Сложный процент. Формула сложного процента для вклада. Расчет сложных процентов. Как вычислить сложный процент

Сложным процентом принято называть эффект, возникающий при накоплении прибыли и процентов, в результате чего выплаты по процентам возрастают по экспоненциальному графику. Большинство современных банков принимают клиентов именно под сложные проценты, что, несомненно, выгодно для вкладчика. Важность открытия сложных процентов оценил даже сам Эйнштейн, назвав их главной «движущей силой в мире».

Для того чтобы лучше разобраться, что представляют собой сложные проценты, необходимо перейти к примерам с расчетами.

Как рассчитывается сложный процент?

Для расчета применяется простая формула:

В формуле под SUM понимается окончательная сумма расчета с клиентом, под Х –сумма вложения, под n – количество расчетных периодов. На графике можно увидеть, что подразумевается под экспоненциальным возрастанием суммы:

Для банковских вкладов формула немного сложнее, так как вводится новый элемент уравнения – :

Так, нам нужно знать частоту капитализации. Под капитализацией понимается перерасчет суммы, на которую начисляются проценты – к базовой сумме добавляется , начисленная за последний период. Если перерасчет происходит ежемесячно, частота капитализации (в нашей формуле это D) составляет 30 дней, если раз в квартал – 90 дней.

Остальные незнакомые показатели в формуле расчета банковского сложного процента – это Y – количество дней в году (365 или 366) и P – процентная ставка. Весь блок значений после единицы под скобкой называется коэффициентом процентной ставки .

Рассмотрим пример:

Гражданин И вкладывает 100000 рублей под 15% годовых с ежемесячной капитализацией. Какую сумму он сможет получить через 8 лет:

А) с простого процента?

Б) со сложного процента?

Так, рассчитываем сначала простой процент. 15% от 100000 рублей составляет 15000 рублей. Если 15 тыс. рублей умножить на 8, то получится прибыль с вклада в 120 тыс. рублей. Таким образом, через 8 лет гражданин И сможет снять 220 тыс. рублей.

Для расчета сложного процента подставляем данные в формулу:

Результат расчетов должен неприятно удивить – прибыль составит те же 120 тыс. рублей. Тогда попробуем рассчитать сумму при ежегодной капитализации, а не при ежемесячной:

Мы получим результат, который удовлетворит нас гораздо больше – 306 тыс. прибыли. Делаем вывод: чем реже происходит капитализация, тем выше будет прибыль. Проценты начисляются ежегодно таким образом:

Простой (прибыль + сумма)

Сложный (прибыль + сумма)

Видно, что под сложным процентом растут словно снежный ком. Чем дольше вкладчик не будет их снимать, тем больше будет его прибыль от месяца к месяцу.

Другие полезные формулы

Для расчетов по вкладам могут пригодиться и другие формулы:

  1. Процентная ставка . Формула показывает, под какой процент нужно внести средства, чтобы получить желаемый результат.

Все показатели нам известны, поэтому попробуем сразу решить пример:

Под какой процент нужно положить 10000 рублей, чтобы через 15 лет получить 80000 рублей?

Понятно, что нужно положить деньги под 15% годовых.

  1. Количество периодов . Формула показывает, на какое количество процентных периодов нужно внести средства, чтобы достичь желаемого результата:

Опять-такие пробуем решить пример:

На сколько времени нужно внести деньги под 20% годовых в размере 150000 тыс. рублей, чтобы получить 1 млн. рублей?

Нужно внести средства на 10 лет.

Сложный процент отличается от обычного тем, что он начисляется не только на основную сумму вклада, но и на сумму накопленных на нем процентов. По этой причине суммы на накопительных счетах со сложной ставкой процента растут быстрее, чем на счетах с простой процентной ставкой. Более того, накопления будут расти еще быстрее, если капитализация процентов осуществляется много раз в году. Сложные проценты встречаются в различных типах инвестиций, а также в отдельных видах займов, например, по кредитным картам. Рассчитать увеличение исходной суммы по ставке сложного процента достаточно просто, если знать правильную формулу.

Шаги

Часть 1

Расчет годовых сложных процентов вручную

  1. Определите годовую капитализацию. Процентная ставка по инвестициям или кредитным соглашениям устанавливается на год. Например, если ставка по вашему автокредиту составляет 6%, то вы ежегодно платите 6% от суммы займа. При капитализации процентов раз в год расчитать сложный процент проще всего.

