Формулы простых и сложных процентов. Формула расчета процентов по кредиту. Простые и сложные проценты. Формула простых и сложных процентов по кредиту

Данная тема относится к и обязательна для изучения при инвестировании, построении капитала или просто для накопления необходимой суммы денег. В финансовой сфере принято отличать принцип расчета простых и сложных процентов. Например, в банковской сфере сложный процент понимается под понятием . А в инвестициях часто используют слово "реинвестирование".

Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.

Капитализация или реинвестирование - это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.

Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.

Примеры расчета простого и сложного процента

Формула простых и сложных процентов на малом периоде имеет незначительную разницу. Рассмотрим примеры.

Простой

Вы положили на обычный депозитный счет 1000 рублей под 10% годовых на 3 года. Через 3 года вы снимаете 1300 рублей. Так работает простой процент.

Сложный

Вы положили на депозитный счет 1000 рублей, но в характеристиках вклада указано "с ежегодной капитализацией процентов" . Те же - 10% годовых, срок тот же - 3 года. Через 3 года вы снимаете уже 1331 рубль. За счет эффекта сложного процента вы получили больше на 31 рубль, чем в первом случае.

Подробнее о сложном проценте

Простые проценты нам больше не интересны, а формула сложного выглядит так:

S - сумма, которую вы снимете в конце

B - базовая сумма

Pr - процентная ставка

n - временной период (может быть как в годах, так и в месяцах)

Давайте теперь посчитаем на суммах и процентах более приближенных к реальности, чтобы ощутить разницу в полной мере.

Задача №1

Дано:

• банковский депозит на сумму 100 тыс. руб.
• процентная ставка 8% годовых
• срок 4 года
• присутствует ежегодная капитализация процентов

Нужно найти:

В данном случае происходит ежегодная капитализация процента по вкладу. В некоторых банках также бывает услуга ежемесячной капитализации процентов. Об этом в задаче ниже.

Задача №2

Дано:

• банковский депозит на сумму 100 тыс руб.
• процентная ставка 8% годовых
• период 4 года
• ежемесячная капитализация

Нужно найти:

• конечную результирующую сумму (доход + %)

В формуле нужно применять ежемесячный процент, для этого 8 разделим на 12 месяцев. Получается 0,67% - это процент за месяц. И обратите внимание, степень теперь равна 48 - это количество месяцев за 4 года. Подставляем его в формулу:

Выводы

При ежемесячной капитализации результирующий доход вкладчика получился больше на 1736 рублей.

Чтобы сложный процент работал, не нужно снимать начисленные проценты, пусть они капитализируются на счете. Тогда вы получите больше выгоды от депозита.

Формула сложного процента на примере реального банковского вклада

Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.

Ставка процентов представляется как

g - ставка в % годовых, разделенная на 100. Если 8% годовых, то получаем g =0,08
d - количество дней, через которое проценты капитализируются с базовой суммой
y - кол-во дней в году

Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:

Математическое понятие "геометрическая прогрессия" помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.

Пример расчета сложного процента на большом отрезке времени

Возьмем одновременно 2 примера с простым и сложным процентами, чтобы разница была наглядной. В обоих вариантах начальная базовая сумма будет составлять 10 тыс. руб. на 20 лет под 10% годовых. В столбцах "сложный процент" сумма процентов каждый год будет прибавляться к базовой сумме.

Как мы видим при длительном отрезке капитализация процентов выглядит очень поразительным инструментом! И чем больше период вложений, тем более разительной становится разница. Но давайте рассмотрим еще более впечатляющий пример.

Как поможет сложный процент в построении капитала?

Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.

Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная - 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.

Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:

• 5% - государственные облигации, так называемые облигации федерального займа. Это упрощенно, на самом деле суммы может быть побольше.
• 10% - самый щедрый банковский вклад
• 15% - смешанный инвестиционный портфель акций и облигаций
• 20% - такой процент годовых может дать портфель из акций фондовой биржи.

Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.

Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.

А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.

