Процесс определения текущей стоимости денег называется дисконтированием.

Наиболее распространенное применение дисконтирования :
1) авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, т.е. до наступления срока ее погашения; 2) учет векселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока гашения; 3) оценка облигаций путем дисконтирования будущих купонных платежей, а также оценка акций на основе использования модели дисконтирования дивидендов.

Выделяют два вида дисконтирования – математическое дисконтирование (приведение по вкладу) и банковский учет (приведение по платежу).

Математическое дисконтирование определяет современное или приведенное значение Р на некоторый момент времени T, которое соответствует заданному значению F в другой момент времени t. Таким образом, математическое дисконтирование – это формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени. Можно еще определить математическое дисконтирование как приведение по вкладу Р – это такой подход к расчету искомой предшествующей суммы Р, который дает сумму F (известную к началу расчета) при начислении процентов (простых или сложных) через n периодов. В этом случае за базовую величину, то есть за 100% принимается размер вклада Р.

Величину Р, найденную с помощью процесса дисконтирования, называют в зависимости от контекста приведенной (современной, текущей, капитализированной) стоимостью.

Приведем некоторые из формул математического дисконтирования.

1. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по простой процентной ставке равно:

где r – простая годовая процентная ставка;

n – период начисления процентов;

k D - коэффициент дисконтирования (приведения), равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при простой процентной ставке.

2. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной процентной ставке равно:

где r с – сложная процентная ставка за единичный период начисления;

n – число периодов начисления процентов;

k DC - коэффициент дисконтирования, равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при сложной процентной ставке.

Формулы (1) и (2) используются в частности для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и прочих ценных бумаг.

Пример 1. Из какого капитала можно получить 3,4 млн. руб. через 3 года наращения по простым процентам при ставке 12%?

Решение . Р=3,4/ (1*30,12)=2,5 млн. руб. Дисконт=Р 2 -Р 1 =F-P=3,4-2,5=0,9 млн. руб.

Пример 2. Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с приближенным числом дней?

Решение . Д=F-P=2,14-2=0,14 т.р.

Банковское дисконтирование или приведение по платежу (второй подход) состоит в том, что неизвестен размер платежа, к которому придем при удержании с конечной суммы F за срок n. В этом случае за 100% берется будущая сумма F.

Формула дисконтирования приведением по платежу по простым процентам: P n =F-n*d*F=F(1-nd), где d – учетная ставка, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы F на один период назад.

Формула дисконтирования приведением по платежу по сложным процентам: P n =F(1-d) n .

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств банком. Поэтому далее в задачах будет использовано понятие векселя. Вексель – это долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал векселя F) в конкретный срок. Вексель может быть простым, переводным, коммерческим, казначейским и т.д. Чаще всего работа с векселем – это принятие векселя к погашению. Учет векселя означает оплату векселя с дисконтом, т.е. со скидкой с его номинала. Дисконт представляет собой проценты, начисленные за время n от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму F, подлежащую оплате в конце срока. Чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Вексель, допускающий участие третьих лиц, называется переводным или траттой. Учет векселя чаще всего осуществляется способом: приближенное число дней в году (360) и точное число дней в периоде от момента учета векселя до момента погашения (365/360). Приведем некоторые из формул банковского учета, содержащие дисконт.

Для простой учетной ставки:

1. Если срок n от даты учета до даты погашения составляет часть года, то дисконт определяется по формуле где

d –относительная величина годовой учетной ставки;

t- период начисления в днях; К- количество дней в году.

2. Цена покупки векселя банком или сумма, выдаваемая предъявителю учитываемого денежного обязательства по простой учетной ставке, рассчитывается по формуле:

F-номинальная сумма данного обязательства;

Р- цена покупки векселя банком или это деньги, которые получает владелец векселя, в случае операции дисконтирования;

D d -дисконт, сумма процентных денег;

(1-nd) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.

3. Процентный доход покупателя (банка) векселя по простой ставке:
Для сложной учетной ставки:

4. Формула для определения стоимости капитала, учтенного за n лет при m-кратном дисконтировании в течение года, примет вид:

С ростом числа дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.

