Сложные проценты
Наращение по сложным процентам
Сложными называются ставки процентов, которые применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчётного периода к другому. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией процентов.
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.
Существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный. Рассмотрим декурсивный метод расчёта сложных процентов. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения. В конце первого периода (года) наращенная сумма равна:
S =P (1+i ).
В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму
S =P (1+i )(1+i )=P (1+i ) 2 ,
S=P (1+i ) n . (1.11)
Формула (1.11) называется формулой наращения по сложным процентам (формулой сложных процентов ). Множитель (1+i ) n в формуле (1.11) является коэффициентом наращения.
Формулы удвоения суммы
В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастёт в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем коэффициент наращения величине N , в результате получим:
а) для простых процентов 1+ni =N , тогда
б) для сложных процентов (1+i ) n =N , тогда
Для случая N= 2 формулы (1.12) и (1.13) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:
а) для простых процентов
n= 1/i ; (1.14)
б) для сложных процентов
При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы (1.22) можно использовать приближённую формулу, если учесть, что ln 2»0,7, а ln(1+i )»i . Тогда
n» 0,7/i. (1.16)
□ Пример 1.5. За сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5%?
1. Случай простых процентов:
n= 1/0,05=20 лет.
2. Случай сложных процентов, вычисленных по точной формуле:
лет.
3. Случай сложных процентов, вычисленных по приближённой формуле:
n »0,7/0,05=14 лет.
Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближённая формулы дают практически одинаковые результаты.■
Начисление сложных процентов при дробном числе лет
Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти различными способами:
S=P (1+i ) n ,
2. смешанным методом, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые
S=P (1+i ) [n ] (1+{n }i ), (1.17)
где [n ] - целая часть числа n ; {n } - дробная часть числа n .
3. в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е.
S=P (1+i ) [n ] . (1.18)
Номинальная ставка
В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставка j называется номинальной . Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле
, (1.19)
где N=mn - число периодов начисления, n - число лет.
Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена несколькими способами, приводящими к различным результатам:
1. по формуле сложных процентов
, (1.20)
где N/t - число периодов начисления процентов, t - период начисления процентов;
2. по смешанному методу
, (1.21)
где [N/t ] - число полных периодов начисления процентов, {N/t } - дробная часть одного периода начисления процентов.
□ Пример 1.6. На сумму 600 ден. ед. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определите величину наращенной суммы двумя методами.
Решение. Общее число периодов начисления процентов составит , т. е. 4 квартала и 2 месяца. По формуле сложных процентов наращенная сумма будет равна
ден. ед.
Используя смешанный метод начисления, наращенная сумма составит:
ден. ед.
Если дробную часть не учитывать, то наращенная сумма будет равна:
ден. ед.
Из полученных результатов расчёта следует, что для ссудодателя выгоднее смешанный метод начисления процентов, т. к. итоговая сумма получается максимальной, а для заёмщика предпочтительнее третий вариант, т. к. итоговая сумма минимальна. ■
Переменные ставки сложных процентов
Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:
где P - первоначальная сумма; i t - ставка простых процентов в периоде с номером ; n t - продолжительность периода начисления по ставке i t .
1.2.2 Сложные учётные ставки
Наращение по сложной учётной ставке
Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу начисления простых антисипативных процентов. В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле
во втором периоде она будет равна
,
где d - учётная ставка сложных процентов; n - число лет. Формула (1.23) называется формулой наращения по сложным антисипативным процентам (формулой сложных антисипативных процентов ). Множитель в формуле (1.23) является коэффициентом наращения.
Номинальная учётная ставка процентов
В тех случаях, когда начисление сложных антисипативных процентов производят m раз в году, используют номинальную учётную ставку f . Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке f/m , и наращенная сумма определяется по формуле
где, N=mn - число периодов начисления, n - число лет.
□ Пример 1.7. Срочный вклад в размере 800 ден. ед. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производится один раз в году по сложной учётной ставке d =15% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение. Наращенная сумма составит
ден. ед.
Если наращение по учётной ставке производить не один, а два раза в год (m =2), то наращенная сумма будет равна:
ден. ед. ■
Сложная процентная ставка
Формулы наращения
Сложная процентная ставка наращения – это процентная ставка, при которой база начисления, в отличие от простых процентов, является п е р е м е н н о й, т.е. проценты начисляются на проценты.
Также заранее оговаривается некоторый единичный промежуток начисления процентов (год, месяц, квартал и т.д.) и ставка процента i (илиi % = 100i ). Пусть начальная сумма долга равнаP . Тогда через единичный промежуток сумма долга составитS 1 =P (1+i ), как и в случае простых процентов. Однако к концу 2-го единичного промежутка сумма долга составитS 2 =S 1 (1+i ) =P (1+i )2 (в отличие от формулыS 2 =P (1+2i ) для простых процентов. К концу 3-го периода получаемS 3 =S 2 (1+i ) =P (1+i )3 . И т.д. К концу n -го единичного промежутка получаем
S n =P (1+i )n . |
Итак, через n промежутков начальная суммаP увеличится в (1+i )n раз. Множитель (1+i )n называетсямножителем наращения . Отметим, что наращение по сложным процентам представляет рост начальной суммы по закону геометрической прогрессии, первый член которой равенP , а знаменатель 1+i .
Задача 1 . Исходная сумма вкладаP = 40 000 р. Процентная ставкаi %=10% годовых. Определить наращѐнную по сложным процентам за 3 года, а затем сравнить ее с суммой наращения по схеме простых процентов.
Решение . Применяя формулу (1) имеем
S 3,слож =P (1+i )3 = 40 000 (1+0.1)3 = 53 240 р.
Вычислим наращѐнную сумму по схеме простых процентов:
S 3,пр =P (1+3i ) = 40 000 (1+0.3) = 52 000 р. < 53 240 р.
Итак, в рассматриваемом случае использование сложных процентов приводит к большей наращѐнной сумме, что выгоднее вкладчику по сравнению с наращением по схеме простых процентов.
Формула наращения сложных процентов (1), выведенная для целых
положительных n , применима и для нецелыхt | 0: S t | P (1+i )t . | |||||||
Задача 2 . Какой величиныS 4.6 | достигнет долг, равный 8 000 р., через 4.6 года |
||||||||
при росте по сложной ставке процента i =20% годовых. | |||||||||
Решение . По условию задачиP = 8 000 р. Тогда | |||||||||
S 4.6 =P (1+i )t = 8 000(1+0.2)4.6 | |||||||||
Итак, через 4.6 года долг достигнет значения 18 506 р. 48 коп. | |||||||||
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула |
|||||||||
наращѐнной суммы принимает вид | |||||||||
S = P (1 | i )n 1 (1 | ) n2 | ...(1 | ) nm . | |||||
Здесь P – начальная сумма,n k – продолжительность k -го периода начисления процентов иi k – ставка простых процентов в периоде с номеромk .
Задача 3 . В договоре об обслуживании банковского вклада в течение 4-х лет зафиксирована переменная ставка сложных процентов следующим образом. В 1-й год – 6% годовых, во 2-й и 3-й год ставка одна и та же – 5% годовых, в 4-й год
– 8%. Определить величину множителя наращения за 4 года.
Решение . ПустьP – некоторая начальная сумма. По условию задачи
i 1 = 0.06,i 2 =i 3 = 0.05,i 4 = 0.08.
Обозначим i 23 = 0.05. Имеем в соответствии с формулой (2):
S = P (1 i 1 ) 1 (1 i 23 ) 2 (1 i 4 ) 1 =P (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08).
В результате вычислений получаем значение множителя наращения:
S /P = (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08) = 1.262142.
Сравнение силы роста простых и сложных процентов
При одной и той же ставке процента i наращение сложных процентов:
идет быстрее, чем простых процентов, если длина периода наращения больше единичного периода;
идет медленнее, чем простых процентов, если длина периода наращения меньше единичного периода.
Ранее было отмечено, что наращение для единичного периода одинаково, независимо от того, используется схема простых процентов или сложных.
Обоснуем сказанное. В самом деле при i > 0:
если t
>1, то (1+i
)t
> 1+it
; если 0 Для доказательства этого факта рассмотрим функции f
(t
) = (1+i
)t
иg
(t
) = 1+it
. Очевидно,f
(0) =g
(0),f
(1) =g
(1) и обе функции возрастают приt
0 не только по их содержательному смыслу, но и формально ввиду положительности их производныхf
(t
) = (1+i
)t
ln
(1+i
) иg
(t
) =i
. В то же время производная второго порядкаf
(t
) = (1+i
)t
ln
2
(1+i
) положительна приt
0, что означает выпуклость вниз функцииf
(t
) приt
0 (т.е. ускоренный рост). При этом функцияg
(t
) растет линейно (g
(t
) = 0). На графике изображены функции f
(t
) = (1+i
)t
иg
(t
) = 1+it
в зависимости отt
: Пример
. Пусть суммаP
=800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращѐнные суммы таковы Для оценки своих перспектив кредитору и должнику зачастую важно знать, через сколько времени сумма ссуды возрастает в N
раз при данной процентной ставкеi
. Для этого приравняем множитель наращения величинеN
, в результате чего получим: a)
для простых процентов 1 +
ni
=N
, откудаn
= (N
–1) / i
. b)
для сложных процентов (1 +
i
)n
=N
, откудаn
= lnN
/ ln(1 +i
). Решение
. По условию задачиi
=0.04,N
=2. Имеем a) для простых процентов n
= (N
–1) / i
= 1 /i
, откудаn
= 1/0.04 = 25 лет b) для сложных процентов n
= lnN
/ ln(1 +i
), откудаn
= ln 2/ln(1.04) 17.67 лет. Расчет по схеме сложных процентов быстрее удваивает долг. Некоторые способы начисления процентов при дробном числе лет В практике финансовых учреждений при дробном числе лет t
проценты начисляются по-разному. Рассмотрим три основных способа начисления. 1.