    • Проценты по долгам и инвестициям могут капитализироваться (причисляться к основной сумме) ежегодно, ежемесячно и даже ежедневно.
    • Чем чаще происходит капитализация, тем быстрее прирастает сумма процентов.
    • На ставку сложного процента можно смотреть как с точки зрения инвестора, так и сточки зрения должника. Частая капитализация говорит о том, что доходы инвестора по процентам будут расти быстрее. Для должника это означает, что ему придется платить больше процентов за пользование заемными средствами, пока займ не погашен.
    • Например, капитализация по депозитному вкладу может осуществляться раз в год, а капитализация по займу может проводиться ежемесячно или даже еженедельно.

  2. Рассчитайте капитализацию процентов для первого года. Предположим, у вас есть $1000, и вы вложили их в гособлигации США со ставкой 6% годовых. Начисление процентов по гособлигациям США производят ежегодно на основании ставки процента и текущей стоимости ценной бумаги.

    • Проценты за первый год инвестиции составят $60 ($1000*6% = $60).
    • Чтобы рассчитать проценты по второму году, сначала вам необходимо добавить к исходной сумме инвестиции ранее начисленные проценты. В приведенном примере это будет $1060 (или $1000 + $60 = $1060). То есть текущая стоимость гособлигации составляет $1060, и дальнейшие проценты рассчитываются из этой стоимости.

  3. Рассчитайте капитализацию процентов для последующих лет. Чтобы более очевидно увидеть отличие сложных процентов от обычных, рассчитайте их величину для последующих лет. От года к году суммы процентов будут увеличиваться.

    • Для второго года умножьте текущую стоимость облигации $1060 на ставку процента ($1060*6% = $63,60). Сумма процентов за год станет выше на $3,60 (или $63,60 - $60,00=$3,60). Это связано с тем, что основная сумма инвестиции выросла с $1000 до $1060.
    • На третий год текущая стоимость инвестиции составит $1123,60 ($1060 + $63,60 = $1123,60). Проценты за этот год уже будут равны $67,42. И эта сумма будет причислена к текущей стоимости ценной бумаги для расчета процентов по 4 году.
    • Чем больше срок займа/инвестиции, тем больше заметно влияние сложных процентов на общую сумму. Срок займа – это тот период, пока заемщик все еще не погасил свои долги.
    • Без капитализации проценты по второму году будут составлять $60 ($1000 * 6% = $60). В действительности, проценты за каждый год будут равны $60, если они не причисляются к основной сумме. Другими словами, это простые проценты.

  4. Создайте таблицу в Excel, чтобы полностью рассчитать сумму сложных процентов. Полезно будет визуально представить сложные проценты в виде простой таблицы в Excel, которая покажет вам рост ваших инвестиций. Откройте документ и подпишите верхние ячейки в колонках A, B, и C как "Год" "Стоимость" и "Начисленные проценты".

    • Введите в ячейки A2–A7 годы от 0 до 5.
    • Внесите исходную сумму инвестиции в ячейку B2. Допустим, если вы начали с вложения $1000. Введите здесь 1000.
    • Введите в ячейку B3 формулу "=B2*1,06" (без кавычек) и нажмите клавишу ввода. Такая формула говорит о том, что ежегодно ваши проценты капитализируются по ставке 6% (0,06). Кликните по нижнему правому углу ячейки B3 и перетащите формулу до ячейки B7. Суммы в ячейках рассчитаются автоматически.
    • Поставьте ноль в ячейке C2. В ячейку C3 введите формулу "=B3-B$2" и нажмите клавишу ввода. Так вы получите разницу между текущей и первоначальной стоимостью инвестиции (ячейками B3 и B2), которая представляет собой общую сумму начисленных процентов. Кликните по нижнему правому углу ячейки C3 и растяните формулу до ячейки C7. Суммы рассчитаются автоматически.
    • Тем же самым образом можно произвести расчеты на столько лет вперед, на сколько захотите. Также без труда можно изменить первоначальную сумму и процентную ставку, поменяв формулу расчета процентов и содержимое соответствующих ячеек.

  5. Выполните математические действия по формуле. Упростите выражение, рассчитав отдельные части, начиная со скобок и расположенной там дроби.