Для облегчения расчетов при удержании сложных процентов используются дисконтные множители , которые показывают, во сколько раз уменьшится сумма при удержании с нее сложных процентов по ставке d в течение n промежутков удержания: Dis(n,d)=(1-d) n .

5. Соотношение между простыми годовыми процентными ставками r и d, обеспечивающими через период времени n получение одной и той же наращенной величины F из начального капитала Р: d(1+nr)=r.

Ставки d и r, связанные между собой этим соотношением называются эквивалентными, так как они приводят к одинаковому финансовому результату.

Пример . 3. Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 19%, при наращении капитала за год.

Решение . N=1, r =0,19, d=0,19/(1+0,19)»0,15966, d»16%. Т. о., учет за год по учетной ставке 16% приносит такой же доход, как наращение простыми процентами по ставке 19%.

Если время измеряется в днях t, n=t/T, где Т – временная база, равная количеству дней в году. В этом случае

Пример 4. Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по учетной ставке 12%, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по процентной ставке при временной базе, равной 365.

Решение . Если разные временные базы, то получим равенство: . Отсюда следует, что

нахождения сложной годовой учетной ставки.

Пример 5. Вексель был учтен за полтора года до срока, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

Решение . P=0,8; n=1,5; при m=1 d=1-0,8 1/1,5 =0,1382, т.е. d=13,82%

Пример 6. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 т.р. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую получит векселедержатель.

Решение . P=f*(1-nd)=50*(1-15/360*0,3)=49,375 т.р.

Непрерывное наращение и дисконтирование. Уменьшая частоту начисления в пределе можно перейти к непрерывным процентам. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Где е примерно равно 2,718281 –число Эйлера и r (¥) =d -обозначение непрерывной ставки и называют ее силой роста. Сила роста характеризует интенсивность наращения за год при непрерывном начислении процентов.

Аналогично другим множителям наращения е d n равен индексу роста суммы Р за n лет.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач (при выборе и обосновании инвестиционных решений). Также бывает целесообразно предполагать при оценке работы учреждения за период, в котором платежи поступают многократно, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени, и применять непрерывное начисление процентов.

Бывают ситуации, когда непрерывное начисление процентов применяется непосредственно и при работе с клиентами.

Пример. На вклад в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Найти наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим образом: в первые 2 года равна 8%, в следующие три года 10% и в каждый оставшийся год увеличивается на о,5%.

Решение .

Кредитные операции также связаны с дисконтированием. Рассмотрим операцию удержания процентов с суммы, взятой заемщиком в кредит. Проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму Р за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, которую следует вернуть. Удержание процентов можно проводить по простым и сложным процентам:

1. , где d – простая учетная ставка;

2. , где d с - сложная учетная ставка;

3. Срок, на который выдан кредит, рассчитывается по формуле: ,

4. Учетная ставка рассчитывается по формуле:

5. При непрерывном исчислении процентов, т.е. при мультиплицирующий множитель М(m, r/m) имеет предел, равный е r , где е-основание натуральных логарифмов (е=2,71). Непрерывным наращением процентов по ставке r называется увеличение суммы в е r раз за единичный промежуток начисления. Непрерывным дисконтированием называется обратная операция непрерывному наращению, т.е. уменьшение суммы в е i раз за единичный промежуток. Также справедливо следующее соотношение: .

Пример .На сумму в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты по ставке 8%. Определить наращенную сумму за 5 лет.

Логика построения основных алгоритмов по решению инвестиционных задач достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV – PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается как отношение приращения исходной суммы к базовой величине, и качестве которой, очевидно, можно взять либо PV, либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще названия "процентная ставка", а второй - "учетная ставка", "дисконтная ставка". Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения.

Как же соотносятся между собой эти показатели? Очевидно, что r t >d t , а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если r t = 8%, а d t = 7,4%, то расхождение сравнительно невелико; если r t = 80%, то d t = 44,4%, т.е. ставки существенно различаются по величине.

В прогнозных расчетах (например, при оценке инвестиционных проектов), обычно имеют дело с процентной ставкой. Как правило, расчеты проводится в относительно стабильной экономике, когда уровни процентных ставок невелики и сравнительно предсказуемы в том смысле, что их значения не могут измениться в несколько раз. Если вероятна значительная вариабельность процентных ставок, должны применяться другие методы анализа и принятия решений, основанные главным образом на неформализованных критериях.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина - наращенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приведенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дисконтирования. В первом случае речь о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему.