По формуле сложных процентов:
S = P
(1+i
)t
. 2.
На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые:
S = P
(1+i
)n
(1+bi
), гдеt=n+b
,n –
целое число лет,b –
дробная часть года. 3.
В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезок времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.
S = P(1+
i)
n
.
Задача 5
. Размер ссуды, представленной на 27 месяцев, равен 100 000 р. Годовая процентная ставка равна 20%. Вычислить наращѐнную сумму указанными тремя способами. Решение
. По условию задачи срок ссуды составляет 2.25 года. Имеем следующие расчеты. По 1-му способу:S
I
= 100 000(1+0.2)2 . 2 5
150 715 р. 46 коп. По 2-му способу:S
II
= 100 000(1+0.2)2
(1+0.25 0.2) = 151 200 р. По 3-му способу:S
III
= 100 000(1+0.2)2
= 144 000 р. Формулы дисконтирования в случае сложных процентов Задача 6
. Выписать таблицу для дисконтного множителя (1+i
)–
n
при сроке ссуды 5, 10 и 20 лет; сложная ставка наращения составляет 10% и 20%. Решение
. Результаты расчетов по формуле (3) приведены в таблице Если осуществляется дисконтирование по схеме банковского (коммерческого) учета, то изначально оговаривается учетная ставка d
, 0d
<1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен P = S(1–
d)
n
.
Задача 7
. Вексель на сумму 20 000 р., срок платежа по которому наступает через 1.5 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, а также соответствующий дисконт. Решение
. Здесь по условию задачиS
=20 000,n
=1.5,d
=0.18. Тогда по формуле (4) получаем следующие результаты расчетов: сумма, получаемая владельцем P =
20 000(1 – 0.18)1.5
14850 р. 83 коп., дисконт D = S – P
20 000 – 14850.83 = 5149 р. 17 коп. Расчеты с простыми процентными ставками проводятся достаточно легко и просто. Однако они имеют ограниченное применение. Допустим, что банк выплачивает простые проценты в течение 3 лет по ставке i. При первоначальном вкладе, равном Р, вкладчик через год будет иметь на счете сумму S 1: S 1 = P (1 + i),
через 2 года — сумму S2
: S 2 = P (1 + 2 i),
через 3 года — сумму S3
: S 3 = P (1 + 3 i).
Однако вкладчик может через год закрыть счет, получить сумму S1
, включающую проценты, и положить эту сумму на новый счет. В конце следующего года он может повторить эту операцию. В результате после первого года он получит сумму S1
, равную прежней сумме S1
: S = S 1 = P (1 + i),
после второго года уже новую сумму S1
: после третьего года сумму S3
: Новые суммы будут больше прежних, поскольку в них содержатся проценты не только на первоначальный вклад, но и на уже начисленные ранее проценты. В математической форме это соответствует неравенствам: Таким образом, вкладчику выгодно снимать деньги со счета и класть их на другой счет. Проводить такую операцию каждый квартал выгоднее, чем каждый год, а каждый месяц выгоднее, чем каждый квартал. Чем чаще вкладчик перекладывает деньги, тем больший доход он получит. Следовательно, значительная часть вкладчиков банка будет стремиться проводить такую операцию. Для банка же это сопряжено с разного рода затруднениями в работе. Во-первых, для проведения таких операций банку необходимо держать дополнительный резерв денежных средств. Во-вторых, обилие таких операций затрудняет текущую банковскую работу. Наконец, в-третьих, вкладчик, закрыв счет, может положить полученные деньги в другой банк, условия которого в данный момент покажутся ему более выгодными. В связи с этим банки сами берут на себя инициативу проведения такой операции. Проценты, возникающие по вкладу, присоединяются к вкладу, так что новые проценты начисляются на увеличенную сумму, включающую начисленные ранее проценты. Такая операция называется начислением сложных процентов. Рост суммы в соответствии со сложными процентами можно представлять себе как рост по простым процентам, применяемым к увеличивающейся сумме, включающей в себя ранее накопленные проценты, т. е. как периодическое реинвестирование средств, вложенных под простые проценты, в каждом периоде начисления. На практике при расчете сложных процентов обычно некоторый промежуток времени принимают за стандартный период начисления (год, квартал, месяц и т. д.) и дальше рассчитывают проценты, начисляемые за такие одинаковые стандартные периоды. Другими словами, время при таких вычислениях рассматривается как дискретная величина, измеряемая стандартными периодами. При этом говорят о дискретных процентах. Если уменьшать длину такого стандартного промежутка, от квартала перейти к месяцу, неделе, дню и т. д., то в пределе мы от дискретных процентов перейдем к непрерывным процентам, начисляемым за бесконечно малый промежуток времени. Пусть первоначальная сумма равна Р и она растет в соответствии со сложной процентной ставкой, равной i за один период времени. Через n таких периодов выросшая сумма S будет определяться следующей формулой (формулой сложных процентов): S = P (1+i) n
Величину (1+i) n называют обычно коэффициентом роста, или множителем наращения. Она показывает, в какую денежную сумму превратится каждый рубль первоначально вложенных средств через n периодов времени. Если вычислять накопленную сумму денег вместе с процентами последовательно за каждый год за первый год: за второй год: за п-ый год: то получим, что полученные денежные суммы являются членами геометрической прогрессии, в которой первый член - это величина Р, а знаменатель прогрессии (1+i) Если при начислении по формуле сложных процентов воспользоваться операцией реинвестирования, т. е. снять со счета деньги вместе с процентами и положить их на счет снова, то вкладчик при этом ничего не выигрывает при той же процентной ставке. Действительно, пусть вкладчик положил средства в размере Р на счет на условиях начисления сложных процентов. Через k периодов времени он снял деньги со счета и положил их вновь еще на m периодов. Тогда после первых k периодов он получит сумму Q: Q = P(1+i) k .
Затем эта сумма Q еще через m периодов превращается в новую сумму S: S = Q (1+i) m .
Выражая конечную сумму S через первоначальную P, получим: S = Q (1+i) m = Р (1+i) k (1+i) m = P (1+i) k+m .
Таким образом, результат получается в точности такой же, как если бы вкладчик не проводил промежуточную операцию, а просто положил бы первоначальную сумму Р на суммарное число периодов времени, равное k + m. В практике финансовых организаций иногда предусматривается начисление процентов лишь за целое число периодов. Если это не предусмотреть, то при начислении процентов за нецелое число периодов используют разные способы. Начисление за нецелое число периодов может быть проведено по той же формуле сложных процентов, что и за целое число. Например, если требуется рассчитать выросшую сумму за 5,2 периода, то расчет в этом случае ведется по формуле S = Р (1+i) 5 (1+i) 0,2 = P (1+i) 5,2 .
Другими словами, за дробное число 0,2 периода проценты начисляются по той же схеме, что и за целое число периодов. Это позволяет написать общую формулу сложных процентов за любое время t: S = Р (1+i) t ,
независимо от того, содержит ли оно целое или нецелое число периодов. В ряде случаев начисление за нецелое число периодов ведется по другой, смешанной формуле. За целое число периодов проценты начисляются по формуле сложных процентов, а за дробный остаток — по формуле простых процентов. В этом случае начисления за 5,2 периода будут проведены по формуле S = Р (1+i) 5 (1+i 0,2).
Следует иметь в виду, что начисленная сумма при этом окажется несколько больше, чем при расчете по первому способу. Наконец, как было отмечено выше, иногда за дробную часть периода проценты вообще не начисляются. В этом случае начисления за 5,2 периода определяются формулой S = Р (1+i) 5 .
Обычно в условиях договора указывается постоянная ставка процента. Однако в некоторых случаях может быть оговорена переменная ставка. Обычно это бывает связано с процессом инфляции, снижающим рост реальной величины денежной суммы, или с изменением курса валюты, с которой связаны условия договора. В этих и подобных им случаях оговаривается изменение процентной ставки. Рассмотрим ситуацию с переменной сложной процентной ставкой. Пусть на первом промежутке времени длиной t1
ставка равна i1
, на втором промежутке длиной t2
ставка равна i2
, на третьем промежутке длиной t3
ставка равна i3
и т. д.. Промежутки, как и раньше, могут иметь различную длину. Рассмотрим n таких промежутков длиной t1
, t2
... tn
. Величина вклада по сложной переменной ставке к концу последнего промежутка составит: Определим среднюю процентную ставку i для случая вклада по сложной переменной ставке. Пусть, как и раньше, T — общий срок вклада по переменной ставке а — доля промежутка t k в этом общем сроке: Средняя процентная ставка i по определению удовлетворяет следующему условию: если ее подставить в формулу роста вместо каждой из ставок ik
, то результат расчета при этом не изменится. Таким образом: Отсюда получаем формулу для (1 + i) — средней величины коэффициента роста за единицу времени: Наконец, сама средняя сложная процентная ставка i равна: Согласно формуле среднего коэффициента роста (1 + i), он является средневзвешенной геометрической коэффициентов роста по отдельным промежуткам времени. В качестве весовых коэффициентов выступают доли соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада. Коэффициенты роста для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом. В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля каждого из них равна 1/n, и средневзвешенная величина переходит в обычную среднюю геометрическую: Темп инфляции за тот или иной период времени характеризует процентный прирост уровня цен за данный период. Предположим, что известны темпы инфляции за январь, февраль и март. Обозначим посредством h1
, h2
, h3
темпы инфляции за эти три месяца. Неверно думать, что квартальный темп инфляции равен сумме трех месячных темпов, т. е. что hкв1
= h1
+ h2
+ h3
.
