Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.
Формула наращения по сложным процентам
Пусть первоначальная сумма долга равна P , тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P (1+ i ) , через 2 года P (1+ i )(1+ i )= P (1+ i ) 2 , через n лет - P (1+ i ) n . Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
S=P(1+i) n , (19)
где S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов, n - срок ссуды, (1+ i ) n - множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P , а знаменатель (1+ i ).
Отметим, что при сроке n <1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n >1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.
Формула наращения
по сложным процентам,
когда ставка меняется во времени
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид
(20)
где i 1 , i 2 ,..., i k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2,..., nk соответственно.
Пример 6.
В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.
Решение.
(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
Формула удвоения суммы
В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величине N :
А) для простых процентов
(1+ ni прост. ) = N , откуда
. (21)
Б) для сложных процентов
(1+ i сложн. ) n = N , откуда
. (22)
Особенно часто используется N =2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:
А) для простых процентов
, (23)
Б) для сложных процентов
. (24)
Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2 0,7, а ln (1+ i ) i . Тогда
n » 0,7/ i . (25)
Пример 7.
Решение.
а) При простых процентах:
лет.
б) При сложных процентах и точной формуле:
Года.
в) При сложных процентах и приближенной формуле:
n » 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет .
Выводы:
1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.
2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.
Начисление годовых процентов при дробном числе лет
При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:
1) По формуле сложных процентов
S=P(1+i) n , (26)
2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые
S=P(1+i) a (1+bi) , (27)
где n = a + b , a -целое число лет, b -дробная часть года.
3) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.
S=P(1+i) a . (28)
Номинальная и эффективная ставки процентов
Номинальная ставка . Пусть годовая ставка сложных процентов равна j , а число периодов начисления в году m . Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j / m . Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:
S=P(1+j/m) N , (29)
где N - число периодов начисления.
Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:
1) По формуле сложных процентов
S=P(1+j/m) N/ t , (30)
где N / t - число (возможно дробное) периодов начисления процентов, t - период начисления процентов,
2) По смешанной формуле
, (31)
где a - целое число периодов начисления (т.е. a = [ N / t ] - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления t ),
b - оставшаяся дробная часть периода начисления ( b = N / t - a ).
Пример 8.
Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.
Решение.
Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется кварталов.
1)
= 73,713 млн. руб.
2) = 73,875 млн. руб.
3) S=20(1+0,6/4) 9 = 70,358 млн . руб .
Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j / m .
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j / m , то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
(1+i э ) n =(1+j/m) mn , (32)
где i э - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
(33)
Обратная зависимость имеет вид
j=m[(1+i э ) 1/m -1]. (34)
Пример 9.
Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.
Решение
i э =(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, т.е. 10,38%.
Пример 10.
Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.
Решение.
j =4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, т.е. 11,495%.
Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов
Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский.
Математический учет . В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения
S=P(1+i) n
и решим ее относительно P
, (35)
где
(36)
учетный или дисконтный множитель.
Если проценты начисляются m раз в году, то получим
, (37)
где
(38)
дисконтный множитель.
Величину P , полученную дисконтированием S , называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S . Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P , выплачиваемой в настоящий момент.
Разность D = S - P называют дисконтом .
Банковский учет . В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле
P=S(1-d сл ) n , (39)
где d сл - сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае равен
D=S-P=S-S(1-d сл ) n =S. (40)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Номинальная и эффективная учетные ставки процентов
Номинальная учетная ставка . В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f . Тогда в каждом периоде, равном 1/ m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f / m . Процесс дисконтирования по этой сложной учетной m раз в году описывается формулой
P=S(1-f/m) N , (41)
где N - общее число периодов дисконтирования (N = mn ).
Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта.
Эффективная учетная ставка . Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m .
В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей
(1-f/m) mn =(1-d сл ) n ,
из которого следует, что
d сл =1-(1-f/m) m . (42)
Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.
Наращение по сложной учетной ставке. Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) относительно S . Получаем
из P=S(1-d сл) n
, (43)
а из P = S (1- f / m ) N
. (44)
Пример 11.
Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.
Решение.
млн.
руб.