Пример 4. Предприятие получило кредит на один год в размере 500 тыс.руб с условием возврата 1000 тыс. руб. В этом случае процентная ставка равна 100%, а дисконт - 50%:

В практике финансово-экономических расчетов часто требует определить будущую стоимость размещенных средств, но и решать обратную задачу: по сумме будущих размещенных средств определять требуемые суммы вложений, то есть осуществлять процесс дисконтирования.

В этих расчетах величина РV называется приведенной современной стоимостью суммы РV, а при операции наращения сумма FV выступает как будущая стоимость величины РV.

Следует иметь в виду, что привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции. Кроме того, с помощью дисконтирования определяют современную стоимость денег независимо от того, действительно ли совершалась кредитная операция и можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Из формул наращения процентов производится обратное действие, или расчет денежных средств, предоставляемых в долг (величины РV). Такой способ начисления дохода называется математическим дисконтированием.

На практике подобные расчеты встречаются не часто. Например, для определения суммы капитала, которую нужно инвестировать под определенные проценты, чтобы получить требуемую сумму денег, а также чтобы начислить проценты, удерживаемые вперед при выдаче ссуды.

Пример 5. Ставка размещения краткосрочных денежных ресурсов для банков на 3 суток составляет 28% годовых. Какой объем средств необходимо разместить, чтобы в результате операции поступило 1,5 млн руб. (точные проценты).

Пример 6. Подлежащая возврату сумма долга - 10 млн руб. Определить сумму начисленных процентов, если срок ссуды 1 год, декурсивная ставка процентов 30% годовых.

Наиболее часто при анализе эффективности инвестиционных проектов проводят расчеты по дисконтированию с использованием сложной ставки процентов:

Пример 7. Определим сколько необходимо вложить денег в проект, будущая стоимость которого через 10 лет составит 200 млн.руб. Ставка дисконтирования за период составит 20%.

Пример 8. Ежегодно в конце года в течении 4 лет на счет поступают 50 тыс.руб. Определим будущую стоимость, если ежегодно в конце года осуществляется начисление сложных процентов при ставке 10%.

Наращенные отдельные платежи представляют геометрическую прогрессию. Тогда будущую стоимость можно определить по формуле:

Если вложения осуществляются чаще или реже, чем один раз в год, то формула модернизируется следующим образом:

n – количество платежей в год

j – ставка процентов

m – количество раз начисления процентов

Пример 9. Для погашения задолженности единовременным платежом через два года должником в кредитном учреждении создается погасительный фонд, в котором постепенно накапливаются достаточные для этого средства. Определим размер равных взносов в конце полугодия для создания через три года погасительного фонда в размере 500 млн.руб. Проценты на созданный фонд начисляются ежеквартально исходя из годовой ставки 26%.

Операции наращения и дисконтирования являются основами финансовой математики. Они применяются как в бизнесе, так и в обычной жизни, например, при оформлении депозитного вклада или потребительского кредита. Используя эти показатели, можно рассчитывать стоимость будущих денег на данный момент или сегодняшних средств в будущем. Такие операции являются основой финансового анализа инвестиционных инициатив.

Большинство из нас сталкивалось с понятием банковского процента при размещении денег на депозитном счету и просчитывало, какой пассивный доход удастся получить, благодаря удачному вложению. Дисконтированием в быту пользуются гораздо реже, его основная сфера применения – бизнес. Операции наращивания и дисконтирования, по сути, схожи между собой, но имеют разную направленность во времени:

• наращение направлено в будущее и показывает цену сегодняшним деньгам через определенное время;
• дисконтирование имеет обратный вектор и характеризует цену ожидаемых прибылей по состоянию на сегодняшний день с учетом дисконта.

Основным элементом, отражающим временной фактор, выступает процентная ставка. Ее можно понимать как цену за использование денег, взятых взаймы.

Ставка в финансовом менеджменте применяется как норма доходности проводимых операций. Она исчисляется в процентах или долях единицы в результате деления полученного дохода на объем инвестированных средств.