Это, конечно, не так. Такая формула не учитывает, что инфляция февраля характеризует процентный прирост цен по отношению к ценам, уже выросшим в январе, а инфляция марта указывает процентный прирост цен по отношению к ценам февраля. Таким образом, темп инфляции за несколько периодов должен содержать в себе учет процентов на проценты, как при расчетах со сложной процентной ставкой. При неверном способе мы обращаемся с темпами инфляции, как с простыми процентными ставками. Правильный способ требует обращаться с ними, как со сложными ставками. Рассмотрим правильный способ. Индекс роста цен выражается следующей формулой: где q - количество товаров учитываемых при исчислении индекса роста цен; p -цены товаров, учитываемых при исчислении индекса роста цен в базисном периоде; р -цены тех же товаров в отчетном периоде. Индекс роста цен за n последовательный периодов Темп инфляции h выражается формулой: Таким образом, индексы роста I1
, I2
, I3
определяются формулами: I1
, = 1 + h1
, I2
, = 1 + h2
, I3
, = 1 + h3
.
Каждый из индексов показывает, во сколько раз изменился уровень цен за данный месяц. Произведение этих индексов дает квартальный индекс Iкв1
. Квартальный индекс Iкв1
показывает, во сколько раз изменился уровень цен за первый квартал: Iкв1
= I1
* I2
* I3
.
Для получения квартального темпа инфляции следует вычесть единицу из квартального индекса: hкв1
= Iкв1
— 1.
Таким образом, в итоге получаем hкв1
= Iкв1
— 1 = I1
* I2
* I3
— 1 = (1 + h1
)*(1 + h2
)*(1 + h3
) — 1.
В разные месяцы темпы инфляции могут быть различными. Как рассчитать среднемесячный темп инфляции hсрмес
в течение квартала? Для этого следует сначала рассчитать среднемесячный индекс Iсрмес
по формуле I срмес = (I 1 × I 2 ×I 3) 1/3 = (I кв1) 1/3 .
Затем среднемесячный темп инфляции hсрмес
получается вычитанием 1 из среднемесячного индекса: hсрмес
= Iсрмес
— 1.
Таким образом, итоговая формула расчета имеет вид: h срмес = I срмес — 1= (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 — 1= ((1+h 1) × (1+h 2) × (1+h 3)) 1/3 — 1.
Она полностью аналогична формуле средней сложной процентной ставки. Начисление сложных процентов часто осуществляется не один, а несколько раз в году, каждый квартал, каждый месяц и т. д. В таком случае обычно в договоре указывается номинальная ставка процента i, по которой определяется величина ставки в каждом периоде начисления ( при квартальном начислении, при месячном и т. д.). Формулы, связывающие друг с другом процентные ставки за разные периоды времени, можно получить, используя принцип финансовой эквивалентности результатов. Финансовый результат за год, получаемый при годовой ставке , должен быть равен финансовому результату за 4 последовательных квартала, рассчитанному по формуле сложных процентов для эквивалентной квартальной ставки . Отсюда получаем равенство: Таким образом: При выводе формул говорилось об эквивалентности финансовых результатов за год. Важно отметить, что эквивалентность результатов при этом обеспечивается не только за годовой, но и за любой промежуток времени. Пусть промежуток времени, исчисляемый в годах, равен n (число n не обязательно целое). Тогда этот промежуток содержит 4 .
n кварталов. Наращения по годовой и эквивалентной ей квартальной ставке процента за этот промежуток времени равны друг другу, Мы установили связь между годовой и квартальной ставками. Такое же рассуждение позволяет сформировать связь между годовыми, квартальными и месячными ставками: Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть период начисления по процентной ставке i делится на m одинаковых промежутков времени. Тогда процентная ставка i, связанная с этими промежутками, определяется через ставку i в соответствии с соотношением (1 + i ) m = (1 + i).
i = (1 + i ) m — 1,
i = (1 + i) 1/m — 1.
Этим путем может быть установлена связь между процентными ставками за любые два периода времени. Пусть периоды t и t выражены в одинаковых единицах (годах, месяцах, днях и т. п.). Пусть за период времени t установлена процентная ставка i, а за период t — процентная ставка i. Эти ставки эквивалентны, если они за одинаковые промежутки времени приводят к одинаковым результатам, т. е. если соответствующие им коэффициенты наращения за одинаковые промежутки времени равны. В качестве единого промежутка возьмем промежуток величины txt. В нем содержатся периоды t в количестве t и периоды t в количестве t. Условие эквивалентности запишется в виде равенства: (1 + i) t = (1 + i ) t .
Отсюда получаем формулы, выражающие одну ставку через другую: Обычно в контрактах оговаривается годовая процентная ставка. Она в этом случае называется номинальной процентной ставкой. Эквивалентные ей процентные ставки за другие периоды времени, рассчитанные в соответствии с указанными выше формулами, называются уравновешенными (или уравновешивающими). Таким образом, говорят о номинальной годовой ставке и уравновешенных (уравновешивающих) полугодовой, квартальной, месячной, дневной ставках. В предыдущем параграфе мы получили формулы, которые позволяют ставку процента, привязанную к одному периоду начисления, пересчитать в другую, эквивалентную ставку процента, привязанную к другому периоду начисления. В частности, эти формулы позволяют номинальную годовую ставку перевести в другие уравновешенные ставки. Полученные формулы являются точными, но в силу своей сложности не всегда удобными для практического применения. В практике финансовых операций эти формулы часто заменяются другими, более простыми формулами. Вместо уравновешенной ставки эти упрощенные формулы определяют так называемую относительную (релятивную) ставку. Следует отметить, что расчет по относительным ставкам, будучи достаточно простым, приводит к неточным результатам. Пусть годовая ставка процента равна iгод
. Тогда квартальная относительная ставка iкв
рассчитывается по формуле Месячная относительная ставка iмес
определяется формулой Вообще, относительная ставка за период времени t, измеряемый в годах, определится величиной: i = i год t.
Для квартала t = 1/4, для месяца t = 1/12, так что из последней общей формулы автоматически получаются ее частные случаи для квартальной и месячной ставки. Рассмотрим ситуацию в общем виде. Предположим, что период начисления делится на m одинаковых промежутков. Тогда относительная процентная ставка i, связанная с такими промежутками, рассчитывается по формуле Обратное соотношение i = m i
позволяет выразить исходную ставку i через относительную i. Установим связь между относительными ставками процента за любые два периода времени. Пусть периоды времени t и t измеряются в одних и тех же единицах. За период t установлена процентная ставка i, а за период t ставка i. Эти ставки считаются относительными друг для друга, если они связаны соотношением: т. е., если они равны в расчете на единицу времени. В равносильной форме это равенство имеет вид Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну ставку через другую: Номинальная годовая ставка превращается в относительную ставку для полугодия, квартала, месяца путем деления величины годовой ставки на соответствующее число. Такой переход соответствует преобразованиям по формуле простых процентов. Однако дальнейшие преобразования, связанные и с использованием относительной ставки, проводятся по формулам сложных процентов. Так, рост вклада за m месяцев по номинальной годовой ставке сложных процентов рассчитывают с помощью относительной ставки следующим образом. По годовой ставке iгод
рассчитывают месячную ставку iмес
: i мес = i год /12,
и затем по формуле сложных процентов определяют коэффициент наращения за m месяцев. Он имеет величину: Такой расчет приводит к искажениям. Например, при m = 6 коэффициент наращения с помощью относительной ставки можно вычислить несколькими различными способами. Они приведут к различным результатам. Конкретную формулу расчета можно не оговаривать в тех случаях, когда каждая из сторон готова примириться с возникающими при этом искажениями. Точный расчет, не вносящий искажений, основан на уравновешенных ставках. Если здесь и возникают расхождения, то это связано не с существом дела, а исключительно с точностью вычислений. Точность повышается, если в расчеты вовлекать большее число десятичных разрядов или если проводить расчеты в обыкновенных дробях. Расчеты же с относительными ставками всегда вносят те или иные искажения, не устранимые путем простого повышения точности вычислений. На практике чаще пользуются относительными ставками. Их применение связано с большим удобством (в ущерб точности) и со сложившейся традицией. Однако при проведении точного анализа и в теоретических исследованиях используют уравновешенную ставку. Ее называют также эффективной процентной ставкой
.