Пример 12.
Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.
Решение.
млн. руб.
Наращение и дисконтирование
Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле
S = P (1+ j / m ) mn ,
где j - номинальная ставка процентов, а m - число периодов начисления процентов в году.
Чем больше m , тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ® ¥ имеем
S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)
m ® ¥ m ® ¥
Известно, что
lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,
m ® ¥ m ® ¥
где e - основание натуральных логарифмов.
Используя этот предел в выражении (45), окончательно получаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставке j равна
S = Pe jn . (46)
Для того, чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом d . Тогда
S=Pe d n . (47)
Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m ® ¥ .
Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле
P=Se - d n . (48)
Связь дискретных и непрерывных процентных ставок
Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения
(1+i) n =e d n . (49)
Из записанного равенства следует, что
d = ln (1+ i ) , (50)
i = e d -1 . (51)
Пример 13.
Годовая ставка сложных процентов равна 15%, чему равна эквивалентная сила роста,
Решение.
Воспользуемся формулой (50)
d = ln (1+ i )= ln (1+0,15)=0,13976,
т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.
Расчет срока ссуды и процентных ставок
В ряде практических задач начальная (P ) и конечная (S ) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.
Срок ссуды
При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции (срока ссуды) через остальные параметры сделки. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
i .
S=P(1+i) n
следует, что
(52)
где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, так и в знаменателе.
m раз в году из формулы
S=P(1+j/m) mn
получаем
(53)
d . Из формулы
P=S(1-d) n
имеем 
(54)
m раз в году. Из
P=S(1-f/m) mn
приходим к формуле
(55)
При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из
S = Pe d n
получаем
ln ( S / P )= d n . (56)
Расчет процентных ставок
Из тех же исходных формул, что и выше, получим выражения для процентных ставок.
А) При наращивании по сложной годовой ставке i . Из исходной формулы наращения
S=P(1+i) n
следует, что
(57)
Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы
S=P(1+j/m) mn
получаем 
(58)
В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d . Из формулы
P=S(1-d) n
имеем 
(59)
Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году. Из
P=S(1-f/m) mn
приходим к формуле
(60)
Д) При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из
S = Pe d n
получаем
(61)
Начисление процентов и инфляция
Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом J n . Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен J p , т.е.
J n =1/ J p . (62)
Индекс цен показывает во сколько раз выросли цены за указанный промежуток времени.
Наращение по простым процентам
Если наращенная за n лет сумма денег составляет S , а индекс цен равен J p , то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна
C=S/J p . (63)
Пусть ожидаемый средний годовой темп инфляции (характеризующий прирост цен за год) равен h . Тогда годовой индекс цен составит (1+ h ).
Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит
(64)
где в общем случае
(65)
и, в частности, при неизменном темпе роста цен h ,
J p =(1+h) n . (66)
Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна
(67)
Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой . Брутто-ставка, которую мы будем обозначать символом r , находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента
(68)
откуда
(69)
Наращение по сложным процентам
Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т.е. в неизменных рублях) составит
(70)
где индекс цен определяется выражением (65) или (66), в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции.
В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i = h , обеспечивающей равенство C = P .
Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов.
А) Корректировка ставки процентов , по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется брутто-ставкой. Будем обозначать ее символом r . Считая, что годовой темп инфляции равен h , можем написать равенство соответствующих множителей наращения
(71)
где i - реальная ставка.
Отсюда получаем формулу Фишера
r=i+h+ih . (72)
То есть инфляционная премия равна h + ih .
Б) Индексация первоначальной суммы P . В этом случае сумма P корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса. Тогда
S=PJ p (1+i) n . (73)
Нетрудно заметить, что и в случае А) и в случае Б) в итоге мы приходим к одной и той же формуле наращения (73). В ней первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два - корректировку ставки процента.
Измерение реальной ставки процента
На практике приходится решать и обратную задачу - находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку i по заданной (или объявленной) брутто-ставке r .
При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна
(74)
При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением
(75)
Практические приложения теории
Рассмотрим некоторые практические приложения рассмотренной нами теории. Покажем как полученные выше формулы применяются при решении реальных задач по расчету эффективности некоторых финансовых операций, сравним различные методы расчетов.