    • Сначала поделите дробь. Результат будет следующим: F V = $ 5000 (1 + 0 , 00288) 2 ∗ 12 {\displaystyle FV=\$5000(1+0,00288)^{2*12}} .
    • Сложите суммы в скобках. У вас получится: F V = $ 5000 (1 , 00288) 2 ∗ 12 {\displaystyle FV=\$5000(1,00288)^{2*12}} .
    • Вычислите саму степень (выражение вверху за скобками). Результат будет таким: F V = $ 5000 (1 , 00288) 24 {\displaystyle FV=\$5000(1,00288)^{24}} .
    • Возведите число в скобках в соответствующую степень. Это можно сделать на калькуляторе: сначала введите сумму в скобках (1,00288 в нашем примере), нажмите на кнопку возведения в степень x y {\displaystyle x^{y}} , а затем введите значение степени (24) и нажмите ввод. Результат будет выглядеть так: F V = $ 5000 (1 , 0715) {\displaystyle FV=\$5000(1,0715)} .
    • Наконец, умножьте первоначальную сумму на число в скобках. В приведенном примере умножьте $5000 на 1,0715, у вас получится $5357,50. Это и будет будущая стоимость вашей инвестиции через два года.

  6. Вычтите из результата первоначальную сумму. Разница будет представлять сумму накопленных процентов.

    • Вычтите первоначальные $5000 из будущей стоимости вклада $5357,50, и у вас получится $357,50 ($5375,50-$5000=$357,50).
    • То есть через два года вы заработаете $357,50 в виде процентов.

Часть 3

Расчет сложных процентов при регулярном пополнении вклада

  1. Выучите формулу. Сложные проценты будут расти еще быстрее, если вы будете регулярно увеличивать сумму вклада, например, ежемесячно вносить определенную сумму на депозитный счет. Применяемая в таком случае формула становится больше, но основана на тех же самых принципах. Она выглядит следующим образом: F V = P (1 + i c) n ∗ c + R ((1 + i c) n ∗ c − 1) i c {\displaystyle FV=P(1+{\frac {i}{c}})^{n*c}+{\frac {R((1+{\frac {i}{c}})^{n*c}-1)}{\frac {i}{c}}}} . Все переменные в формуле остаются теми же, но к ним добавляется еще один показатель:

    • "P" – первоначальная сумма;
    • "i" – годовая процентная ставка;
    • "c" – частота капитализации (сколько раз в году проценты причисляются к основной сумме);
    • "n" – продолжительность периода в годах;
    • "R" – сумма ежемесячного пополнение вклада.

  2. Определите исходные значения переменных. Чтобы рассчитать будущую стоимость вклада, вам необходимо знать первоначальную (текущую) сумму вклада, годовую процентную ставку, частоту капитализации процентов, срок вклада и величину ежемесячного пополнения вклада. Все это можно найти в соглашении, которое вы подписали со своим банком.

    • Не забудьте перевести годовой процент в десятичную дробь. Для этого просто поделите его на 100%. Например, упомянутая выше ставка 3,45% в десятичном виде будет равна 0,0345 (или 3,45%/100%=0,0345) .
    • В качестве частоты капитализации укажите, сколько раз в году проценты причисляются к общей сумме вклада. Если это происходит ежегодно, укажите единицу, ежемесячно – 12, ежедневно – 365 (не переживайте о високосных годах).

  3. Подставьте данные в формулу. В продолжение вышеуказанного примера, допустим, что вы решили ежемесячно пополнять вклад на сумму $100. При этом первоначальная сумма вклада составляет $5000, ставка равна 3,45% годовых, а капитализация происходит ежемесячно. Рассчитаем рост депозита за два года.

    • Подставьте в формулу свои данные: F V = $ 5 , 000 (1 + 0.0345 12) 2 ∗ 12 + $ 100 ((1 + 0.0345 12) 2 ∗ 12 − 1) 0.0345 12 {\displaystyle FV=\$5,000(1+{\frac {0.0345}{12}})^{2*12}+{\frac {\$100((1+{\frac {0.0345}{12}})^{2*12}-1)}{\frac {0.0345}{12}}}}

  4. Произведите расчет. Опять же, не забудьте правильный порядок операций. Это означает, что начать нужно с выполнения действий в скобках.