Эффективная процентная ставка показывает тот реальный относительный доход, который возникает за год в связи с начислением процентов. Иными словами, эффективная ставка — эта годовая сложная процентная ставка, обеспечивающая ту же величину дохода, что и реально применяемый способ начисления процентов. Если проценты начисляются раз в году, то эффективная ставка соответствует сложной номинальной процентной ставке. Если же проценты начисляются чаще, то эффективная и номинальная ставка численно могут оказаться различными. Соответствие между ними зависит от способа расчета процентов за отдельные промежутки времени. Если реально применяемый способ помесячного (поквартального) начисления процентов основан на уравновешенных ставках, то эффективная ставка совпадает с номинальной ставкой процентов. Если же реально применяемый способ помесячного (поквартального) начисления процентов основан на относительных ставках (или еще на каких-то расчетных схемах), то эффективная и номинальная ставка окажутся различными. Рассмотрим рост величины вклада по формулам простых и сложных процентов при одной и той же величине процентной ставки. Пусть начисление процентов идет по ставке i за период времени (например, за год). Тогда рост суммы за время t от начальной величины Р определяется следующими формулами: Для простых процентов: S = Р (1 + i t);
Для сложных процентов: S = Р (1 + i) t .
Начисления для нецелого числа периодов проводятся здесь по той же формуле, что и для целого числа. Для простых процентов величина S зависит от времени t по закону линейной функции. Для сложных процентов она зависит от t по закону показательной функции. На рис. 2.1 представлены графики таких зависимостей. Обе линии на рисунке начинаются в одной точке. При t = 0: Если длина промежутка времени t меньше длины периода, то простые проценты дают больший рост суммы, чем сложные. Если 0 < t < 1, то График линейной функции, определяющей рост по формуле простых процентов, лежит при этом выше графика показательной функции, определяющей рост по формуле сложных процентов. Поэтому, если банк объявляет годовую процентную ставку по вкладам, а срок вклада меньше года, то вкладчику выгоднее, чтобы банк вел с ним расчеты по простой процентной ставке. Заемщику, взявшему в банке ссуду на срок меньше года, напротив, выгоднее рассчитываться по сложным процентам. Если промежуток времени t равен одному периоду, то расчет по простым и сложным процентам дает один и тот же результат: Оба графика при t = 1 проходят через одну точку. Если срок равен длине периода начисления процентов (например, году), то вкладчику или заемщику безразлично, ведутся ли с ним расчеты по простым или сложным процентам. Если же длина промежутка t больше одного периода, то сложные проценты дают большой рост суммы, чем простые. Если t > 1, то График показательной функции лежит выше прямой, причем с ростом t увеличивается не только величина расхождения между ними, но и скорость увеличения этого расхождения. Если срок вклада больше периода начисления процентов, то вкладчику выгоднее начисления по формуле сложных процентов, причем с ростом срока вклада эта выгода возрастает. Заемщику же, напротив, выгоднее возвращать ссуду с простыми процентами. Для оценки скорости роста денежной суммы часто используют так называемые формулы срока удвоения. Такие формулы позволяют рассчитать срок, за который удваивается вложенная сумма денег. Такой срок рассчитывается путем решения уравнения, определяющего удвоение коэффициента нарастания. Для простых процентов уравнение имеет вид 1 + i t = 2.
Для сложных процентов уравнение имеет вид Решением этого уравнения является: Процентные ставки являются финансово эквивалентными, если замена в контракте одной ставки на другую не приводит к изменению финансовых результатов контракта, к изменению отношений участвующих в сделке сторон. Если рост по простой процентной ставке за определенное время приводит к тому же результату, что и рост по сложной процентной ставке за то же время, то эти ставки финансово эквивалентны. Пусть in
и ic
— простая и сложная процентные ставки с одним и тем же периодом начисления (например, годовые ставки). Приравняем множители роста по этим ставкам за время t: Отсюда можно получить формулы, позволяющие по сложной ставке рассчитать эквивалентную ей простую и по простой ставке определить эквивалентную ей сложную. Отметим, что в формулах расчета эквивалентных ставок участвует величина промежутка времени t. При изменении длины промежутка изменяется и величина эквивалентной ставки. Из полученных формул непосредственно следует, что при t = 1, т. е. когда длина рассматриваемого промежутка времени равна периоду начисления, эквивалентные ставки равны друг другу: если t = 1, то in
= ic
. Как показывают наши предыдущие рассуждения, для эквивалентных процентных ставок in
и ic
выполняются условия: если t < 1, то in
< ic
, если t > 1, то in
> ic
. В банковской практике часто используется смешанная форма перевода процентных ставок, при которой сложная годовая ставка переводится, например, в квартальную не как сложная, а как простая. Дальнейшее же начисление процентов идет по формуле сложной ставки. Например, банк объявляет условия вклада как «48 % годовых с ежеквартальным начислением процентов». Это означает, что проценты ежеквартально приплюсовываются к уже накопленной величине вклада и на них в дальнейшем начисляются проценты. Речь, таким образом, идет о сложной ставке. Однако сами квартальные проценты рассчитываются по формуле простой ставки, т. е. по формуле i кв = i год / 4 = 12 (%).
В обратном переводе в сложную годовую ставку это дает т. е. 57,35 % годовых вместо 48 %. Результат всегда оказывается завышенным, так что самому банку такая форма перевода невыгодна. Она выгодна клиентам банка и используется практически. Посмотрим, к чему это приведет, если постепенно уменьшать период начисления процентов. Предположим, что такая форма перевода процентов применяется не к квартальному, а к месячному периоду. Ежемесячное начисление по ставке определяет годовой коэффициент роста 1,04 12 = 1,6010, что соответствует ставке 60,10 % годовых. Предположим, что период начисления уменьшается дальше, т. е. что год дробится на m одинаковых промежутков времени, и величина m растет. Тогда общая формула нового коэффициента годового роста выглядит следующим образом: (1 + i/m) m .
В пределе, при , получаем величину е
i . При этом рост вклада за время t (измеряемое в годах) определяется формулой S = P e
it .
Число e, участвующее в формуле, — это основание натуральных логарифмов. Оно играет важную роль в математическом анализе самых разнообразных процессов. Число е
— иррациональное, его значение есть е
= 2,7182818... Логарифмы по основанию е
называются натуральными логарифмами и обозначаются символом ln. В табличном процессоре Excel соответствующая функция имеет обозначение LN. Мы пришли к понятию непрерывных процентов через смешанную форму начисления, через соединение расчетов по простой и сложной ставке. Однако смешанная форма здесь не важна. Существенно лишь участие сложной ставки. От понятия сложной ставки к понятию непрерывных процентов можно прейти и другим путем. Для этого достаточно формулу сложных процентов, определяющую рост первоначальной суммы Р: S = P (1 + i) t ,
записать в другом, равносильном виде. Формула сложных процентов определяет рост суммы по закону показательной функции. Основанием этой функции является величина (1 + i). При разных значениях процентной ставки i основания оказываются различными. Формулу сложных процентов для непрерывного времени преобразуют таким образом, чтобы при разных ставках основание оказывалось одинаковым, а изменялся бы показатель степени. Обозначим буквой натуральный логарифм от величины (1 + i): и, следовательно, Таким образом, формулу сложных процентов можно заменить равносильной формулой: Эту формулу используют обычно при анализе непрерывного роста суммы денег. В этой формуле величина α
характеризует скорость роста суммы. Величину α
называют силой роста
, или силой процента
. Она равна скорости относительного прироста суммы, т. е. равна относительному приросту суммы за бесконечно малый промежуток времени. Сила процента представляет собой особый вид процентной ставки, предназначенный для изучения процесса роста денежной суммы в непрерывном времени. Сила роста тесно связана со ставкой процента. Чем больше ставка процента i, тем больше сила роста α
, и наоборот, чем больше сила роста α
, тем больше ставка процента. Однако связь между ними не является прямо пропорциональной, линейной связью. Она имеет логарифмический характер. Для малых значений процентная ставка практически совпадает с силой роста, однако с увеличением ставки расхождения между их численными значениями нарастают. При этом ставка процента по своему численному значению всегда больше силы роста. Следует подчеркнуть, что эти различия не приводят к различию в росте денежной суммы. Напротив, соответствующие друг другу, но численно различающиеся величины ставки процента и силы роста обеспечивают одинаковое наращение денежной суммы за одинаковые промежутки времени. Дисконтирование — это операция, позволяющая будущую сумму денег привести к настоящему моменту времени. Эта операция позволяет определить современную величину будущей суммы. Выше мы рассматривали дисконтирование по простой процентной ставке. Такое дисконтирование подразумевает рост денежной суммы по формуле простых процентов. Теперь мы рассмотрим дисконтирование по сложной процентной ставке, соответствующей росту суммы денег по формуле сложных процентов. Исходная денежная сумма Р по формуле сложных процентов со ставкой i за время t превращается в сумму S: Отсюда следует, что Эта формула позволяет осуществить дисконтирование, т. е. по конечной величине S определить начальную величину Р. Множитель называется дисконтным множителем за время t. Он является величиной, обратной множителю нарастания. Величину Р называют современной, или приведенной, величиной S. Ее называют также величиной, полученной дисконтированием S. Разность S — P называют дисконтом и обозначают обычно буквой D: D = S — P.