Конвертация валюты и начисление процентов
Рассмотрим совмещение конвертации (обмена) валюты и наращение простых процентов , сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. Всего возможно 4 варианта наращения процентов:
1. Без конвертации. Валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы производится по валютной ставке путем прямого применения формулы простых процентов.
2. С конвертацией. Исходные валютные средства конвертируются в рубли, наращение идет по рублевой ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в исходную валюту.
3. Без конвертации. Рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который начисляются проценты по рублевой ставке по формуле простых процентов.
4. С конвертацией. Рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли.
Операции без конвертации не представляют сложности. В операции наращения с двойной конвертацией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию пока не рассматриваем). Изменение же обменного курса может быть как в ту, так и в другую сторону, и оно может быть как источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Далее мы конкретно остановимся на двух вариантах (2 и 4), предусматривающих двойную конвертацию.
Предварительно введем следующие ОБОЗНАЧЕНИЯ:
P v - сумма депозита в валюте,
P r - сумма депозита в рублях,
S v - наращенная сумма в валюте,
S r - наращенная сумма в рублях,
K 0 - курс обмена в начале операции (курс валюты в руб.)
K 1 - курс обмена в конце операции,
n - срок депозита,
i - ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби),
j - ставка наращения для конкретной валюты.
ВАРИАНТ:ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА
Операция состоит из трех этапов: обмена валюты на рубли, наращения рублевой суммы, обратное конвертирование рублевой суммы в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит
.
Как видим, три этапа операции нашли свое отражение в этой формуле в виде трех сомножителей.
Множитель наращения с учетом двойной конвертации равен
,
где k = K 1 / K 0 - темп роста обменного курса за срок операции.
Мы видим, что множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной с обменным курсом в конце операции K 1 (или с темпом роста обменного курса k ).
Исследуем теоретически зависимость общей доходности операции с двойной конвертацией по схеме ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА от соотношения конечного и начального курсов обмена k .
Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции в целом, равна
.
Подставим в эту формулу записанное ранее выражение для S v
.
Таким образом с увеличением k доходность i эфф падает по гиперболе с асимптотой -1/ n . См. рис. 2.
Рис. 2.
Исследуем особые точки этой кривой. Отметим, что при k =1 доходность операции равна рублевой ставке, т.е. i эфф = i . При k >1 i эфф < i , а при k <1 i эфф > i . На рис. 1 видно, при некотором критическом значении k , которое мы обозначим как k * , доходность (эффективность) операции оказывается равной нулю. Из равенства i эфф =0 находим, что k * =1+ ni , что в свою очередь означает K * 1 = K 0 (1+ ni ).
ВЫВОД 1: Если ожидаемые величины k или K 1 превышают свои критические значения, то операция явно убыточна (i эфф <0 ).
Теперь определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции K 1 , при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойной конвертации не дает никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций
.
Из записанного равенства следует, что
или
.
ВЫВОД 2: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K 1 .
ВАРИАНТ:РУБЛИ ® ВАЛЮТА ® ВАЛЮТА ® РУБЛИ
Рассмотрим теперь вариант с двойной конвертацией, когда имеется исходная сумма в рублях. В этом случае трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы
.
Здесь также множитель наращения линейно зависит от ставки, но теперь от валютной ставки процентов. От конечного курса обмена он также зависит линейно.
Проведем теоретический анализ эффективности этой операции с двойной конвертацией и определим критические точки.
.
Отсюда, подставив выражение для S r , получаем
.
Зависимость показателя эффективности i эфф от k линейная, она представлена на рис. 3
Рис . 3.
При
k=1 i
эфф
=j
,
при
k>1 i
эфф
>j
,
при
k<1
i
эфф
Найдем теперь критическое значение k * , при котором i эфф =0 . Оно оказывается равным
или .
ВЫВОД 3: Если ожидаемые величины k или K 1 меньше своих критических значений, то операция явно убыточна (i эфф <0 ).
Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, определяется путем приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства i эфф = i )
,
откуда min или min .