Проценты бывают двух видов:

• Декурсивные (обычные). Они выплачиваются в конце установленного договором периода. Применяются при страховании, а также оформлении депозитов и кредитов.
• Антисипативные (авансовые). Они начисляются на начальной стадии установленного временного отрезка относительно количества денег, которое ожидается в конце (с учетом процентов), и выплачиваются получателем сразу при оформлении кредита. Используются в расчетах с иностранными контрагентами, а также при работе с ценными бумагами дисконтированными.

Рыночная экономика дает возможность частным инвесторам, инвестиционным компаниям или предприятиям разместить свободные деньги на условиях возвратности, платности и срочности, преследуя такие цели:

• гарантирование сохранности своих финансовых ресурсов от обесценивания, вызванного инфляционными процессами;
• получение дополнительного дохода (курсового, дисконтного или процентного).

Если известны начальная и конечная сумма, а также период вложения, то по формулам можно рассчитать значения дисконтной и процентной ставок. Например, известно, что предприниматель взял трехлетний кредит на 300 тысяч рублей, а в конце должен возвратить банку 400 тысяч рублей:

r = (FV - PV) / PV * n = (400 - 300) / 300 * 3 = 100 / 900 = 0,11, то есть 11%.

d = (FV - PV) / FV * n = (400 - 300) / 400 * 3 = 100 / 1200 = 0,08, то есть 8%.

Всегда существуют предприниматели или компании, которые нуждаются в деньгах для развития своего бизнеса, они готовы платить за предоставленную им ссуду. С другой стороны, имеются учреждения или организации, готовые за плату предоставить необходимый ресурс. Важно только понимать, на какое время, и на каких условиях можно брать деньги в долг, чтобы остаться в выигрыше. Именно для прогнозирования процессов такого роды и применяются методы наращения и дисконтирования.

Метод наращивания капитала

Наращивание (компаундирование) представляет собой увеличение начальной суммы (PV, Present Value) капитала за счет прибавления к ней через определенное время процентов как следствие какой-то финансовой операции. После этого можно увидеть итоговую сумму (FV, Future Value).

Определяют две разновидности процентов:

• Простые, когда начисление вознаграждения производится один раз в конце срока вклада. Обычно они применяются в краткосрочных операциях (длительностью до одного года), по окончании срока которых нужно снимать всю сумму вместе с пассивным доходом, а при необходимости снова вкладывать ее и оформлять все заново.
• Сложные, когда при расчете выгоды от каждого временного отрезка, учитываются уже начисленные на начальную сумму проценты за предыдущий временной отрезок. Такая методика характерна для долгосрочных вкладов.

Формула простых процентов имеет такой вид:

FV = PV * (1 + r* n)

• r – процентная ставка;
• n – количество периодов времени.

Просчитаем наращение по простым процентам при вкладе 20 тысяч рублей сроком на 1 год по ставке 7% годовых:

FV = 20000 * (1 + 0,07 * 1) = 21400

Таким образом, сумма начисленных процентов за год составит 1400 рублей. Если на тех же условиях положить деньги на 3 года, то получим такой результат:

FV = 20000 * (1 + 0,07 * 3) = 24200 рублей.

Теперь рассмотрим вариант, при котором те же деньги вкладывают на 3 года под аналогичный процент с начислением вознаграждения ежегодно. Здесь можно применить формулу сложных процентов:

FVn = PV (1 + r) n

FV1 = FV1 + FV1 * r = PV (1 + r) = 20000 (1 + 0,07) = 21400 ;

FV2 = FV2 + FV2 * r = PV (1 + r)2 = 20000 (1 + 0,07)2 = 22898 ;

FV3 = FV3 + FV3 * r = PV (1 + r)3 = 20000 (1 + 0,07)3 = 2450 0

Из наших вычислений можно увидеть, что наращение с применением сложных процентов за 3 года составит 4501 рубль. Вспомним, что если бы речь шла о простых процентах, то вкладчик получил бы несколько меньшую сумму. Разница составляет 300 рублей (24500 - 24200). На первый взгляд, это совсем немного, однако когда речь идет о крупных вкладах это различие становится существенным.

