|
|
11 |
9 |
1200 |
1016,67 |
183,33 |
1036, 60 |
961,41 |
1124,82 |
75,18 |
|
|
12 |
11 |
900 |
- |
- |
994,65 |
1011,27 |
916,61 |
-16,61 |
|
Итого |
8845 |
|
|
8845 ,00 |
8845 ,00 |
8845 ,00 |
16,61 |
||
Значимость параметров линейного уравнения тренда (Т ) определяется на основе t -критерия Стьюдента также как и в линейном парном регрессионном анализе.
Прогнозирование по аддитивной модели
.
Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n
+1). Точечный прогноз значения уровня временного ряда х n+1
в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i
–ому сезону прогноза): =T n+1 +S i .
Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:
m р =
,
где h
- число параметров в уравнении тренда;
t yp
– значение условной переменной времени для периода прогнозирования.
Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: D р =t a
· m р
,
где t a
- коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным (n-h
).
Окончательно получим: (-D р; +D р).
Временной ряд - это набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, называются уровнями временного ряда или элементами. Под длиной временного ряда понимают количество входящих в него уровней n . Временной ряд обычно обозначают Y(t), или, где t= 1,2,…,n.
В общем случае каждый уровень временного можно представить как функцию четырех компонент: f (t ), S (t ), U (t ), (t ) , отражающих закономерность и случайность развития.
Где f (t ) - тренд (долговременная тенденция) развития; S (t ) - сезонная компонента; U (t ) -циклическая компонента; (t )- остаточная компонента.
В модели временного ряда принято выделять две основные составляющие: детерминированную (систематическую) и случайную. Под детерминированной составляющей временного ряда понимают числовую последовательность, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени t . Исключив детерминированную составляющую из данных, мы получим колеблющийся вокруг нуля ряд, который может в одном предельном случае представлять случайные скачки, а в другом - плавное колебательное движение.
Детерминированная составляющая может содержать следующие структурные компоненты:
- 1) тренд, или тенденция f (t ), представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. Обычно тренд (тенденция) описывается с помощью той или иной неслучайной функции f тр (t ) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда, или просто - трендом.
- 2) Сезонная компонента s(t) связана с наличием факторов, действующих с заранее известной периодичностью. Это регулярные колебания, которые носят периодический или близкий к нему характер и заканчиваются в течение года.
- 3) Типичные примеры сезонного эффекта: изменение загруженности автотрассы по временам года, пик продаж товаров для школьников в конце августа - начале сентября. Спрос на пластические операции сезонный: в осенне-зимний период обращений больше. Типичным примером являются сильные колебания объема товарно-материальных запасов в сезонных отраслях Сезонная компонента со временем может меняться, либо иметь плавающий характер.
- 4) Циклическая компонента u (t ) - неслучайная функция, описывающая длительные периоды (более одного года) относительного подъема и спада и состоящая из циклов переменной длительности и амплитуды. Примером циклической (конъюнктурной) компоненты являются волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п. Подобная компонента весьма характерна для рядов макроэкономических показателей. Здесь циклические изменения обусловлены взаимодействием спроса и предложения, а также наложением таких факторов, как истощение ресурсов, погодные условия, изменения в налоговой политике и т.п. Отметим, что циклическую компоненту крайне трудно идентифицировать формальными методами, исходя только из данных изучаемого ряда.
- 5) Случайная компонента (t ) - это составная часть временного ряда, оставшаяся после выделения систематических компонент. Она отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера и представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению. Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда.
Задача анализа временных рядов состоит в том, чтобы с помощью детерминированной компоненты предсказывать прогнозное значение временного ряда, а с помощью случайной компоненты предсказывать величину возможного отклонения и вероятность такого отклонения.
Требования к исходной информации: Для того, чтобы анализ временного ряда обладал в нужной степени достоверностью в первую очередь необходимо обеспечить качество исходной информации:
- 1. Данные должны быть сопоставимы;
- 2. Данные должны быть однородными;
- 3. Данные должны быть устойчивыми;
- 4. Необходим достаточно большой объём данных
В анализе случайного компонента экономических временных рядов важную роль играет сравнение случайной величины с хорошо изученной формой случайных процессов - стационарными случайными процессами.
Стационарным процессом в узком смысле называется такой случайный процесс, вероятностные свойства которого с течением времени не изменяются. Он протекает в приблизительно однородных условиях и имеет вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения. Причем ни средняя амплитуда, ни его частота не обнаруживают с течением времени существенных изменений.
Однако на практике чаще встречаются процессы, вероятностные характеристики которых подчиняются определенным закономерностям и не являются постоянными величинами.
Поэтому в прикладном эконометрическом анализе используется понятие слабой стационарности (или стационарности в широком смысле), которое предполагает неизменность во времени среднего значения, дисперсии и ковариации временного ряда. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно и автокорреляционная функция зависит только от длины временного интервала.
В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель:
Y (t) =f (t )+ S (t )+U (t )+(t );
либо мультипликативная модель:
Y (t) =f (t ) S (t ) U (t )+ (t )
временного ряда.
В процессе формирования значений временных рядов не всегда участвуют все четыре компоненты. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной составляющей.