ВЫВОД 4: Депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K 1 .
Теперь рассмотрим совмещение конвертации валюты и наращение сложных процентов. Ограничимся одним вариантом.
ВАРИАНТ:ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА k =1 i э = i , при k >1 i э < i , а при k <1 i э > i .
Критическое значение k , при котором эффективность операции равна нулю, т.е. i э =0 ,
определяется как k * =(1+ i ) n , что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по рублевой ставке: .
ВЫВОД 5: Если ожидаемые величины k или K 1 больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конвертацией явно убыточна (i э <0 ).
Максимально допустимое значение k , при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке
Контур финансовой операции
Финансовая или кредитная операции предполагают сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности можно пояснить на графике.
Рис. 5.
Пусть ссуда в размере D 0 выдана на срок T . На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два промежуточных платежа R 1 и R 2 , а в конце срока выплачивается остаток задолженности R 3 , подводящий баланс операции.
На интервале времени t 1 задолженность возрастает до величины D 1 . В момент t 1 долг уменьшается до величины K 1 = D 1 - R 1 и т.д. Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности R 3 . В этот момент задолженность полностью погашается.
Назовем график типа б) контуром финансовой операции . Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т.е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. Контур операции обычно применяется при погашении задолженности частичными промежуточными платежами.
С помощью последовательных частичных платежей иногда погашаются краткосрочные обязательства. В этом случае существуют два метода расчета процентов и определения остатка задолженности. Первый называется актуарным и применяется в основном в операциях со сроком более года . Второй метод назван правилом торговца . Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года .
Замечание: При начислении процентов, как правило, используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней временных периодов.
Актуарный метод
Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.
Для случая, показанного на рис. 5 б), получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности:
K 1 =D 0 (1+t 1 i)-R 1 ; K 2 =K 1 (1+t 2 i)-R 2 ; K 2 (1+t 3 i)-R 3 =0,
где периоды времени t 1 , t 2 , t 3 - заданы в годах, а процентная ставка i - годовая.
Правило торговца
Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации.
1) Если срок ссуды не превышает, сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами.
2) В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты, делаются для годового периодазадолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.
При общем сроке ссуды T £ 1 алгоритм можно записать следующим образом
,
где S - остаток долга на конец срока,
D - наращенная сумма долга,
K - наращенная сумма платежей,
R j - сумма частичного платежа,
t j - интервал времени от момента платежа до конца срока,
m - число частичных (промежуточных) платежей.
Переменная сумма счета и расчет процентов
Рассмотрим ситуацию, когда в банке открыт сберегательный счет, и сумма счета в течение срока хранения изменяется: денежные средства снимаются, делаются дополнительные взносы. Тогда в банковской практике при расчете процентов часто используют методику расчета с вычислением так называемых процентных чисел . Каждый раз, когда сумма на счете изменяется, вычисляется процентное число C j за прошедший период j , в течение которого сумма на счете оставалась неизменной, по формуле
,
где t j - длительность j -го периода в днях.
Для определения суммы процентов, начисленной за весь срок, все процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель D :
,
где K - временная база (число дней в году, т.е. 360 либо 365 или 366), i - годовая ставка простых процентов (в %).
При закрытии счета владелец получит сумму равную последнему значению суммы на счете плюс сумму процентов.
Пример 14.
Пусть 20 февраля был открыт счет до востребования в размере P 1 =3000 руб., процентная ставка по вкладу равнялась i =20% годовых. Дополнительный взнос на счет составил R 1 =2000 руб. и был сделан 15 августа. Снятие со счета в размере R 2 =-4000 руб. зафиксировано 1 октября, а 21 ноября счет был закрыт. Требуется определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.
Решение.
Расчет будем вести по схеме (360/360). Здесь имеются три периода, в течение которых сумма на счете оставалась неизменной: с 20 февраля по 15 августа (P 1 =3000, t 1 =10+5*30+15=175), с 15 августа по 1 октября (P 2 = P 1 + R 1 =3000+2000=5000 руб., t 2
Сумма, выплачиваемая при закрытии счета, равна
P 3 +I=1000+447.22=1447 руб . 22 коп .