Вы можете возразить, что действительно интересные суммы появляются только при 20% годовых. А вкладывать в акции вы, мол, не умеете. В действительности, это не такое сложное занятие.. Есть очень простые стратегии инвестирования в акции. Вам не понадобится думать, как выбирать акции и каждый день или неделю продавать их или покупать. Тут все почти как с банковским вкладом. Вы просто откладываете деньги покупаете на них каждый месяц одни и те же акции или паи фонда. Это краткая суть стратегии.

Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об , а точнее записи этого вебинара.

Вспомогательные формулы

Привожу еще пару вспомогательных формул, которые могут пригодиться при составлении личного финансового плана. Они выражаются из уже написанных выше. Рассмотрим все на примерах задач.

Задача №1

Дано:

• у вас есть 60 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 250 тыс. рублей
• у вас есть срок 15 лет

Найти:

• под какую процентную ставку нужно вложить деньги?

Расчет:

Ответ равен 10,03 процентам

Задача №2

Дано:

• у вас есть 50 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 1 млн. рублей
• вы уверены, что сможете вложить их под 40% годовых

Найти:

• сколько потребуется для этого времени в годах?

Расчет:

Ответ: 8,9 лет.

Заключение

Описанная формула простых и сложных процентов построения капитала активно используется во всем мире, будь то обычное накопление или инвестирование. Профессиональные финансовые советники и богатейшие люди мира одинаково хорошо отзываются и рекомендуют прибегать к сложным процентам для улучшения своего финансового положения.

Как мы увидели, не обязательно иметь крупную сумму в самом начале, главное регулярно откладывать деньги и пользоваться хорошим процентом.

Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.

В чем разница между простыми и сложными процентами?

Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустим вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.

За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумма составит: 12 000 рублей.

Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).

Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.

Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей

Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.

При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.

Особенно привлекательным становится вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.

Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.

Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.

Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.

Формула расчета сложного процента по вкладам в банках

Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:

S=K * (1+r/t)™

K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,

r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12

t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12

ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.

S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.

Пример.

Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы внесли 10 000 рублей.

Какая сумма будет у вас в конце срока?

K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8

Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.

Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.

Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начислением, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.

Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если изменится сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.

Наращение может осуществляться по схеме простых и слож­ных процентов.

Формула наращения простых процентов (simple interest). Нара­щение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

FV = PV (1 + r n).

Формула наращения сложных процентов (compound interest). Наращение по схеме сложных процентов означает, что очеред­ной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвести­рованного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно оп­ределить по формуле:

FV = PV (1 + r) n .

При одном и том же значении процентной ставки:

1) темпы наращения сложных процентов выше темпов нара­щения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода;

2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов на­ращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.

Области применения простых и сложных процентов. Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных опера­циях, так и одновременно. Области применения простых и слож­ных процентов можно разделить на три группы:

1) операции с применением простых процентов;

2) операции с применением сложных процентов;

3) операции с одновременным применением простых и сложных процентов.

1. Областью применения простых процентов чаще всего явля­ются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с од­нократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, век­сельные кредиты) и реже - долгосрочные операции.

При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается го­довая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денеж­ных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процент­ной ставки имеет следующий вид:

FV = PV (1 + f r),

FV = PV (1 + t r / Т),

t - срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т - расчетное количество дней в году.

При долгосрочных операциях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:

FV = PV (1 + r n),

где n - срок вложения денежных средств (в годах). ,

2. Областью применения сложных процентов являются дол­госрочные операции (со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r) n .

Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества вы­плат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

1) полугодовым (m = 2);

2) поквартальным (m = 4);

3) ежемесячным (m = 12);

4) ежедневным (m = 365 или 366);

5) непрерывным (m -» ?).

Формула наращения при полугодовом, поквартальном, еже­месячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

FV = PV (1 + r / m) nm ,

где PV - исходная сумма;

г - годовая процентная ставка;

n - количество лет;

m - количество внутригодовых начислений;

FV - наращенная сумма.

Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:

FV n = Р e rn ,

FV n = P e ? n ,

где: e = 2, 718281 - трансцендентное число (число Эйлера);

е? n - множитель наращения, который используется как при целом, так и дробном значении n;

Специальное обозначение процентной ставки при непрерыв­ном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»);

n - количество лет.