Если же по условиям договора начисление процентов производится чаще, чем раз в году (ежеквартально или ежемесячно), то наращивание первоначальной суммы идет более высокими темпами. Чем чаще период начисления, тем быстрее растет вложенный капитал.

Метод дисконтирования капитала

Понятие дисконтирования является важнейшим элементом оценки и анализа денежных потоков, возникающих в результате инвестирования финансов в любые начинания. Использование дисконтирования при совершении сделок и заключении договоров дает возможность собственникам избежать убытков и заработать на своих вложениях.

Дисконтирование – это механизм приведения будущей стоимости средств к состоянию на момент расчета. Он дает возможность, зная размер конечной суммы FV, найти величину суммы PV, которую следует вложить. Примерами дисконтирования могут служить такие случаи:

• При оформлении депозита клиент хочет знать, сколько ему необходимо денег положить на счет, чтобы через 3 года у него было 400 тысяч рублей.
• При получении ссуды клиент сразу должен выплатить проценты за ее использование, такая сделка носит название учет, а проценты в таком случае называют дисконтом.
• При покупке векселя раньше наступления времени его оплаты (учет векселя). В этом случае банк выплачивает держателю сумму, которая меньше номинала, а разница между номиналом и реально полученной суммой называется дисконтом.

Поскольку дисконтирование и наращение, по сути, являются зеркальным отражением друг друга, то формула дисконтирования легко находится путем преобразования формулы наращивания:

PV = FV * 1/(1 + r) n

Ставка дисконтирования (d) и процентная ставка (r) взаимосвязаны между собой соотношениями, которые можно выразить таким образом:

d = r * (PV / FV) – определяется относительно начальной суммы

r = d * (FV / PV) – определяется относительно наращенного денежного показателя.

Решим несложную задачу. Человек желает купить новую модель автомобиля, которая выйдет на рынок через 3 года. Заявленная производителем ориентировочная стоимость автомобиля составляет 22 тысячи долларов. Необходимо найти, сколько денег требуется положить на депозит сейчас при ставке 7% годовых, чтобы через три года выйти на искомый показатель. Подставляем исходные данные в формулу дисконтирования:

PV = 22000 * 1 / (1 + 0,07) 3 = 22000 * 1 / 1,225 = 22000 * 0,8163 = 17959

Для выхода на показатель 22000 долларов, сегодня под 7% годовых следует вложить 17959 долларов.

В нашем случае все достаточно очевидно, поскольку размер процентной ставки известен заранее. Гораздо сложнее определить значение этого критерия в случае оценки инвестиционного предложения. В этом случае ставка определяется различными методами, в которых используются такие показатели, как средний банковский процент, величина активов компании, размер и рентабельность капитала, размер дивидендов по ценным бумагам, потенциальные риски. Кроме того, учитывается темп инфляции и общеэкономические ожидания.

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные опре­делению наращённой суммы: по уже известной наращённой сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращённой суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды.

Процесс начисления и удержания процентов вперёд, до наступ­ления срока погашения долга, называют учётом, а сами проценты в виде разно­сти наращённой и первоначальной сумм долга дисконтом (discount)".

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение зна­чения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Рисунок 6 - Логика финансовой операции дисконтирования

Не редко такой расчёт называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину РУ называют приведённой (современной или текущей) величиной FV. Таким образом, дисконтирование - приведение буду­
щих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращённой.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчётах фактор времени, поскольку даёт сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту вре­мени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дискон­тирования:

Математическое дисконтирование по процентной ставке;

Банковский учёт по учётной ставке.

Различие в ставке процентов и учётной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

В процентной ставке в качестве базы берётся первоначальная сумма

(1.29)

В учётной ставке за базу принимается наращённая сумма долга

РУ-РУ Л. (0°)

Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипатив- ными, а по учётной ставке - декурсивными.

Учётная ставка более жёстко отражает временной фактор, чем процент­ная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дискон­тирование в случае, когда процентная и учётная ставка равны по своей величине, то видно, что приведённая величина по процентной ставке больше приведённой величины по учётной ставке.

Математическое дисконтирование - определение первоначальной сум­мы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процент­ной ставки (/), позволит к концу срока получить указанную наращённую сумму для простых процентов:

РУ =---------- =---------- = РУ х (1 + пх /)-1 = РУ х кЛ, (1.31)

1 + п х I 1 + п х I

где кд - дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых про­центов.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первона­чальная сумма долга в величине наращённой суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает фи­нансовые расчёты.