Операция дисконтирования обратная операции роста суммы. Поэтому свойства дисконтирования тесно связаны со свойствами наращения. Выше было проведено сравнение роста по простым и сложным процентам. Для дисконтирования имеют место обратные соотношения. Если длина промежутка времени меньше периода начисления (например, года), то рост по простым процентам дает большую сумму, чем рост по сложным процентам. Дисконтирование по простым процентам дает меньшую величину, чем дисконтирование по сложным процентам. Если же длина промежутка времени больше периода начисления, то больший рост суммы дает сложная процентная ставка. Однако сложная ставка дает меньшую величину при дисконтировании. Дисконтирование можно проводить не только для дискретного, но и для непрерывного измерения времени. Из формулы для непрерывного времени с использованием силы роста, имеющей вид получаем формулу дисконтирования: применяемую в дисконтных расчетах с непрерывным временем. В учетных операциях используют как простую, так и сложную учетную ставку. Процедуры расчетов с простой учетной ставкой были изучены выше. Теперь мы рассмотрим соответствующие процедуры для сложной учетной ставки. Простая учетная ставка при дисконтировании применяется к одной и той же первоначальной сумме, снижение этой суммы по периодам времени происходит равномерно. Сложная учетная ставка на каждом шаге дисконтирования применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, уменьшенной на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге. Процесс дисконтирования идет при этом с замедлением. Если конечная сумма есть S и учетная ставка равна d, то дисконтирование по сложной учетной ставке за t периодов времени дает первоначальную сумму P, определяемую формулой Выше мы рассмотрели переход от годовой сложной процентной ставки к квартальной, месячной и другим сложным процентным ставкам. В более общем виде это соответствует переходу от ставки с одним периодом начисления к ставке с другим периодом начисления. Были изучены два способа перехода: переход к уравновешенной ставке и переход к относительной ставке. Преимущество первого способа в его точности, преимущество второго способа в его простоте. Переход от годовой учетной ставки к квартальной, месячной и другим ставкам осуществляется теми же двумя способами. Один из них дает уравновешенную учетную ставку, а другой позволяет получить относительную учетную ставку. Рассмотрим их по порядку. Уравновешенные учетные ставки определяются в соответствии с принципом финансовой эквивалентности результатов. Финансовый результат, получаемый за год при годовой учетной ставке dгод
, должен быть равен результату, получаемому за 4 квартала по сложной учетной ставке dкв
. Другими словами, должно выполняться равенство Полученные связи между ставками обеспечивают равенство финансовых результатов не только за годовой, но и за любой промежуток времени. Промежуток, состоящий из t лет, содержит 4 . t кварталов. Дисконтирование за этот промежуток времени по сложной годовой и по сложной квартальной ставке приводит к одинаковым результатам, т. к. Мы установили связь между годовой и квартальной учетной ставкой. Аналогично формируем связь между годовой dгод
и месячной dмес
, дневной dднев
и другими сложными учетными ставками: Аналогично выражаются связи между квартальной и месячной сложной учетной ставкой: Следовательно, Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть период начисления учетной ставки d разбит на m одинаковых промежутков. Тогда учетная ставка d, связанная с этими промежутками, определяется через ставку d с помощью соотношения: В общем случае таким способом может быть получена связь между любыми двумя сложными учетными ставками, начисляемыми за два различных периода времени. Пусть периоды времени t и t измеряются в одинаковых временных единицах (годах, месяцах и т. п.). Пусть периоду t соответствует сложная учетная ставка d, а периоду t — сложная учетная ставка d. Эти ставки эквивалентны, если они дают одинаковые финансовые результаты за равные промежутки времени, т. е. если одинаковы соответствующие дисконтные множители. В качестве единого промежутка времени выберем промежуток длины txt. В нем содержатся периоды t в количестве t единиц и периоды t в количестве t единиц. Условие эквивалентности выражается в виде равенства дисконтных множителей за соответствующие промежутки времени, т. е. в виде равенства Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую: Обычно устанавливается годовая учетная ставка, называемая номинальной учетной ставкой. По ней рассчитываются учетные ставки за другие периоды времени. Если эти ставки устанавливаются указанным здесь способом, то они называются уравновешенными (иногда их называют уравновешивающими) сложными учетными ставками. Уравновешенные сложные учетные ставки обеспечивают финансовую эквивалентность результатов на любых промежутках времени. В этом смысле и сами такие ставки являются эквивалентными. Уравновешенные учетные ставки вводятся аналогично уравновешенным процентным ставкам. Относительные учетные ставки аналогичны относительным процентным ставкам. Если годовая учетная ставка равна dгод
, то относительные квартальная учетная ставка dкв
, месячная учетная ставка dмес
, дневная учетная ставка dднев
определяются формулами: В общем случае, пусть период начисления учетной ставки d разбит на m одинаковых промежутков. Тогда относительная учетная ставка d для этих промежутков связана со ставкой d соотношениями: Можно установить связь между относительными учетными ставками за любые два периода времени. Пусть периоды t и t измеряются в одних и тех же единицах. За период t установлена учетная ставка d, а за период t — учетная ставка d. Эти ставки являются относительными друг для друга, если для них выполняется соотношение т. е. если их доли, приходящиеся на единицу времени, равны друг другу. Это равенство равносильно следующему: Отсюда легко можно получить формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую: Эти формулы позволяют не только выражать относительные учетные ставки через номинальную годовую учетную ставку, но и выражать относительные учетные ставки непосредственно друг через друга. Расчет относительных учетных ставок соответствует преобразованиям по формулам простых ставок. Однако использование относительных учетных ставок соответствует формулам сложных ставок. Дисконтный множитель, например, за 6 месяцев, рассчитанный по месячной учетной ставке, имеет вид Тот же множитель, рассчитанный по квартальной ставке, имеет вид Этот множитель можно определить и непосредственно через полугодовую учетную ставку d полугод: 1 — d полугод = 1 — d год /2.
Указанные здесь способы расчета одной и той же величины приводят к численно различающимся результатам. Таким образом, с уравновешенными и относительными учетными ставками дело обстоит так же, как и с соответствующими видами ставки процента. А именно: уравновешивающие учетные ставки дают точный результат, но связаны с довольно громоздкими вычислениями. Относительные учетные ставки проще для расчетов, но дают приближенный результат. Следует иметь в виду, что при переходе к промежуткам времени меньшей длины (например, от года к месяцу) относительная учетная ставка имеет меньшую величину, чем уравновешенная учетная ставка. Дисконтный множитель по относительной учетной ставке, следовательно, больше, чем дисконтный множитель по уравновешенной учетной ставке. Таким образом, если установлена номинальная годовая учетная ставка и до окончания срока векселя осталось меньше года, то владельцу векселя выгоднее, чтобы учет проводился по относительной учетной ставке. При переходе к промежуткам времени большей длины (например, от месяца к году) дело обстоит противоположным образом. Здесь относительная учетная ставка будет больше, чем уравновешенная. Дисконтный множитель, рассчитанный по относительной ставке, будет, соответственно, меньше дисконтного множителя, рассчитанного по уравновешенной ставке. В этом случае владельцу векселя выгоднее, чтобы учет проводился по уравновешенной ставке. Дисконтирование суммы при учете по простой учетной ставке определяется формулой P = S (1 — d t).
Дисконтирование при учете по сложной учетной ставке — формулой На рис. 2.2 представлены графики зависимости суммы Р, полученной при учете, от срока учета t. Рис. 2.2. Убывание суммы по простой и сложной учетной ставке Убывание суммы по простой учетной ставке происходит по закону линейной функции, равномерно. Графиком зависимости суммы от времени (от срока дисконтирования) является прямая. Убывание суммы по сложной учетной ставке происходит неравномерно, с замедлением. Графиком зависимости суммы от времени является график показательной функции с основанием меньее 1. Оба графика начинаются в одной точке при t = 0 и пересекаются при t = 1. Если срок дисконтирования равен 0, то, естественно, безразлично, проводить ли дисконтирование по сложной или простой ставке. Точно так же это безразлично и при сроке дисконтирования, равном одному периоду (1 году при годовой ставке). Действительно, при t = 1 по простой и по сложной ставке получаем одинаковые результаты: P = S (1 — d t) = S (1 — d).
P = S (1 — d) t = S (1 — d).