При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сро­ке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использова­ния обычной формулы начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r / m) nm > FV = PV (1 + r) n .

Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

Таким образом, первоначально заявленная годовая процент­ная ставка для начисления сложных процентов, называемая но­минальной, не отражает реальной эффективности сделки. Про­центная ставка, отражающая фактически полученный доход, на­зывается эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллю­стрирует рисунок.

Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании мож­но рассчитать эффективную процентную ставку (r е).

Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

FV = PV (1 + r) n ;

(1 + r e) = FV / PV.

Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

FV = PV (1 + r / m) nm .

Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

(1 + r e) = (1 + r/m) m ,

r e = (l + r/m) m - 1,

где r е - эффективная процентная ставка; r - номинальная процентная ставка; m - количество внутригодовых выплат.

Величина эффективной процентной ставки зависит от коли­чества внутригодовых начислений (m):

1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых со­ставляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

2) начисление процентов по смешанной схеме.

В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную сте­пень:

FV = PV (1 + r) n + f ,

где f - дробная часть срока вложения денежных средств.

Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления слож­ных процентов с целым числом лет и формулу начисления про­стых процентов для краткосрочных операций:

FV = PV (1 + r) n (1 + f r),

FV = PV (1 + r) n (1 + t r / Т).

Известны две основные схемы дискретного начисления процентов за фиксированные в договоре интервалы времени: схема простых процентов (simple interest) и схема сложных процентов (compound interest).

Простые проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы Р, увеличивающейся за определенный срок (единичный промежуток начисления Т=1) на некоторый процент (по ставке r, представленной в виде дроби) от начальной суммы P, т.е. на rP. Последовательность наращенных сумм P, F 1 , F 2 , …, F n за n промежутков начисления представляет собой арифметическую прогрессию с начальным членом P и разностью rP. Таким образом, к концу n-го промежутка начисления наращенная сумма рассчитывается по формуле: F=P +Pr +Pr+…+Pr=P +Prn, и следовательно,

F n = P(1+nr) (1).

(1+nr) – называют множителем наращения. Если ставка r измеряется в процентах, то для ее представления в виде дроби следует r поделить на 100.

Наращение по простым процентам применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты применяют при выдаче краткосрочных ссуд (срок до одного года с однократным начислением процентов).

Сложные проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы, увеличивающейся за определенный срок (единичный промежуток начисления) на некоторый процент с учетом получения процентов на проценты. Таким образом, каждая следующая сумма при наращении сложных процентов по ставке r возрастает на долю r от предыдущей и рассчитывается по формуле:

F n =P(1+ r) n . (2)

Последовательность наращенных сумм P, F 1 , F 2 , …, F n за n промежутков начисления представляет собой геометрическую прогрессию с начальным членом P и знаменателем прогрессии (1+r).

Процентные деньги (проценты) – это величина дохода,
равная Д n =F n -P (3), т.е. разности между наращенной суммой и начальной.

Норма процента рассчитывается по формуле (4):

Правило 72 . Если процентная ставка есть a, то удвоение капитала по такой ставке происходит примерно за 72/a лет. Это правило применяется для небольших ставок, вычисляемых по сложным процентам.

При выводе формул 1, 2 предполагалось, что n измеряется в годах, а r является годовой процентной ставкой. Эту формулы можно применить и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и процентной ставки (размерность каждого периода n k должна быть согласована с размерностью процентной ставки r k .

В том случае, когда сложные проценты начисляются m-раз в году, а наращение капитала происходит за n лет, где n – целое число, формула нахождения наращенной суммы примет следующий вид:

Можно сделать некоторые выводы для сложных процентов:

Ø Проценты, полученные за год по ставке r не эквивалентны процентам, полученным за год по ставке r/12 в месяц;

Ø чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

Для облегчения расчетов составлены таблицы мультиплицирующих множителей , которые показывают, во сколько раз возрастет за n лет сумма, положенная в банк под r процентов годовых: FM(n,r)=(1+r) n . Величина FM(n,r) есть будущая стоимость одной денежной единицы (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.)– через n лет при ставке процента r.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

Ø По схеме сложных процентов

Ø По смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

В том случае, когда продолжительность финансовой операции рассчитывается в днях, однозначного определения процента и других параметров финансовой операции нет. Решение будет зависеть от того, как рассчитывается продолжительность года и продолжительность периода финансовой операции.