    • В первую очередь, вычислите дроби. То есть поделите "i" на "c" в трех местах, чтобы везде получить одинаковый результат 0,00288. Теперь формула будет выглядеть следующим образом: F V = $ 5000 (1 + 0 , 00288) 2 ∗ 12 + $ 100 ((1 + 0 , 00288) 2 ∗ 12 − 1) 0 , 00288 {\displaystyle FV=\$5000(1+0,00288)^{2*12}+{\frac {\$100((1+0,00288)^{2*12}-1)}{0,00288}}} .
    • Выполните сложение в скобках. То есть прибавьте единицу к результату предыдущих вычислений там, где требуется. У вас получится: F V = $ 5000 (1 , 00288) 2 ∗ 12 + $ 100 ((1 , 00288) 2 ∗ 12 − 1) 0 , 00288 {\displaystyle FV=\$5000(1,00288)^{2*12}+{\frac {\$100((1,00288)^{2*12}-1)}{0,00288}}} .
    • Вычислите степень. Для этого перемножьте два числа вверху за скобками. В нашем примере значение степени будет равно 24 (или 2*12). Формула предстанет в следующем виде: F V = $ 5000 (1 , 00288) 24 + $ 100 ((1 , 00288) 24 − 1) 0 , 00288 {\displaystyle FV=\$5000(1,00288)^{24}+{\frac {\$100((1,00288)^{24}-1)}{0,00288}}} .
    • Возведите необходимые числа в степень. Вам следует возвести числа в скобках в ту степень, которая у вас получилась на предыдущем этапе вычислений. Для этого на калькуляторе введите число из скобок (в примере это 1,00288), нажмите кнопку возведения в степень x y {\displaystyle x^{y}} , а затем введите значение степени (в данном случае 24). У вас получится: F V = $ 5000 (1 , 0715) + $ 100 (1 , 0715 − 1) 0 , 00288 {\displaystyle FV=\$5000(1,0715)+{\frac {\$100(1,0715-1)}{0,00288}}} .
    • Выполните вычитание. Вычтите единицу из результата предыдущего расчета в правой части формулы (в примере из 1,0715 вычитаем 1). Теперь формула выглядит так: F V = $ 5000 (1 , 0715) + $ 100 (0 , 0715) 0 , 00288 {\displaystyle FV=\$5000(1,0715)+{\frac {\$100(0,0715)}{0,00288}}} .
    • Выполните умножение. Умножьте первоначальную сумму инвестиции на число в первых скобках, а также сумму ежемесячного пополнения на такую же сумму в скобках. У вас получится: F V = $ 5357 , 50 + $ 7 , 15 0 , 00288 {\displaystyle FV=\$5357,50+{\frac {\$7,15}{0,00288}}}
    • Выполните деление. Получится такой результат: F V = $ 5 , 357.50 + $ 2 , 482.64 {\displaystyle FV=\$5,357.50+\$2,482.64}
    • Сложите цифры. Наконец, сложите две оставшиеся цифры, чтобы узнать будущую сумму на счете. Другими словами, сложите $5357,50 и $2482,64, чтобы получить $7840,14. Это и будет будущая стоимость вашей инвестиции через два года.

. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:

P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),

S - наращенная сумма на конец срока ссуды,

п - срок, число лет наращения,

i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна

(4.1)

Процентыза этот же срокв целом таковы:

(4.2)

Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

(4.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.

Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем

(4.4)

· Пример 4.1

2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.

Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,

где

· Пример 4.2

3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

(4.5)

где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.

· Пример 4.3

4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:

(4.6)

Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

,(4.7)

где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно житель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедли во соотношение

Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.

· Пример 4.4

5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

1) для срока меньше года простые проценты больше сложных

2) для срока больше года

3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу

Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :

1) для простых процентов

2) для сложных процентов

Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:

Рассмотрим Сложный процент (Compound Interest) – начисление процентов как на основную сумму долга, так и на начисленные ранее проценты.

Немного теории

Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.

Существуют различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают метод начисления по и сложным процентам.

При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент».

В файле примера приведен график для сравнения наращенной суммы с использованием простых и сложных процентов.

В этой статье рассмотрим начисление по сложным процентам в случае постоянной ставки. О переменной ставке в случае сложных процентов .