Во всех остальных случаях дисконтирование по простой и сложной ставке дает различные результаты. При этом, если срок дисконтирования меньше одного периода, то более высокая сумма (и соответственно более низкая величина дисконта) получается по простой ставке. Держателю долгового обязательства при оставшемся сроке, меньшем одного периода (одного года при годовой ставке), выгоднее учитывать обязательство по простой учетной ставке. Если же оставшийся срок больше одного периода, то выгоднее учитывать обязательство по сложной учетной ставке, причем эта выгодность возрастает с ростом срока. График линейной функции, соответствующий простой ставке, при некотором значении t пересечет ось абсцисс. Это означает, что при данном сроке сумма, получаемая в результате учета обязательства, равна 0, а дисконт равен всей сумме обязательства. Учитывать обязательства при этих условиях не имеет смысла. Тем более не имеет смысла учет при дальнейших значениях t, когда график опускается ниже оси абсцисс. Реально простую учетную ставку применяют при не слишком больших сроках учета. В отличие от этого сложную учетную ставку можно применять при любых сроках. График показательной функции, соответствующий сложной ставке, никогда не пересечет горизонтальную ось, хотя и будет с ростом времени неограниченно к ней приближаться. Сумма, выдаваемая при учете обязательства на таких условиях, будет неограниченно уменьшаться с ростом срока, но никогда не станет равной 0. Соответственно величина дисконта будет неограниченно приближаться к сумме самого обязательства, но никогда не совпадет с ним. Эквивалентность учетных ставок связана с эквивалентностью финансовых результатов по этим ставкам за определенный промежуток времени. Пусть dn
и dc
— простая и сложная учетные ставки с одним тем же периодом начисления (например, годовые ставки). Эквивалентность ставок за промежуток времени t означает равенство дисконтных множителей, связанных с этим промежутком: Отсюда получаем формулы расчета простой ставки по эквивалентной ей сложной и расчета сложной ставки по эквивалентной ей простой: Для учетных ставок, так же как и для процентных, эквивалентность определяется для конкретного промежутка времени. Ставки, эквивалентные для одного промежутка времени, при изменении длины промежутка времени перестают быть эквивалентными. Эквивалентные ставки равны друг другу, когда длина рассматриваемого промежутка времени равна периоду начисления, т. е.: если t = 1, то dn
= dc
. Это непосредственно следует из полученных формул. Проведенные ранее рассуждения показывают, что эквивалентные учетные ставки удовлетворяют следующим условиям: если t < 1, то dn
> dc
, если t > 1, то dn
< dc
. Дисконтирование денежной суммы может проводиться по процентной или по учетной ставке. При дисконтировании по сложной процентной ставке начальная величина денежной суммы Р определяется по ее конечной величине S, выросшей за время t по процентной ставке i, по формуле При дисконтировании по сложной учетной ставке d начальная величина денежной суммы определяется по формуле Процентная и учетная ставка эквивалентны, если они дают один и тот же финансовый результат, т. е. если они по одинаковым конечным суммам S за одно и то же время t дают одинаковые начальные суммы P. Таким образом, для эквивалентных ставок должно выполняться равенство Извлекая из обеих частей корень степени t, получаем Это можно записать следующим образом: (1 + i) (1 — d) = 1.
Отсюда легко можно выразить процентную ставку через учетную и учетную ставку через процентную: Важно отметить, что в эти формулы не входит длина промежутка времени t
. Следовательно, эквивалентные сложные ставки являются эквивалентными не только для какого-то определенного промежутка времени, а для любого промежутка времени. Напомним, что для простых ставок это не так. Формула дисконтирования по сложной учетной ставке за время t
может применяться не только в дискретном, но и в непрерывном времени. Как и в случае сложного процента, при переходе к непрерывному времени формулу преобразуют так, чтобы при изменении учетной ставки d изменялось не основание показательной функции, а ее показатель. С этой целью вводят величину : Подлогарифмическое выражение меньше 1, т. е. ln (1- d) < 0,
и, следовательно, величина b положительна. Из определения получаем Формула дисконтирования по сложной учетной ставке принимает вид По аналогии с силой процента величину называют иногда силой дисконта
. Полученная формула дисконтирования с участием силы дисконта позволяет вести расчеты в удобной форме для непрерывного времени. Сила дисконта характеризует относительную скорость убывания дисконтируемой суммы. С ростом учетной ставки растет и соответствующая ей сила дисконта. Связь между этими величинами является не прямой, не прямо пропорциональной, а логарифмической. С ростом учетной ставки расхождения между численными значениями учетной ставки и силы дисконта постепенно нарастают. Сила дисконта по своей величине выше учетной ставки. Следует, однако, иметь в виду, что соответствующие друг другу величины учетной ставки и силы дисконта задают один и тот же процесс дисконтирования, один и тот же размер уменьшения долговой суммы при учете долгового обязательства Полученные нами формулы позволяют, исходя из условий договора, рассчитать конечную сумму денег по ее начальной сумме или, наоборот, вычислить начальную сумму по известной конечной сумме. Большую роль в финансовых расчетах играет и другая задача: по известной начальной и конечной сумме определить условия договора. Важнейшими численными характеристиками договора являются продолжительность срока и величина ставки. В соответствии с формулой сложных процентов имеем Проведя элементарные преобразования и логарифмируя, получаем отсюда: Эта формула позволяет по заданной начальной и конечной сумме и при известной ставке сложного процента определить продолжительность того срока t, за который начальная сумма Р вырастет до конечной суммы S по ставке сложного процента i. Логарифмы, участвующие в формуле, могут иметь любое основание (но оба логарифма должны иметь одинаковое основание). В частности, можно пользоваться натуральными или десятичными логарифмами. Предположим теперь, что период начисления раздроблен на m одинаковых промежутков времени и расчеты ведутся по ставке, пересчитанной для этих промежутков. Например, от расчетов по номинальной годовой ставке перешли к расчетам по месячной. Как мы знаем, при этом используют месячную уравновешенную и месячную относительную ставку. Величина уравновешенной ставки i для промежутка времени, составляющего 1/m от периода начисления по ставке i, определяется по формуле Рост денежной суммы за время t по ставке i будет идти в соответствии с формулой При расчетах на основе силы роста используют формулу Взяв натуральный логарифм (по основанию e
) от обеих частей формулы после несложных преобразований получим: Силу роста (ставку непрерывных процентов) α
и исходную ставку процента i связывает соотношение Таким образом, продолжительность срока, рассчитанная по ставке непрерывных процентов, совпадает с продолжительностью, рассчитанной по исходной процентной ставке: В соответствии с формулой дисконтирования по сложной учетной ставке имеем: После простых преобразований этой формулы получаем: Эта формула позволяет рассчитать срок дисконтирования по конечной сумме S, сумме учета Р и учетной ставке d. Как и в случае со сложными процентами, логарифмы в расчетах можно брать по любому основанию (по одинаковому в числителе и знаменателе дроби). Рассмотрим ситуацию, когда период начисления учетной ставки разбит на m одинаковых промежутков равной длины (например, год разбит на месяцы). В таком случае наряду с исходной учетной ставкой d используют уравновешенные и относительные учетные ставки d, для которых периодами начисления являются эти малые одинаковые промежутки. Величина уравновешенной учетной ставки d для промежутка, составляющего часть от периода начисления по ставке d, определяется по формуле Дисконтирование денежной суммы за время t по учетной ставке d рассчитывается по формуле Отсюда получаем: Учетные ставки d и d связаны соотношением Мы получили, что расчет срока дисконтирования t по исходной учетной ставке d и по уравновешенной учетной ставке d дает один и тот же результат. Для относительной ставки дело обстоит не так. Относительная ставка рассчитывается по формуле Дисконтирование денежной суммы за время t в соответствии с относительной учетной ставкой d определяется по формуле Отсюда получаем: При увеличении числа промежутков m скорость дисконтирования по относительной учетной ставке уменьшается, а срок дисконтирования растет. С увеличением m этот срок все сильнее расходится со сроком, рассчитанным по исходной и уравновешенной ставке. В расчетах на основе силы дисконта используют формулу Из этой формулы получаем: Поскольку силу дисконта и учетную ставку d связывает соотношение то продолжительность срока, рассчитанная на основе силы дисконта, и продолжительность, рассчитанная по учетной ставке, совпадают. Действительно, Из формулы сложных процентов следует, что Последняя формула позволяет по объему начальной суммы Р, конечной суммы S и времени нарастания t определить необходимую величину процентной ставки i. Предположим, что период начисления разбит на m одинаковых промежутков. Таким промежуткам соответствует своя величина процентной ставки i. Величину ставки i можно рассчитать двумя разными способами. Первый способ — найти i исходя из уже полученной ставки i. Результат здесь будет зависеть от того, является ли эта ставка i уравновешенной или относительной. Для уравновешенной ставки расчет следует проводить по формуле Отсюда, воспользовавшись уже полученной формулой для i, можно вывести следующую формулу: Для относительной ставки расчет следует вести по формуле Второй способ — найти величину ставки i непосредственно, не прибегая к ставке i, а уже затем по ней определить ставку i.