Теперь покажем связь этой методики с формулой простых процентов. Рассмотрим в алгебраическом виде представленный выше пример.
C умму, выплачиваемую при закрытии счета, найдем следующим образом
Таким образом, мы получили выражение, из которого следует, что на каждую сумму, добавляемую или снимаемую со счета, начисляются проценты с момента совершения соответствующей операции до закрытия счета. Эта схема соответствует правилу торговца, рассмотренному в разделе 6.2.
Изменение условий контракта
В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно, в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т.д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности , в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных - сложные ставки.
Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.
В чем разница между простыми и сложными процентами?
Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустим вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.
За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумма составит: 12 000 рублей.
Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).
Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.
Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей
Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.
При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.
Особенно привлекательным становится вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.
Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.
Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.
Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.
Формула расчета сложного процента по вкладам в банках
Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:
S=K * (1+r/t)™
K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,
r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12
t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12
ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.
S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.
Пример.
Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы внесли 10 000 рублей.
Какая сумма будет у вас в конце срока?
K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8
Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.
Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.
Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начислением, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.
Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если изменится сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.
Такое понятие, как сложный процент по вкладу приходится слышать достаточно редко, большинство банковских клиентов, потенциальных вкладчиков предпочитают формулировку «капитализация процентов». Тем не менее, основная задача каждого клиента, владельца депозитного счета – получить прибыль от сотрудничества с банком , здесь именно сложный процент по вкладу это обеспечивает. В банковских предложениях, в большинстве своем указана базовая процентная ставка, то есть без учёта процентов на проценты. Но все же вкладчикам обязательно стоит знать, как рассчитываются сложные проценты по вкладам. Попробуем ответить на вопрос.
Как начисляются проценты по вкладам
На самом деле здесь процесс начисления достаточно простой. Банк указывает клиенту годовую ставку, например, 8% и на всю сумму инвестиции ее начисляет. Приведем простой пример: сумма вклада 10000 рублей, ставка 8%, срок 1 год. По окончании месяца сумма к выдаче составит 10800 рублей. В данном примере применялась формула простых процентов, которая выглядит так:
S=D*(P/100), где:
- S – итоговая сумма, по окончании срока действия договора;
- D – сумма инвестиций;
- P – годовой процент.
Что касается индивидуальных условий банковского обслуживания, то всё зависит от внутреннего регламента коммерческой организации. То есть, некоторые банки начисляют доход по окончании срока действия договора, другие кредитно-финансовые организации рассчитывают доход с определенной периодичностью, например, один раз в месяц, квартал или полугодие. Соответственно, клиент может получать свое вознаграждение на протяжении срока действия договора.
Кроме всего прочего, в банковской терминологии применяются такие понятия, как фиксированный и плавающий годовой процент. Фиксированное значение - это то, которое действует от начала до конца срока вложений и может измениться только при том обстоятельстве, если предусмотрена автоматическая пролонгация договора. По той причине, что в данном случае банк устанавливает тот процент, который действует на дату пролонгации.
Плавающий процент применяется при депозитах с возможностью пополнения счёта. Например, по условия банковского вклада владелец депозитного счёта может пополнять его на определенную сумму, при этом годовой процент полностью зависит от размера вклада, а постольку, поскольку он пополняемый, то за весь период срока действия договора сумма увеличивается, соответственно, вместе с ней увеличивается и годовой процент.
Посчитать проценты за месяц достаточно просто, нужно применить формулу, указанную выше, но с небольшой корректировкой: S=D*(P/100/12) , то есть вклад с вышеуказанными параметрами принесет своему владельцу доход в размере 67 рублей.
Обратите внимание, что расчеты по представленной формуле предварительные, потому что банк рассчитывает прибыль для вкладчиков за каждый день, а затем умножает на количество дней в периоде.
Капитализация процентов
На самом деле вклады под сложные проценты принято называть вклад с капитализацией процентов. Что это такое? Если говорить просто, то для вкладчика это означает начисление процентов на проценты. Например, по условиям банковского вклада прибыль от депозита начисляется ежемесячно, но, постольку, поскольку она остается не востребована вкладчиком, ее банк прибавляет к телу депозита.