Начисление процентов 1 раз в год

Пусть первоначальная сумма вклада равна Р, тогда через один год сумма вклада с присоединенными процентами составит =Р*(1+i), через 2 года =P*(1+i)*(1+i)=P*(1+i)^2, через n лет – P*(1+i)^n. Таким образом, получим формулу наращения для сложных процентов:
S = Р*(1+i)^n
где S - наращенная сумма,
i - годовая ставка,
n - срок ссуды в годах,
(1+ i)^n - множитель наращения.

В рассмотренном выше случае капитализация производится 1 раз в год.
При капитализации m раз в год формула наращения для сложных процентов выглядит так:
S = Р*(1+i/m)^(n*m)
i/m – это ставка за период.
На практике обычно используют дискретные проценты (проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени: год (m=1), полугодие (m=2), квартал (m=4), месяц (m=12)).

В MS EXCEL вычислить наращенную сумму к концу срока вклада по сложным процентам можно разными способами.

Рассмотрим задачу : Пусть первоначальная сумма вклада равна 20т.р., годовая ставка = 15%, срок вклада 12 мес. Капитализация производится ежемесячно в конце периода.

Способ 1. Вычисление с помощью таблицы с формулами
Это самый трудоемкий способ, но зато самый наглядный. Он заключается в том, чтобы последовательно вычислить величину вклада на конец каждого периода.
В файле примера это реализовано на листе Постоянная ставка .

За первый период будут начислены проценты в сумме =20000*(15%/12) , т.к. капитализация производится ежемесячно, а в году, как известно, 12 мес.
При начислении процентов за второй период, в качестве базы, на которую начисляются %, необходимо брать не начальную сумму вклада, а сумму вклада в конце первого периода (или начале второго). И так далее все 12 периодов.

Способ 2. Вычисление с помощью формулы Наращенных процентов
Подставим в формулу наращенной суммы S = Р*(1+i)^n значения из задачи.
S = 20000*(1+15%/12)^12
Необходимо помнить, что в качестве процентной ставки нужно указывать ставку за период (период капитализации).
Другой вариант записи формулы – через функцию СТЕПЕНЬ()
=20000*СТЕПЕНЬ(1+15%/12; 12)

Способ 3. Вычисление с помощью функции БС().
Функция БС() позволяет определить инвестиции при условии периодических равных платежей и постоянной процентной ставки, т.е. она предназначена прежде всего для расчетов в случае . Однако, опустив 3-й параметр (ПЛТ=0), можно ее использовать и для расчета сложных процентов.
=-БС(15%/12;12;;20000)

Или так =-БС(15%/12;12;0;20000;0)

Примечание . В случае переменной ставки для нахождения Будущей стоимости по методу сложных процентов БЗРАСПИС() .

Определяем сумму начисленных процентов

Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. на 5 лет с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Определить сумму начисленных процентов.

Сумма начисленных процентов I равна разности между величиной наращенной суммы S и начальной суммой Р. Используя формулу для определения наращенной суммы S = Р*(1+i)^n, получим:
I = S – P= Р*(1+i)^n – Р=P*((1+i)^n –1)=150000*((1+12%)^5-1)
Результат: 114 351,25р.
Для сравнения: начисление по простой ставке даст результат 90 000р. (см. файл примера ).

Определяем Срок долга

Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит некую сумму с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Через какой срок сумма вклада удвоится?
Логарифмируя обе части уравнения S = Р*(1+i)^n, решим его относительно неизвестного параметра n.

В файле примера приведено решение, ответ 6,12 лет.

Вычисляем ставку сложных процентов

Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. с ежегодным начислением сложных процентов. При какой годовой ставке сумма вклада удвоится через 5 лет?

В файле примера приведено решение, ответ 14,87%.

Примечание . Об эффективной ставке процентов .

Учет (дисконтирование) по сложным процентам

Дисконтирование основывается на базе концепции стоимости денег во времени: деньги, доступные в настоящее время, стоят больше, чем та же самая сумма в будущем, вследствие их потенциала обеспечить доход.
Рассмотрим 2 вида учета: математический и банковский.

Математический учет . В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам, т.е. вычисления производятся по формуле Р=S/(1+i)^n
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.