Пример. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга. Решение:

Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:

РУ = 310000 х 1 / (1 + 150 / 360 х 0,08) = 300 000 руб.

РУ = 310000 х 0,9677419 = 300 000 руб. Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней - 10 тыс. руб. Для сложных процентов -

РУ = ГУ х(1 + 0-п = ГУ хка, (1.32)

где кд - дисконтный множитель для сложных процентов.

Если начисление процентов производится т раз в год, то формула примет

РУ = ГУ х

(1.33)

Пример. Через два года фирме потребуются деньги в размере 30 млн руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму? Решение:

Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что исполь­зуем формулу приведения для сложных процентов:

РУ = 30000000 х 1 / (1 + 0,25)2 = 19 200 000 руб.

РУ = 30000000 х 0,6400000 = 19 200 000 руб.

Таким образом, фирме следует разместить на счёте 19 200 000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30 000 000 руб.

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дис­контирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

Банковский учёт - второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Операция учёта (учёт векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т. е. приобретает его с дисконтом.

Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учёте векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продаёт большинство своих ценных бумаг.

Для расчёта дисконта используется учётная ставка:

Б = РУ - РУ = РУ х п х Л = РУ х ^ х Л, (1.34)

где п - продолжительность срока в годах от момента учёта до даты выплаты известной суммы в будущем.

РУ = РУ - РУх п х Л = РУ х (1 - п х Л), (1.35)

где (1 - п х ё) - дисконтный множитель.

Очевидно, что чем выше значение учётной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учётной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т. е. когда временная база при­нимается за 360 дней, а число дней в периоде берётся точным.

Пример. Вексель выдан на 5 000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учёл его в банке 19 августа по учётной ставке 8%. Определить сумму, получен­ную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта.

Для определения суммы при учёте векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств:

Отсюда, определяемая сумма:

РУ = 5000 х (1 - 90/360 х 0,08) = 4 900 руб.

Тогда дисконт составит:

Б = РУ - РУ = 5000 - 4900 = 100 руб.

Б = 5000 х 90/360 х 0,08 = 100 руб.

Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4900 руб., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб.

По сложной учётной ставке текущая величина составит:

РУ = РУ х (1 - !)п (1.36)

При использовании сложной учётной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т. к. учётная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.

Пример. Определить величину суммы, выдаваемую заёмщику, если он обязуется вернуть её через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учётной ставки 30%.

Используя формулу дисконтирования по сложной учётной ставке, опре­деляем:

РУ = 55000 х (1 - 0,3)2 = 26 950 руб.

Заёмщик может получить ссуду в размере 26 950 руб., а через два года вернёт 55 тыс. руб.

Объединение платежей можно производить и на основе учётной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолиди­рованного платежа рассчитывается по следующей формуле:

РУб =1 РУ} х (1 - с! х ^)Л (1.37)

где ^ - интервал времени между сроками векселей.

Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учётная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя.

Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей:

ї1 = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) - 1 = 113 дней, = 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1(октябрь) - 1 = 61 день.

Тогда, сумма консолидированного векселя будет равна: ¥У0 = 10000 х (1 - 113/360 х 0,25)-1 + 20000 х (1 - 61/360 х 0,25)-1 = 31 736 руб.

Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31 736 руб.

В том случае, когда учёту подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учётной ставке:

РУ2 = РУ1 х (1 + п х і) х (1 - п2 х й), (1.38)

где РУ1 - первоначальная сумма долга;

РУ2 - сумма, получаемая при учёте обязательства;

п1 - общий срок платёжного обязательства;

п2 - срок от момента учёта до погашения.

Пример. Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на неё точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учётной ставке 25%. Определить сум­му, полученную при учёте обязательства.

Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении и учёте:

РУ2 = 50000 х (1 + 100/365 х 0,4) х (1 - 25/360 х 0,25) = 54 516 руб.

Следовательно, сумма, получаемая при учёте данного обязательства, со­ставит 54 516 руб.

Операции наращения и дисконтирования.

Концепция стоимости денег во времени.