Здесь размер прибыли во многом зависит от количества периодов капитализации. Многие крупные банки, в частности, Сбербанк России, ВТБ 24 и другие, предлагают своим клиентам капитализацию один раз в квартал, то есть каждые 3 месяца. А другие коммерческие банки могут вовсе рассчитывать прибыль один раз в год, соответственно, первая капитализация будет только через 12 месяцев, а именно на этот срок большинство заключает договор.
Вернемся к вопросу, как выглядит формула сложных процентов для банковских вкладов. Попробуем рассчитать прибыль от депозита за один год:
S=D×(1+N×L100×365)^x, где:
- S – общая сумма денежных средств, подлежащая возврату вкладчику по истечении срока действия депозитного договора;
- N – годовой процент без учета капитализации;
- L – число дней в том периоде, за который банк проводит капитализацию процентов;
- x – количество капитализаций за весь период действия договора;
- D – сумма инвестиций в банковский вклад.
- сумма инвестиций - 10000 рублей;
- капитализация осуществляется один раз в месяц (всего в году 365 дней), соответственно здесь L будет равно 365/12=30,41;
- количество капитализации - 12;
- годовая ставка - 8%;
Теперь произведем расчет:
S=10000×(1+8×30,41100×365)^12= 10830 рублей – это общая прибыль по депозиту на конец срока действия договора.
Как видно, посчитать самостоятельно прибыль от депозита не так сложно. Но банки рассчитывают доход вкладчика с учетом капитализации процентов несколько по-другому. То есть, от базовой процентной ставки высчитывается эффективный процент по вкладу, то есть тот который будет действовать с учетом причисления процентов к телу депозита на протяжении срока действия депозитного договора.
Формула сложных процентов по вкладам будет выглядеть следующим образом:
((1+P/12)^x-1)×12/x, где:
- P – это годовой процент без учета капитализации;
- x – количество периодов капитализации (при том условии, если она осуществляется ежемесячно).
Рассмотрим простотой пример расчета процентной ставки, при том условии, что базовое значение 8% в год. Расчет сложной ставки:
((1+8/100/12)^ 12-1)×12/12=0,083.
То есть, согласно данным расчетам базовая ставка 8% будет увеличена на 0,083% при капитализации процентов. Если же капитализация будет осуществляться один раз в квартал, то рассчитать эффективную ставку можно по следующей формуле:
((1+P/100/4)^4-1)×100%.
Считаем вклад с теми же параметрами ((1+8/100/4)^4-1)×100%=0,2682417945625, или приблизительно 0,268.
Обратите внимание, что информация по расчетам носит справочный характер, окончательное значение по вашему договору вы можете узнать непосредственно в банке.
Расчет прибыли для вклада с пополнением
Большинство вкладчиков сегодня выбирают депозитные программы с возможностью пополнения. Суть данного предложения заключается в том, что за весь период действия договора клиент может пополнять свой счет на определенную сумму. Несомненно, в данном случае прибыль будет рассчитываться совершенно по-другому.
- сумма 10000 рублей;
- ставка с учетом капитализации – 8,083%;
- срок 3 месяца;
- капитализация ежемесячно;
- ежемесячное пополнение 1000 рублей.
Считаем прибыль:
- 1 месяц – 10000+(10000×8,083/100/12)+1000=11067,358 рублей;
- 2 месяц – 11067,358+(11067,358×8,083/100/12)+1000=12141,905 рублей;
- 3 месяц – 12141,905+(12141,905×8,083/100/12)+1000=13223,690 рублей.
Таким образом, по истечении срока действия договора сумма инвестиций составит 13 тысяч рублей. Чистая прибыль будет равняться 223,69 рублям.
Особенности начисления прибыли
На самом деле, вопрос начисления процентов по депозиту строго индивидуальный. Если быть точнее, то всё зависит от условий договора с банком. Например, разновидности вклада очень много, банки предоставляют возможность пополнять счет, частично снимать наличные, получать ежемесячную прибыль в виде начисленных процентов. Соответственно, вопрос расчёта также строго индивидуальный.