Формула сложных процентов, выраженная через ставку i, имеет вид: Если ставка i рассматривается как уравновешенная ставка, то из последней формулы можно получить: Таким образом, для расчета ставки i получаем прежнюю формулу. Для уравновешенной ставки результаты расчетов по первому и по второму способу совпадают. Если же ставка i рассматривается как относительная ставка, то из формулы ее расчета получаем: Эта формула расходится с первоначальной формулой для ставки i, дает иной результат. Таким образом, для относительной ставки важен способ ее вычисления. Рассмотрим теперь непрерывное начисление процентов на основе силы роста. В этом случае формула нарастания имеет вид Отсюда получаем расчетную формулу для определения силы роста (непрерывной ставки процента) : По формуле дисконтирования, Отсюда следует, что Эта формула позволяет вычислить величину учетной ставки d по конечной сумме S, сумме на момент учета Р и срока дисконтирования t. Пусть период начисления учетной ставки разбит на m одинаковых промежутков. Определим величину ставки d, соответствующей таким промежуткам. Как и для процентной ставки, здесь возникают два способа расчета. Первый способ — определить величину учетной ставки d на основе уже полученной ставки d. Уравновешенную учетную ставку d в этом случае следует рассчитывать по формуле Это равенство можно продолжить: что позволяет вычислить величину ставки d непосредственно через исходные данные. Для относительной учетной ставки расчет ведется по формуле Второй способ основан на том, чтобы найти величину ставки d, не прибегая к ставке d. Ставку d затем можно рассчитать на основе ставки d. Формула дисконтирования по учетной ставке d имеет вид Таким образом, мы еще раз получили ту же формулу, что была выведена для уравновешенной ставки. Следовательно, для уравновешенной ставки оба способа расчета дают одинаковые результаты, как для d, так и для d. Для относительной ставки дело обстоит по-иному. Определим ставку d и d: Эта формула и формула непосредственного расчета ставки d, приведенная в начале этого параграфа, отличаются друг от друга и приводят к разным результатам. Таким образом, для относительной учетной ставки, как и для относительной процентной, важен способ ее исчисления. Перейдем к рассмотрению непрерывного дисконтирования. Формула, использующая силу дисконта, имеет вид Отсюда силу дисконта (непрерывную ставку учета) можно рассчитать по формуле Поскольку Р
< S
, то подлогарифмическое выражение меньше 1, сам логарифм отрицателен, а с учетом знака «минус» числитель дроби положителен. Таким образом, величина непрерывной учетной ставки положительна. Рост по простой процентной ставке определяется линейной функцией, или арифметической прогрессией. Рост по сложной процентной ставке определяется показательной (экспоненциальной) функцией, или геометрической прогрессией. Таким образом, сложная процентная ставка на длительных промежутках времени выгоднее для вкладчика, чем простая, причем с ростом срока вклада выгодность возрастает. Напомним основные формулы роста и дисконтирования по сложным ставкам. Рост по сложной процентной ставке определяется формулой Дисконтирование по сложной процентной ставке определяется формулой Дисконтирование по сложной учетной ставке определяется формулой Формула роста на основе силы роста
: Формула дисконтирования на основе силы дисконта
: Сущность процентных платежей.
Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки. Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки. Она показывает, какая доля выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка рассчитывается, как отношение дохода, полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине капитала, предоставляемого в кредит. Величина процентной ставки определяется отношением: Здесь i
(%) - процентная ставка, выраженная в процентах. Величину I
часто называют процентными деньгами
или процентным доходом, а иногда просто процентами.
В большинстве случаев начисление процентов производится с помощью дискретных процентов, т.е. когда в качестве периодов начисления берутся год, полугодие, квартал, месяц или определенное число дней. В некоторых случаях используется ежедневное начисление. Существуют различные методы начисления процентов. Основные их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают следующие методы начисления процентов: по простым процентным ставкам;
по сложным процентным ставкам.
Сущность метода начисления по простым процентам сводится к тому, что проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит. Метод начисления по сложным процентам заключается в том, что в первом периоде начисление производится на первоначальную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процентами и в каждом последующем периоде проценты начисляются на уже наращенную сумму. Таким образом, база для начисления процентов постоянно меняется. Иногда этот метод называют «процент на процент». Другое отличие в методах начисления процентов - это установление процентной ставки в качестве фиксированной
или переменной величины
. Так, например, в контракте может быть определена процентная ставка на первый год в одном размере, а на последующие годы предусматривается ее рост (снижение) на определенную величину. Кроме того, могут применяться и «плавающие»
ставки, величина которых «привязывается» к темпам инфляции или изменяющимся ставкам рефинансирования, объявленным Центральным банком, или же ее изменение оговаривается какими-либо другими условиями. Например, в контракте оговаривается первоначальная процентная ставка (базовая ставка), которой пользуются только один период для начисления процентов (допустим, первый квартал), в дальнейшем она будет расти в соответствии с ростом темпов инфляции. Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных ставок.
По условиям кредитного контракта процентные деньги могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно с основной суммой долга по истечении срока контракта. В последнем случае сумма, получаемая кредитором называется наращенной суммой. Таким образом, наращенная сумма есть результат сложения суммы, предоставляемой в кредит, и процентных денег. Формула определения наращенной суммы с использованием простых процентов (формула простых процентов) запишется в следующем виде: Где S
- наращенная сумма. Выражение (1+n.i)
называется множителем наращения процентов. При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражают дробным числом, т.е. как отношение числа дней функционирования сделки к числу дней в году: где t
- число дней функционирования сделки (число дней, на которое предоставили кредит); К
- временная база (число дней в году). Тогда формула (2.4.) примет вид: В ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом, т.е. продолжительность года К
принимается равной 360 дням. Это германский метод
начисления процентов.
Проценты, рассчитанные с временной базой К
= 360 дней, называются объективными или коммерческими. Существует французский метод
, когда продолжительность года принимается равной К
= 360 дням, а продолжительность месяцев в днях соответствует календарному исчислению. И наконец, в ряде стран используется английский метод
, учитывающий продолжительность года в 365 дней, а продолжительность месяцев - в днях, также соответствующих календарному исчислению, как и при использовании французского метода
. В этой связи различают три метода процентных расчетов, зависимых от выбранного периода начисления. 1.Точные
2.Обыкновенные
3.Обыкновенные
проценты с приближенным числом дней ссуды (германский метод
).При этом методе величина t
определяется количеством месяцев по 30 дней в каждом, начиная с момента выдачи ссуды и до момента ее погашения и точным числом дней ссуды в неполном месяце; продолжительность года К
= 360 дней. При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимаются за 1 день. Между величинами процентного дохода, рассчитанными с использованием различной временной базы (I360
и I365
), при равной продолжительности ссуды t
существуют следующие соотношения: При установлении переменной процентной ставки, т.е. дискретно изменяющейся во времени ставки, наращенная ставка определяется по формуле: где it
- ставка простых процентов в периоде t
; nt
- продолжительность начисления ставки it
; m
- число периодов начисления процентов. Выше нами рассматривались методы расчета наращенной суммы, когда она является результатом сложения процентного дохода и капитала, предоставленного в кредит. При этом начисление процентов производилось в конце расчетного периода. Такой метод начисления процентов называется декурсивным
Наряду с рассмотренным методом начислений существует метод, когда прибавляют к начислению процентов уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием
В этом случае итоговая наращенная сумма определяется по формуле: где n1, n2, nt
- продолжительность периодов наращения; i1, i2, it -
процентные ставки, по которым производятся реин – вестирование. Данный метод начисления процентов (с переменной базой) будет подробно рассмотрен в разделе, посвященном сложным процентам. Вычисление наращенных сумм на основе простых учетных ставок.
Наряду с декурсивным методом существует и другой способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100 %) принимается сумма погашения долга. В этом случае применяется не процентная, а учетная ставка (d
). Такой метод начисления процентов носит название антисипативный
(предварительный
). Расчет наращенной суммы производится по формуле: Таким образом, мы убедились, что простая учетная ставка дает более быстрый рост наращенной суммы, чем аналогичная по величине ставка простых процентов. При равенстве простой процентной ставки і
и простой учетной ставки d
(20%) различие в величине множителей наращения определяется сроком ссуды: Вид ставки Срок ссуды в годах - n
Процентные вычисления с использованием дивизора.
В мировой финансовой практике наряду с рассмотренными методами процентных вычислений существует и ряд других. В частности, применяется модификация формулы для определения величины процентного дохода: Для числа дней t
процентный доход (платежи) составит: где произведение P.t
называют процентным числом, а частное 36000 / i
Дисконтирование по простым процентным ставкам
Стоимость денег и время.
