Аннуитет. Определяем в MS EXCEL Приведенную (Текущую) стоимость

Текущая стоимость единицы

Текущая стоимость единицы - это величина, обратная накопленной сумме единицы. Это сегодняшняя стоимость единицы, которая должна быть получена в будущем.

Процесс определения текущей стоимости единицы (его также называют дисконтированием; не путать с дисконтом - скидкой!) аналогичен процессу накопления дохода от процентов, но имеет обратную направленность во времени: от будущего к настоящему. То есть мы определяем, сколько нужно сегодня вложить в приносящий периодический доход от процентов актив, чтобы в конкретный момент времени в будущем получить заранее заданную сумму. При определении текущей стоимости ставку процента, по которой начисляется периодический доход, чаще называют ставкой дисконтирования.

Функция текущей стоимости единицы дает возможность определить стоимость суммы в данный момент, если известна ее величина в будущем, число периодов и ставка процента.

PV - текущая стоимость;

FV - будущая стоимость;

i - ставка процента (ставка дисконтирования)

n - число периодов начисления процентов

Фактор текущей стоимости единицы в таблице показан в колонке 4.

При FV =1, формула имеет вид

Данный рисунок иллюстрирует известную будущую стоимость FV=1 в момент времени n. Требуется определить неизвестную текущую стоимость PV в нулевой момент времени, то есть на сегодняшний день.

При 10%-ой ставке процента текущая стоимость 100.000 долл., ожидаемых к получению через год, равна?

100.000 *0,909091=90909,1

Проверка:

Если сегодня инвестор вкладывает 90909,1 долл. и в течение следующего года может получить чистый доход в 10%, т. е. 9090,91, то через год его капитал будет составлять 100.000 долл. (90909,1+9090,91)

Вопросы для контроля

3. Какую сумму следует сегодня депонировать в банке, начисляющем 12% годовых при ежемесячном накоплении, для того, чтобы через 4 года получить 10.000 долл.?

10.000 *0,62026=6202,6

4. Сколько надо положить на счет в банке под 20% годовых, чтобы через десять лет купить квартиру за 120.000 долл.?

120.000 *0,161506=19380,72

Текущая стоимость аннуитета

Аннуитет - это денежный поток, в котором равные суммы выплачиваются через одинаковые промежутки времени. Различают аннуитет обычный и авансовый. Обычный - возникает в конце периода начисления процентов, а авансовый - в начале.

Текущая стоимость обычного аннуитета при заданной ставке дисконтирования может быть рассчитана путем оценки каждого платежа в отдельности. При этом сумма каждого платежа умножается на соответствующий фактор текущей стоимости единицы. Текущая стоимость аннуитета обозначается а(n,i).

На рисунке показано как несколько аннуитетных платежей, по отдельности равных 1, преобразуются в неизвестную величину текущей стоимости аннуитета на нулевой момент времени.

Ежегодный платеж по аренде составляет 300.000 долл. Ставка дисконтирования равна 10%. Какова текущая стоимость платежей за пять лет?

Текущая стоимость аннуитета равна

300000*3,7908=1137240 долл.

Авансовый аннуитет

Для того, чтобы фактор обычного аннуитета превратить в фактор авансового аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, укороченного на один период, и добавить к нему единицу. При добавлении единицы учитывается первое поступление, которое не следует дисконтировать. При сокращении потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.

Пример: На протяжении четырех лет уплачивается арендная плата в сумме 3.000 долл. Платеж осуществляется в начале каждого года. Ставка дисконта равна 15%. Определить текущую стоимость арендных платежей.

Решение: 3000*(2,28323+1) = 9849,69 долл.

Вопросы для контроля

5. Какова текущая стоимость ипотечного кредита, предусматривающего выплату 1000 долл. в конце каждого года на протяжении 5 лет? Ставка дисконта равна 10%

Ответ: 1000*3,79079=3790,79

6. Ежемесячные платежи по аренде поступают в начале каждого месяца в размере 5000 долл. Приемлемая годовая ставка дисконта - 15%. Какова текущая стоимость платежей за 8 месяцев?

Ответ: 5000*(6,66273+1) = 38313,65

Использование двух факторов

Доход, ожидаемый от собственности, часто состоит из двух частей:

1. поток доходов от текущей деятельности;

2. единовременная сумма от перепродажи актива.

Оценка инвестиционной привлекательности требует в ряде случаев дифференциации ставок дисконта в зависимости от уровня риска тех или иных операций. Учет различий в уровне риска требует от оценщика использования соответствующих ставок дисконта.

Пример: Владелец бензоколонки предполагает в течение пяти лет получать ежегодный доход в сумме 30.000 долл. В конце пятого года он планирует продать бензоколонку за 100.000 долл.