Временная ценность денежных вложений относится к одной из основных концепций, используемых в инвестиционном анализе. Необходимость учета временного фактора заставляет особое внимание уделять оценке базовых финансовых показателей. Разность в оценке текущих денежных средств и той же самой их суммы в будущем может быть связана с:

§ негативным воздействием инфляции, в связи с чем происходит уменьшение покупательной способности денег;

§ возможностью альтернативного вложения денежных средств и их реинвестирования в будущем (фактор упущенной выгоды);

§ ростом риска, связанного с вероятностью невозврата инвестированных средств (чем длительнее срок вложения капитала, тем выше степень риска);

§ потребительскими предпочтениями (лучше получить меньше доход в ближайшем периоде, чем ожидать большее, но в отдаленной перспективе).

В планируемом периоде анализ предстоящей реализации различного вида инвестиционных проектов может осуществляться по двум противоположным направлениям. С одной стороны, определяется будущая стоимостная оценка первоначальной величины инвестиций и доходов (дивидендов, процентов, прибыли, денежных потоков и пр.), полученных в результате осуществления этих капиталовложений. С другой стороны, приращенные в ходе инвестирования денежные средства оцениваются с позиции их текущей (настоящей) стоимости. В соответствии с этим в финансово-инвестиционном анализе используются операции дисконтирования и наращения капитала. Принципиальная схема инвестиционного анализа, осуществляемого с учетом временной ценности денежных вложений, представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема проведения инвестиционного анализа с использованием операций наращения и дисконтирования капитала

Операции наращения и дисконтирования.

При разработке оптимальных финансовых решений в определенных ситуациях требуется проведение оценки будущей стоимости инвестированных денежных средств. Нахождение будущей стоимости денежных средств по истечении одного периода времени и при известном значении темпа их прироста осуществляется по формуле

где FV 1 - будущая стоимость денежных средств в конце первого периода инвестирования (t=1), тыс. руб.;

РV - первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени (t = 0), тыс. руб.;

Процесс, в котором при заданных значениях PV и r необходимо найти величину будущей стоимости инвестированных средств к концу определенного периода времени (n) называется операцией наращения. В практике инвестиционного анализа «темп прироста» денежных средств принято называть «процентом», «ставкой процента» или «нормой рентабельности», а первоначальную сумму денежных средств - «текущей стоимостью» (РV).

Из предыдущей зависимости FV 1 от РV темп прироста денежных средств исчисляется по формуле:

Оценка будущей стоимости денежных вложений, инвестированных на срок более одного периода времени, - более сложная задача. Ответ на вопрос, какой будет будущая стоимость денежных средств в n -й период времени, зависит от того, простой или сложный процент будет применяться в расчетах. Использование простого процента (simple interest) свидетельствует о том, что инвестор будет получать доход (наращивать капитал) только с принципиальной суммы начальных инвестиций в течение всего срока реализации проекта. В противоположность данному подходу использование сложного процента (compound interest) говорит о том, что полученный доход (проценты, дивиденды или пр.) периодически добавляется к сумме начальной инвестиции, в результате помимо первоначальной суммы денежных средств процент берется также из накопленной в предыдущих периодах суммы процентных платежей или любого другого вида доходов. В математическом исчислении операция наращения с использованием сложных процентов к концу второго периода реализации проекта определяется по формуле

В конце n-гo периода времени будущая стоимость денежных средств (FV n) исчисляется по формуле:

Данная формула расчета FV n является базовой в инвестиционном анализе. Для облегчения процедуры нахождения показателя FV n предварительно рассчитывается величина множителя (1+r) n при различных значениях r и n. В этом случае FV n находим по формуле:

где FVIFr,n - фактор (множитель) будущей стоимости денежных вложений, коэф.

В инвестиционном анализе под стандартным временным интервалом принято рассматривать один год. В случае же, когда дополнительно оговаривается частота выплаты процентов по вложенным средствам в течение года, формула расчета будущей стоимости инвестированного капитала может быть представлена в следующем виде:

где r - годовая процентная ставка, коэф.;

m - количество начислений в году, ед.;

n - срок вложения денежных средств, год.