Деньги постоянно меняют свою стоимость. Основной концепцией теории финансов есть то, что одна денежная единица сегодня имеет большую стоимость, чем одна денежная единица завтра, через месяц, год. Инвесторы (люди, которые имеют свободные деньги) дают предпочтение тем деньгам, которые у них сегодня, а не тем, которые будут завтра, потому что они дают им возможность снова из денег делать деньги. Прежде чем вложить свои деньги в какое-нибудь дело, каждый инвестор должен хорошо определить выигрыш и затраты, которые ждут его в будущем. Таким образом, деньги со временем теряют свою стоимость и не могут быть неподвижными. Основными причинами обесценивания денег есть: инфляция; риск; склонность к ликвидности. Если годовой теми инфляции (общее повышение цен) 20 %, то соответственно покупательная способность одной денежной единицы снизилась на 20 %, т.е. в начале года за 1 д.е. можно купить 10 единиц какого-то товара, а в конце года за нее можно купить лишь 8 единиц. Рынок означает неуверенность в будущем. Невозможно точно предвидеть, вернуться ли завтра деньги, вложенные сегодня (из-за инфляции и др.). Поэтому каждая финансовая сделка имеет определенный процент риска. Даже финансовые аналитики, опытные инвесторы, несмотря на их компетентность, не могут гарантировать, что доходы, которые они ожидают от некоторых инвестиций, будут такими в будущем. Чем больший период использования денег, тем больший риск, что соответственно уменьшает ожидаемую стоимость денег. Склонность к ликвидности денег колеблется. Наиболее ликвидные «живые» деньги. За них можно купить все. Одновременно деньги, вложенные в ценные бумаги, товар и т.д., уже менее ликвидны, т. к. для того, чтобы снова перевести ценные бумаги и товар в деньги, требуется время. Поэтому кредиторы или инвесторы, отдавая свои «живые» деньги, надеются на высокие будущие доходы, чтобы оправдать риск и потерю ликвидности. Будущая стоимость денег - это наращенная сумма S
, т.е. сумма, которую следует уплатить через определенное время n
за пользование деньгами P
. Стоимость денег сегодня, т.е. на данный момент времени Р0
Таким образом, какая-либо сумма денег имеет три характеристики: начальную стоимость Р0
- стоимость на начало отсчета времени, текущую стоимость Р
Чтобы начальная сумма Р0
денег не утратила своей стоимости, на нее следует начислить проценты по ставке не меньшей от нормы банковского процента. В финансовой практике часто приходится решать задачу обратную процессу наращивания, а именно: по известной будущей величине денег, которые следует уплатить за определенное время n
, определить начальную сумму Р0
. Например: клиент хочет через 2 года иметь на счете 20000 д.е. Какую сумму он должен положить сегодня в банк, если он платит 30 % годовых простых. Легко получаем следующий результат: 20000 = P
(1+2×0,3) , P
= 20000/1,6 = 12500 д.е. Неравноценность денег в разные календарные сроки вызвала к жизни важное понятие дисконтирования. Эта процедура является обратной по отношению к процессу начисления процентов. Дисконтированием называется авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, то есть до наступления срока ее погашения. Другим вариантом дисконтирования является учет векселей в банке, когда банк принимает вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг (долговых обязательств). Исходной величиной выступает не начальный вклад Р
, а некоторая будущая сумма S
. Вопрос состоит в том, чтобы определить эквивалентную сумму Р
, отстоящую на t
Во-первых, по размеру вклада Р
, который при начислении процентов через t периодов дает сумму S
, и, во-вторых, по размеру платежа к которому придем при удержании процентов с финальной суммы S
за срок При дисконтировании определяют так называемые мультипликаторы (дисконтные множители), показывающие, какую долю составляет Р
в величине S
. Величину Р
, найденную дисконтированием S
по вкладу, называют современной, или приведенной величиной S
. Это понятие является важнейшим в количественном анализе финансовых операций, т.к. именно с помощью дисконтирования учитывается такой фактор, как время. Формулы дисконтирования по платежу (второй подход) можно получить, используя известные формулы с заменой схемы начисления процентов на вклад Р
схемой их удержания с суммы S
По простым процентам за t
периодов получим величину: Данный вид дисконтирования используется при учете векселей. Виды дисконтирования
Таким образом, дисконтирование - это определение начальной или современной суммы Р
по известной конечной сумме S
, которую следует отдать через некоторое время n
. Разность S - P
называется дисконтом
и обозначается D
. Дисконт
- это процентные деньги, начисленные и полученные заранее. Сумму Р
, вычисленную при дисконтировании, часто называют приведенной величиной платежа S
. Задача дисконтирования возникает очень часто при выработке условий контракта между двумя предприятиями, различными объектами хозяйствования, при определении настоящей рынковой стоимости векселей акций, облигаций и других ценных бумаг. Различают два вида дисконтирования: математическое и банковское. Математическое дисконтирование
При математическом дисконтировании решается задача, обратная определению наращенной суммы. Сформулируем ее следующим образом: какую сумму следует выдать в долг на n
лет, чтобы при начислении на нее процентов по ставке i получить наращенную сумму, равную S
. Для решения этой задачи используют формулу наращения по простой ставке процентов (2.4.): где 1 / (1+n.i)
- дисконтный множитель, показывающий, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной. Используя приведенные формулы рассчитаем величину эффективной годовой процентной ставки: Банковское дисконтирование
Банковское дисконтирование основано на использовании учетной ставки d
, т.е. проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды. При банковском дисконтировании дисконтированная величина определяется по формуле: где Р
¢
S
- наращенная сумма долга; d
- учетная (дисконтная) ставка, выраженная в десятичных дробях; n
– временный интервал от момента учета финансового инструмента до даты уплаты по нему в годах. Дисконтирование с помощью математического и банковского методов, т.е. по процентной ставке i
и учетной ставке d
приводит к различным финансовым результатам. При использовании учетной ставки фактор времени учитывается более “строго”. В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещаются начисление процентов по ставке i
и дисконтирование по ставке d
. В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле: где Р
- сумма, предоставленная в кредит; n
- общий срок платежного обязательства; n
¢ - срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, т.е. n
¢< n
; S
- сумма, полученная при учете обязательства. Определение параметров по простым процентам
Для определения срока ссуды в днях следует воспользоваться формулой: где К
= 360 или 365 (366) дней. Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формуле: Расчет простых процентов в условиях инфляции
При начислении процентов может быть учтена инфляция - снижение покупательной способности денег. Инфляцию характеризуют два показателя: уровень инфляции и индекс инфляции. Уровень инфляции показывает, на сколько процентов изменяются цены за некоторый период времени, а индекс инфляции - во сколько раз выросли цены за период времени. N
< 1 можно определить по формуле: Рассмотрим случай, когда при заданном годовом уровне инфляции ссуда выдается на срок больше года (n
> 1). Если n
- целое число, то получим. И расчет параметров этой сделки. Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи
— это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей
— это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа. В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты. Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и . Процент
— одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%). Ответ: больше на Процентная ставка
— относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга. Период начисления
— это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками. Капитализация процентов
— присоединение процентов к основной сумме долга. Наращение
— процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов. Дисконтирование
— обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке). Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах. При схеме "простых процентов
" исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга . При схеме "сложных процентов
" (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга. Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде . При схеме "простых процентов" (простой дисконт
) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада. При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт
) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода. Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , , — при схеме простых процентов 1
. В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800. Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом. Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются. Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка" Реальная процентная ставка
определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции: Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%). Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года. Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов. Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255. 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365) 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365) 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360) В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.
2.1.1. Рост суммы при сложной процентной ставке
2.1.2. Рост суммы при нецелом числе периодов времени
2.1.3. Сложная переменная ставка и средние геометрические величины
2.1.4. Расчет темпов инфляции
2.2. Годовые, квартальные, месячные ставки процента
2.2.1. Уравновешенные ставки процента
2.2.2. Относительные ставки процента
2.2.3. Эффективная процентная ставка
2.3. Рост по простым и сложным процентным ставкам
2.3.1. Характеристики роста по простым и сложным процентам
2.3.2. Формулы срока удвоения
2.3.3. Связь между простыми и сложными ставками
2.3.4. Непрерывный рост суммы и сила роста
2.4. Дисконтирование по сложной ставке
2.4.1. Дисконтирование по сложной ставке процента
2.4.2. Сложная учетная ставка
2.5. Годовые, квартальные, месячные учетные ставки
2.5.1. Уравновешенные учетные ставки
2.5.2. Относительные учетные ставки
2.6. Дисконтирование по простым и сложным учетным ставкам
2.6.1. Характеристики дисконтирования по простым и сложным учетным ставкам
2.6.2. Связь между простыми и сложными учетными ставками
2.6.3. Основные соотношения между сложными процентными и учетными ставками
2.6.4. Непрерывное дисконтирование и сила дисконта
2.7. Параметры расчетов с процентными и учетными ставками
2.7.1. Расчет продолжительности срока по процентным ставкам
2.7.2. Расчет продолжительности срока по учетным ставкам
2.7.3. Расчет величины процентной ставки
2.7.4. Расчет величины учетной ставки
Выводы
Вопросы для самопроверки
Библиография
английский метод
). При этом методе продолжительность года К
приниается равной 365(366) дням и определяется фактическое число дней t
между двумя датами (датой получения и погашения кредита).
проценты с точным числом дней ссуды (французский метод
). При этом методе величина t
рассчитывается, как и в предыдущем методе.
(последующим
).
или капитализацией
процентного дохода.
или 36500 / i
- процентным ключом, или постоянным делителем. В финансовой литературе процентный ключ имеет еще одно наименование - дивизор
(обозначение D
).
называется текущей стоимостью.
- стоимость на какой-либо момент времени, будущую стоимость S
- стоимость на конец отсчета времени.
предшествующих периодов до срока выплаты S
. В зависимости от принятого критерия эквивалентности можно выделить два подхода к расчету предшествующих сумм.
t
. Таким образом, при одном толковании за базовую величину, то есть за 100 %, принимается размер вклада Р
, в то время как при другой - за 100 % берется будущая сумма S
. Кроме того, по каждому варианту дисконтирование можно производить как по простым так и по сложным процентам.
за тот же срок платежа. За основу их построения можно принять понятие единичного, периода удержания процентов (дисконтирования) и учетной ставки d
, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы S
на один период “назад”. Отсюда следует, что на начало этого периода эквивалентная выплате S
сумма составит величину Р
, которая при дробном измерении ставки определяется формулой:
или 
.
- дисконтированная величина;
Проценты — основные понятия
первоначальная сумма долга
(дни)
фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней)
процентная (учетная) ставка за период
срок долга в днях
срок долга в долях от периода
сумма долга в конце срока
Процентная ставка
Простая и сложная процентные ставки
"Прямые" формулы
Простые проценты
Сложные проценты
— процентная ставка
наращение
— процентная ставка
дисконтирование (банковский учет)
"Обратные" формулы
Простые проценты
Сложные проценты
— процентная ставка
дисконтирование (математический учет)
— процентная ставка
наращение
Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов
Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель
Различают номинальные и реальные процентные ставки
Способы начисления процентов:
Простая процентная ставка
График роста по простым процентам
Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления
Временная база может быть равна:
Число дней ссуды
На практике применяются три варианта расчета простых процентов:
Переменные ставки