Прогнозирование доходов от эксплуатации собственности имеет большую степень точности, чем прогнозирование цены продажи, поэтому ставки дисконта равны соответственно 10% и 15%.

Определить текущую стоимость совокупного дохода от бензоколонки.

1. Текущая стоимость потока дохода от эксплуатации

30.000 *3,79079=113.723,7 долл.

2. Текущая стоимость дохода от продажи

100.000 *0,49718 = 49.718 долл.

3. Текущая стоимость совокупного дохода

113.723 ,7 + 49.718 = 162.441,7 долл.

Потоки доходов от собственности могут увеличиваться или уменьшаться. Оценка повышающихся или снижающихся потоков доходов с использованием сложного процента может быть проведена различными путями.

Пример: Аренда магазина принесет его владельцу в течение первых трех лет ежегодный доход в 750.000 долл. В последующие пять лет доход составит 950.000 долл. в год. Определить текущую стоимость совокупного дохода, если ставка дисконта равна 10%.

Вариант №1

В данном случае текущая стоимость совокупного дохода равна текущей стоимости потока доходов в 750.000 долл. за первые три года и потока доходов в 950.000 долл. за последующие пять лет.

1. Рассчитаем текущую стоимость арендных платежей за первые три года.

750.000 *2,48685 = 1.865.137 долл.

2. Определим текущую стоимость арендной платы за последующие пять лет. Фактор текущей стоимости аннуитета в этом случае будет равен разности факторов, соответствующих рыночному и начальному периоду возникновения измененной суммы арендной платы по отношению к текущему, т. е. нулевому периоду. Повышенная аренда поступала с конца третьего по конец восьмого периода, следовательно в расчетах должны быть использованы факторы - 2,48685 и 5,33493.

950.000 *(5,33493-2,48685)=2.705.676 долл.

3. Суммарная текущая стоимость арендной платы

1.865.137 + 2.705.676 = 4.570.813 долл.

Вариант №2

арендная плата

Текущая стоимость суммарного потока доходов равна разности потока доходов в 950.000 долл., полученного за все восемь лет, и несуществующего потока доходов в 200.000 долл. (950-750) за первые три года.

1. Рассчитаем текущую стоимость дохода от аренды, исходя из предположения, что все 8 лет она составляла ежегодно 950 тыс. долл.

950.000 *5,33493 = 5.068.184 долл.

2. Рассчитаем текущую стоимость завышенной суммы аренды, которая существовала три года.

200.000 *2,48685 = 497.370 долл.

Текущая стоимость арендной платы за 8 лет составляет

5.068.184 - 497.370 = 4.570.814 долл.

Вариант №3

арендная плата

Этот вариант решения предполагает, что текущая стоимость совокупного дохода равна сумме дохода в 750.000 долл. за восемь лет и превышения в 200.000 долл., достигнутого в последние пять лет аренды.

1. Рассчитаем текущую стоимость доходов от аренды в 750.000 долл. за восемь лет.

750.000 *5,33485 = 4.001.137 долл.

2. Рассчитаем текущую стоимость дополнительного дохода от аренды, полученного за последние пять лет.

200.000 *(5,33485-2,48685) = 569.600 долл.

3. Текущая стоимость полученной арендной платы

4.001.137 + 569.600 = 4.570.737 долл.

Если полученные результаты имеют некоторые расхождения, то это является следствием округлений, допускаемых при расчетах.

Тенденции развития современного общества привели к тому, что те понятия, которые не так давно использовались главным образом в учебниках по экономической теории, стали все чаще встречаться в повседневной жизни. Одним из таких терминов является аннуитет , который все более активно стали использовать в сфере кредитования. Данный инструмент является достаточно выгодным, поэтому есть смысл познакомиться с его отличительными особенностями и способами расчета более подробно. Об этом и пойдет речь в данной статье.

Что представляет собой понятие аннуитет?

На практике с аннуитетом можно столкнуться при обращении к такой услуге, как . Под ним подразумевается форма погашения, которая осуществляется определенным образом. Данная схема предназначена, в первую очередь, для того, чтобы сделать заемные средства более доступными. Однако для того чтобы воспользоваться всеми преимуществами, необходимо иметь четкое представление о том, как функционирует принцип действия аннуитета. Несмотря на достаточно сложно название, которое используется в теории, на практике данный принцип погашения используется банками повсеместно.

Начать рассматривать данный вопрос стоит со знакомства с определением аннуитета. Любой справочник по экономике расскажет, что под аннуитетом подразумевается схема платежей, в соответствие с которой они производятся в одинаковом размере в соответствие с конкретным графиком выплат (а именно на постоянной основе через равные промежутки времени). Таким образом, можно представить аннуитет как поток одинаковых платежей, которые осуществляются через равные временные интервалы.