Начисление процентов (дивидендов или др.) может осуществляться ежедневно, ежемесячно, поквартально, один раз в полугодие и один раз в год. Характерно, что чем больше количество раз в течение года будут начисляться проценты, тем больше будет FV в конце n-го периода времени. Для целей анализа отношение r/m принято рассматривать в качестве процентной ставки, а произведение - n∙m в качестве срока инвестирования. Этот случай соответствует следующей экономической ситуации.

Пример. Коммерческая организация приняла решение инвестировать на пятилетний срок свободные денежные средства в размере 30 тыс. руб. Имеются три альтернативных варианта вложений. По первому варианту средства вносятся на депозитный счет банка с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 20 % годовых. По второму варианту средства передаются сторонней организации в качестве займа, при этом на переданную в долг сумму ежегодно начисляется 25 %. По третьему варианту средства помещаются на депозитный счет коммерческого банка с начислением сложных процентов по ставке 16 % годовых ежеквартально. Если не учитывать уровень риска, наилучший вариант вложения денежных средств может быть определен при помощи показателя FV n . По варианту I: FV n = 30 тыс. руб. × (1+0,2) 5 = 74,7 тыс. руб. По варианту II: FV n = 30 тыс. руб. + 5 × (30 тыс. руб. × 0,25) = 67,5 тыс. руб. По варианту III: FV n - 30 тыс. руб. × (1+0,16/4) 5∙4 = 65,7 тыс. руб. В данных условиях первый вариант более предпочтителен для предприятия.

Наращение денежных средств имеет максимальное (предельное) значение, когда интервал наращения становится бесконечно малым (количество начислений в году стремится к бесконечности). В этом случае показатель FV n определяется по формуле:

FV n = PV∙e r ∙ n

где е - трансцендентное число е, равное 2,718281...(постоянная величина).

В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой - утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм:

где - будущая стоимость денежных средств c учетом инфляции в конце n-ого периода инвестирования, тыс. руб.;

РV - первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени, тыс. руб.;

r - темп прироста денежных средств, коэф.

m - число начислений в году;

h - ожидаемый месячный темп инфляции;

n - число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 1000 тыс. руб. Номинальная годовая банковская ставка равна 16%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через 5 месяцев, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит :

Эрозия капитала составит: 663,2 тыс. руб. - 1000 тыс. руб. = - 336,8 тыс. руб.

Как и в случае с наращением капитала, для оптимального принятия финансовых решений чрезвычайно важно знать и учитывать в анализе временной интервал дисконтирования. Если начисление процентов планируется (или произошло) более одного раза в год, формулу для нахождения РV необходимо представлять в следующем виде:

Возможности практического использования показателя PV pacкрываются в различных экономических ситуациях, когда возникает необходимость обоснования финансово-инвестиционных решений с учетом временной ценности денежных вложений.

Одна из типичных ситуаций в инвестиционной деятельности хозяйствующих субъектов представлена ниже.

Пример. Коммерческая организация планирует приобрести помещения под склад и офис. Эксперты оценивают будущую стоимость недвижимости в размере 10 млн. руб. По банковским депозитным счетам установлены ставки в размере 18% с ежегодным начислением сложных процентов и 14% с ежеквартальным начислением сложных процентов. При помощи показателя PV можно определить, какую сумму средств необходимо поместить на банковский депозитный счет, чтобы через два года получить достаточную сумму для покупки недвижимости. Расчет оптимального варианта инвестирования осуществляется следующим образом: в первом случае PV = 10 млн руб. × (1/ 2) = 7,18 млн руб.; во втором случае РV = 10 млн. руб.∙(1/ 2 × 4) = 7,59 млн руб. Очевидно, что более выгодным для предприятия является вложение меньшей суммы средств, т.е. первый вариант.

Отношение 1/(1+r) n известно как фактор (множитель) текущей стоимости (РVIFr,n). Стандартные значения РVIFr,n могут быть найдены в специальных таблицах. Формула расчета PV уравнивает, с точки зрения инвестора, ценность денежных средств сегодня и ожидаемого к получению денежного потока в будущем.

При заданной величине дисконтной ставки текущая стоимость денежных потоков достигнет своего минимально возможного значения при непрерывном дисконтировании. В этом случае (когда m => +∞) текущая стоимость исчисляется по формуле.