Таким образом, существует два варианта процентов: точный процент и обыкновенный процент.

При расчете точного процента (exact interest) берется точное число дней в году (365, 366), в квартале (89 – 92), в месяце (28 – 31).

При расчете обыкновенного процента (ordinary) берется приближенное число дней в году (360), в квартале (90), в месяце (30).

Продолжительность периода финансовой операции (например, ссуды) исчисляется также двумя способами: расчет по дням (берется точное число дней) и расчет с приближенным числом дней в месяце (30).

Следовательно, можно выделить три способа расчета процентов:

I. Обыкновенный процент с приближенным числом дней (360/360). Такой способ расчета практикуется в Германии, Дании, Швеции.

II. Обыкновенный процент с точным числом дней (365/360 или АСТ/360). Такой способ расчета практикуется в Бельгии и Франции.

III. Точный процент с точным числом дней (365/365 или АСТ/АСТ). Такой способ расчета практикуется в Великобритании и США.

В российской практике можно встретиться с различными схемами начисления процентов. Эффект от выбора зависит от суммы финансовой операции. Понятно, что использование обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, как правило, дает больший результат, чем применение обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

Пример 1.1. Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.

Решение. Применим формулу (2) и получим F 4 =200000 (1+0,15) 4 .

Пример 1.2. Годовая ставка простых процентов равна 8,3%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Решение. Обозначим начальную сумму через Р. Тогда Р*(1+n*0,083)³ 2Р, т.е. 1+n*0,083)³ 2, n³ 1/0,083. С точностью до целых – через тринадцать лет.

Пример 1.3. Пусть P=1000, r = 10%- сложные проценты. Найти наращенную сумму за за n=3 промежутка начисления.

Решение. Р=1000; F 1 =1000 (1+0,1) 1 =1100; F 2 ,=1100*1,1=1210; F 3 =1210*1,1=1331,1.

Пример 1.4. Годовая ставка сложных процентов равна r =8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Решение. Р(1+0,08) n ³2Р; (1+0,08) n ³ 2; n* ln(1,08)³ ln2;
n³ (ln(2)/ln(1,08))=9.

Пример 1.5. М.Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой «на зубок» сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей».

Решение. В нашем примере нужно воспользоваться формулой сложных процентов, обозначив через х – искомый процент по вкладам (годовую ставку сложных процентов), и взяв n=50.

Получим: 800=100(1+х) 50 .

Логарифмируя с помощью таблицы логарифмов, получим решение следующим образом: lg800=lg100+50lg(1+x).

Антилогарифм 1+х=1,039. Тогда х=3,9%.

Пример 1.6. Чему равна будущая стоимость одной денежной единицы через 9 лет при ставке процента 10%.

Решение . Так как n=9, r=10%, то согласно таблице мультиплицирующих множителей М(9,10)=2,358.

Пример 1.7. Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых (простая ставка, год не високосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению F.

Решение .

1. Подсчитаем точное число дней, которые берется в расчет при выплате процентов. По табл. 161-41=120 (дней)

2. Подсчитаем приближенное число дней ссуды: t= 18 дней февраля (59-41) + 90 дней (март-июнь) + 10 дней июня=118 дней.

3. АСТ/АСТ F=7 (1+120/365*0,2)=7460руб.

4. 360/360 F=7 (1+118/360*0,2)=7459руб.

5. 365/360 F=7 (1+120/360*0,2)=7467руб.

Пример 1.8. 14 марта в банк положили сумму 1000 у.е. до востребования под ставку 12% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1 сентября?

Решение. Однозначного решения нет. Выберем способ расчета 360/360, т.е. в году 360 дней, в месяце 30 дней.