Пример . Через 7 лет страхователю будет выплачена сумма 2000000 руб. Определить современную стоимость суммы при условии, что применяется ставка сложных процентов в 15% годовых.
Другими словами, известно:
n = 7 лет,
S = 2 000 000 руб.,
i = 15% .

Решение. P = 2000000/(1+15%)^7
Значение текущей стоимости будет меньше, т.к. открыв сегодня вклад на сумму Р с ежегодной капитализацией по ставке 15% мы получим через 7 лет сумму 2 млн. руб.

Тот же результат можно получить с помощью формулы =ПС(15%;7;;-2000000;1)
Функция ПС() возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции и .

Банковский учет . В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
Р = S*(1- dсл)^n
где dcл - сложная годовая учетная ставка.

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Сравнив формулу наращения для сложных процентов S = Р*(1+i)^n и формулу дисконтирования по сложной учетной ставке Р = S*(1- dсл)^n придем к выводу, что заменив знак у ставки на противоположный, мы можем для расчета дисконтированной величины использовать все три способа вычисления наращения по сложным процентам, рассмотренные в разделе статьи Начисление процентов несколько раз в год .

На протяжении всей истории люди задумывались о своем будущем. Основное их желание защитить себя и своих родственников от финансовых неприятностей, обеспечив тем самым уверенность в завтрашнем дне. Начать постройку своего финансового фундамента можно уже теперь при помощи сравнительно незначительных банковских вложений. Лишь, таким образом, возможно, себе свободу и независимость.

Главным принципом банковских сделок является то, что финансовые ресурсы способные увеличиваться только когда все время находятся в обороте. Для уверенного ориентирования в сфере денежных услуг и правильном подборе наиболее выгодных условий важно знать некоторые простые принципы. Например, правила работы долгосрочных процентов, позволяющие за некоторое количество лет из сравнительно небольшой суммы стартового капитала получать серьезную прибыль.

Но для этого необходимо знать, каким образом работает сложный процент и формулы расчета сложного процента .

Проводить все расчеты следует на основе нижеописанных формул.

Что такое сложный процент по вкладам ? Сложный процент – это распространенный в экономической и финансовой отрасли эффект, когда процентная ставка по прибыли прибавляется к базовому вкладу, а полученный результат в будущем превращается в основу для начисления новых процентов.

Проценты по вложенным средствам могут прибавляться каждый день, 30 дней, квартал или год. Они могут выплачиваться в виде прибыли по окончанию периода, а могут начисляться к основному вкладу. Это значит, что в следующий раз ставка будет высчитываться на большую сумму.

Яркой иллюстрацией использования капитализации процентов является притча из Евангелия об одной бедной женщине, которая лишилась своего мужа. Во времена, когда жил Иисус Христос она принесла в его святилище свои деньги и отдала их в качестве жертвы. У нее было всего две небольшие монетки. Можно представить ситуацию, что в то время уже образовались банковские учреждения, она бы внесла 1 из своих монет в банк. Интересно, какая бы конечная сумма получилась у нее на счету сегодня, если учесть тот факт, что учреждение производит капитализацию процентов от средства, например 5% в год?

Расчеты, которые будут произведены, показывают на примере вариант применения сложного процента. Возьмем для примера ставку в 5% в год, уже после первого года хранения средств в банке вклад женщины вырастет в (1 + 0.05) раз. В последующий год расчет будет вестись уже не от копейки, а от конечной величины. Этот результат должен увеличиться еще в (1+0.05) раз. Получается, что вклад по сравнению с первоначальной суммой должен вырасти в (1+0.05)*2 раз. На третий год (1+0.05)*3.

К 2017 году изначальные средства должны увеличить в (1+0.05)*2016 раз. При стартовом капитале всего в 1 копейку уже к 2014 году результат будет больше 52 додециллионов рублей.

Например, человек решил положить средства в банк (200 000 рублей) под ежегодный процент в 10%. Для того, чтобы через 10 лет он смог воспользоваться деньгами, размер которых увеличился благодаря капитализации, нужно вычислить итоговую сумму, используя формулы расчета сложного процента.

Важно! Формула сложного процента подразумевает, что при вычислении, в конце каждого временного отрезка (месяц, год и др.) к вкладу нужно прибавлять полученную от денег прибыль. Конечное число является основой для последующих операций с увеличением средств.