В любом случае, все действующие условия депозита должны быть отражены в договоре с банком. Кроме того, банк должен указать вкладчику принцип начисления прибыли и прочие нюансы. Не стоит забывать о том, что в некоторых случаях банк ограничивает начисление прибыли, например, когда сумма вашего депозита превышает допустимый предел согласно условиям предложения.
Как правильно выбрать депозит в банке
Из выше приведенных формул, можно сделать определенный вывод, что для достижения максимальной прибыли стоит выбирать депозитные предложения с капитализацией. Пополнение счета позволит вкладчику контролировать свой доход, то есть это дает возможность вкладывать в депозит любую свободную сумму средств, на которую банк в будущем начислит свой процент. При этом стоит учитывать тот факт, что при досрочном отзыве средств годовую ставку снижается доставки от 0,01 до 0,1% годовых.
Что касается срока депозита, то разумнее выбирать средние сроки от полугода до одного года. На самом деле прибыльность будет зависеть непосредственно от этого. Как правило, чем меньше срок, тем ниже процентная ставка по вкладу, с другой стороны, заключение договора на длительный срок не позволит вкладчику отозвать средства раньше него. Поэтому стоит выбирать банк, где возможна автоматическая пролонгация договора на следующий срок.
В данном случае клиенту не нужно перезаключать договор вклада, так как банк сделает это автоматически.
Если сделать определенный вывод, то начисление сложных процентов по вкладам рассчитать будет довольно сложно, к тому же вы можете рассчитать сумму прибыли лишь приблизительно. Кстати, нельзя не сказать о том, что в интернете в открытом доступе можно найти калькулятор вклада которые также производят лишь предварительный расчёт окончательные выводы можно сделать только после обращения непосредственно в банк.
Сложные проценты
2.2.1. Формула сложых процентов
2.2.2. Эффективная ставка процентов
2.2.3. Переменная ставка процентов
2.2.4. Непрерывное начисление процентов
2.2.5. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
- проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
- срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:
FV = PV + I = PV + PV i = PV (1 + i )
– за один период начисления;
FV = (PV + I ) (1 + i ) = PV (1 + i ) (1 + i ) = PV (1 + i ) 2
– за два периода начисления;
отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:
FV = PV (1 + i ) n = PV k н ,
где FV – наращенная сумма долга;
PV – первоначальная сумма долга;
i – ставка процентов в периоде начисления;
n – количество периодов начисления;
k н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.
Эта формула называется формулой сложных процентов.
Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + i ).
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:
(1 + i ) n .
Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i . 5>>>
Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.
И расчет параметров этой сделки.
Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.
В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.
Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и .
Проценты — основные понятия
Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).
Примеры:Ответ: больше на
| первоначальная сумма долга | |
| (дни) | фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней) |
| процентная (учетная) ставка за период | |
| срок долга в днях | |
| срок долга в долях от периода | |
| сумма долга в конце срока |
Процентная ставка
Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.
Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.
Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.
Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.
Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).
Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.
Интерпретация процентной ставкиПри схеме "простых процентов " исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .
При схеме "сложных процентов " (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.
Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде .
Интерпретация учетной ставкиПри схеме "простых процентов" (простой дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.
При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.
Простая и сложная процентные ставки
"Прямые" формулы
| Простые проценты | Сложные проценты | ||
| — процентная ставка |  |
 |
наращение |
| — процентная ставка |
 |
 |
дисконтирование (банковский учет) |
"Обратные" формулы
| Простые проценты | Сложные проценты | ||
| — процентная ставка | дисконтирование (математический учет) | ||
| — процентная ставка | наращение |
Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов
Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,
— при схеме простых процентов
1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.
Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель
Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.
Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.
Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка"
Различают номинальные и реальные процентные ставки
Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:
Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).
Способы начисления процентов:
Простая процентная ставка
График роста по простым процентам
Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.
- I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
- S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.
Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления
Временная база может быть равна:- 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
- 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .
- Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
- Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.
- Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
- Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
- Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.
Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.
Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
- S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)
- S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)
- S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.
Переменные ставки
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.