1) Найдем, какую долю от года составляет промежуток времени, в течение которого вклад хранился в банке: t=(30 дней * 5 месяцев +17 дней) / 360. Дни считаем так: из порядкового номера последнего дня вычитается порядковый номер первого дня.

Пример 1.9. Пусть сумма начального вклада Р=750 у.е. наращивается по годовой ставке r=20%. Принятая схема начисления: по простым процентам. Подсчитать проценты за n=4 промежутков начисления (лет). Представить последовательность наращенных сумм за 4 года.

Решение . Так как под процентами (процентными деньгами) понимают величину дохода (приращение денег) I n = F n -P, то сначала найдем F n

F n – это наращенная за n лет сумма, которая находится по формуле F n =P + n´r´P=Р(1+nr), где r – дробное измерение ставки. Таким образом, F 4 =750(1+4´0,2)=750 1,8=1350.

Следовательно, I 4 = F 4 -P=1350-750=600 (у.е.) – процентные деньги за 4 года.

Последовательность наращенных сумм в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию: F 1 = Р(1+1´r)= 750(1+0,2)= 900; F 2 = Р(1+2´r)= 750(1+0,4)= 1050; F 3 = Р(1+3´r)= 750(1+0,6)= 1200; F 4 = Р(1+4´r)=750(1+0,8)=1350, каждый следующий элемент последовательности отличается от предыдущего на 150 у.е., т.е. приросты денежных сумм для любого периода составляют 150 у.е. –постоянную долю от первоначальной суммы Р=750 у.е.

Пример 1.10. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 тыс. руб. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 10% годовых, на следующие 2 года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

Решение . Р=25, n 1 =1, n 2 =2, n 3 =3; i 1 =0,1; i 2 =0,104; i 3 =0,107. Тогда F 6 =25(1+0,1)(1+0,104) 2 (1+0,107) 3 =45,469 тыс.руб.

Пример 1.10. Семья положила Р=12 000 руб. на срочный вклад при срочной процентной ставке r=11% годовых (с учетом выплаты процентов на проценты). Сколько денег семья получит через два года, при условии, что в течение двух лет деньги сниматься со сберкнижки не будут?

Решение . Выплата процентов на проценты означает, что одна и та же ставка r начисляется для каждого следующего промежутка начисления на результат предыдущего начисления (наращенную сумму за предыдущий период начисления или, что т о же самое, на сумму, наращенную на начало данного периода начисления). По формуле сложных процентов наращенная сумма за n лет составит величину Fn= Р(1+r)n. Следовательно, в нашем случае при n=2 F2=Р(1+r)2=12000 (1+0,11)2=12000´1,112=1,2321´12000=14785,2

Пример 1.11. В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. Найти величину капитала через 2 года. Проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально?

Решение . В этом случае начисление процентов производится 4 раза по ставке 10%, тогда Р=5, n=2, m=2, r (m) = r (2) = 0,2 и

3) В этом случае начисление происходит 8 раз, m=4, n=2 по ставке 5% (20%/4) и

Пример 1.12. Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 мес. под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

Решение. n=2,5; целое число лет=2; дробная часть года=0,5.

По схеме сложных процентов F 2,5 =10(1+0,3) 2+0,5 =19,269 тыс.руб.

По смешанной схеме F 2,5 =10(1+0,3) 2 (1+0,5*0,3)=19,435 тыс. руб.

Т.о. для банка смешанная схема начисления более выгодная.

О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:

Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), где

• Fv — итоговая сумма;
• Sv — начальная сумма;
• Td — срок вклада в днях;
• Ty — количество дней в году.

Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.

Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:

Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, где

• Fv — итоговая сумма;
• Sv — начальная сумма;
• R — годовая процентная ставка;
• Ny — количество периодов капитализации в году;
• Nd — количество периодов капитализации за весь период вклада.

Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 - 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.

Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.

Какие вклады выгоднее?

Из самой сущности сложных процентов следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные - те же: сумма 10 000 руб., ставка - 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.

Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.

Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 - 10 000 = 1 038 руб.
Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.

Простые и сложные проценты: типы начисления процентов у банковских вкладов