Для осуществления расчетных действий можно использовать формулу:

Пояснение:

S – полная объем (сам вклад и проценты) средств, которые должны быть возвращены вкладчику по окончанию срока действия договора;

P – изначальный размер вклада;

N – сумарное количество действий по капитализации ставки за весь период использования (в этом случае оно ровно числу лет);

I – объем годовой ставки.

Если подставить выбранные значения в указанную формулу, то получается следующий пример:

Уже спустя пять лет сумма будет равна 200 000*(1+10/100)5 = 322102 рублей

Через десятилетний отрезок объем средств будет равен 200 000*(1+10/100)10 = 518748,492 рублей.

Если используется формула сложного процента с капитализацией за маленький отрезок времени, то нужные значения удобней рассчитывать по примеру:

Пояснения:

K – число дней в выбранном году;

J – число дней в отрезке, по результатам которого банковское учреждение будет проводить капитализацию начисленных процентов;

Другие переменные не изменились.

Помесячное начисление и увеличениепроцентов наиболее выгодно для клиентов. И именно этот метод многие рассматривают всерьез. Для того чтобы правильно рассчитать разработана такая формула сложных процентов .

Указаннаяn и в этом случае означает количество всех операций. Но теперь она выражается в месяцах. Показатель процентов следует разделить на 12, потому как в одном году 12 месяцев. Благодаря этому можно легко высчитать ежемесячную процентную ставку.

Эту же формулу, но с некоторыми изменениями можно отнести и к начислениям вкладов в поквартальный период. Изменения состоят в том, что процент, высчитываемый за год нужно делить не на 12, а на 4. А вышеупомянутый показатель nравняется не количествувсех операций, а совокупностикварталов. С такой же логикой можно отнестись и к начислениям процента по полугодиям. Общая формула сложных процентов по вкладам будет та же, но процентная ставка должна делиться на 2. А на количество полугодий указывает показатель n.

Например, клиент сделал вклад на сумму 100000,00 рублей. Капитализация процентов в этом случае выбрана ежемесячная. Учитывая это, по прошествии пяти лет сумма вклада вырастет до цифры в 172891,57 рублей. Если бы при первоначальном вкладе клиент выбрал ежегодную капитализацию процентов, то итоговая сумма через пять лет была бы на 10000 рублей меньше. Формула сложных процентов с капитализацией ежемесячно следующая.

Через десять лет вложенная клиентом сумма достигнет 298914,96 рублей. Если бы капитализация процентов была годовой, то указанная итоговая сумма за десять лет была бы уже на 15000 рублей меньше. Вот как рассчитывается итоговая сумма начисления ежемесячных процентов за десять лет.

Доходы во время начисления ежемесячных процентов намного превышают годовой доход. Если прибыль оставить на счету, то она и дальше будет работать на вкладчика. Вот на наглядном примере можно увидеть график, на котором указан расчет процентов в годах и в месяцах.

Именно поэтому многие граждане отдают предпочтение процентной капитализации, которая высчитывается один раз в месяц.

Вышеперечисленные формулы того как производится расчет сложных процентов по вкладу это скорей наглядный пример доступный для пониманий клиентов. Так они легко смогут осознать весь принцип начисления. В действительности формула сложного процента для банковских вкладов немного труднее.

В данном случае применяется такая мера как коэффициент процентов по вкладам (р). Он высчитывается следующим образом:

Используя сложные проценты формулу, можно высчитать проценты для различных временных периодов.

Сам процент для различного типа вкладов в банк следует рассчитывать по данной формуле:

На базе данной формулы можно на конкретном примере высчитать сложный процент, формула которого представлена выше.

руб. – это полноценная сумма имеющегося вклада, возросшая в течение пяти лет;

Руб. – этот же показатель, но уже в течение десяти лет.

Однако следует понимать, что это лишь примерные расчеты. Для вычисления важно учитывать различное количество дней в месяцах и то, что некоторые года могут быть високосными.

При сравнении показателей из двух вышеописанных примеров сим предшествующими можно будет обнаружить, что они немного меньше. Однако этого будет достаточно, чтобы оценить всю выгоду от процентов. Именно поэтому если есть твердое решение на длительное время положить деньги в банк,то предварительные расчеты лучше делать при использовании банковской формулы. Так можно будет избежать всех неточностей.