Использование аннуитета в качестве формы погашения кредита имеет перед стандартной схемой, в соответствие с которой выплаты по основному долгу производятся равными долями, существенное преимущество. Оно заключается в том, что аннуитет позволяет сделать величину платежа, который включает в себя не только проценты за период, но и часть основного долга, постоянной. Это дает возможность плательщику заранее оценить свои силы и запланировать выплаты определенной суммы денежных средств в течение оговоренного срока.

Основным отличием от так называемого дифференцированного платежа является то, что при использовании последнего в первую очередь выплачивается полная сумма начисленных за использование кредитных средств процентов, а потом уже основной долг.

Отметим, что принцип аннуитета используется не только в кредитовании, но и для лизинговых платежей.

Какие выделяют виды аннуитета?

Для лучшего понимания использования аннуитета следует рассмотреть, какие его виды существуют. Так, можно отметить наличие следующей классификации:

отложенный – в данном случае первая выплата производится в конце начального периода;
немедленный – платеж осуществляется в начале нулевого периода.

Если говорить об аннуитете, используемом в сфере кредитования, то здесь имеет место отложенный аннуитет.

Кроме этого, распространенно выделение различных видов стоимости аннуитета, а именно:

приведенная;
будущая стоимость аннуитета.

Такое деление обусловлено стремлением определить максимально объективную ценность денежных средств, которые направлены на кредитование. Как будущая, так и текущая стоимость аннуитета рассчитывается определенным образом с использованием конкретных формул. Проводимый расчет текущей стоимости аннуитета зависит от ряда факторов.

Стоит отметить, что в силу теории о том, что с течением времени денежные средства могут обесцениваться в силу , имеет место такое понятие, как настоящая стоимость аннуитета. Также здесь играет роль упущенная выгода, ведь если бы кредитор оставил выданные денежные средства у себя, то он имел бы возможность получать доход в виде процентов по вкладу.

Для расчета очередного платежа используется определенная формула аннуитета, которая в развернутом виде выглядит следующим образом:

R = (A * i) / (1* (1+i)n, где

R – искомый размер каждого платежа;

A – сумма взятого кредита;

i – ставка процента (месячная);

n – количество месяцев, в течение которых осуществляется погашение кредита.

Знание рассмотренной формулы позволяет провести требуемые расчеты, которые при наличии полных исходных данных не представляют собой особых сложностей. Очевидно, что для применения ее на практике необходимо учитывать некоторые принципиальные моменты. В их числе можно отметить, в первую очередь, принцип, по которому определяются доли основного долга и начисленных процентов в итоговом размере платежа. Для этого применяется определенная методика, которая предполагает прохождение несколько этапов расчета. Мы не будем на ней подробно останавливаться, отметим лишь общий принцип, в соответствии с которым производится расчет размера процентов и аннуитетного платежа, так же как и основного долга в виде разницы между этими двумя величинами для каждого месяца периода. При этом учитывается, что размер основного долга от месяца к месяцу снижается. Последний платеж требует отдельной корректировки в силу применения в процессе расчетов округлений.

В широком смысле аннуитет представляет собой серию одинаковых по размеру платежей, которые осуществляются в течение определенного периода времени через равные интервалы. При этом понятие «настоящая стоимость аннуитета » происходит из концепции стоимости денег во времени (англ. Time Value of Money ), которая предполагает, что стоимость 1 у.е. в будущем будет ниже, чем ее стоимость сегодня. Хотя данное утверждение может показаться странным на первый взгляд, оно имеет под собой определенные основания. Действительно, деньги могут терять свою покупательную способность под воздействием инфляции . Другим аспектом является упущенная выгода. Например, инвестор может вложить 1000 у.е. на 1 год под 7% годовых и получить через год 1070 у.е., однако, отказавшись вкладывать эти средства инвестор «недополучит» прибыль в размере 70 у.е.

Определение настоящей стоимости аннуитета является широко распространенной практикой в финансовых расчетах, которые осуществляются как институциональными , так и частными инвесторами. Эта методика чрезвычайно полезна при оценке различных инвестиционных возможностей и при выборе формы кредитования. Чтобы лучше разобраться в проблеме, рассмотрим ее на примере.

Пример 1

Страховая компания предложила инвестору ежегодно выплачивать по 100 у.е. в течение 5-ти лет в обмен на единоразовый платеж в 400 у.е. При этом инвестору необходимо принять решение о целесообразности такой инвестиции, если для него требуемая норма доходности (англ. Required Rate of Return ) составляет 7% годовых.

Для того чтобы ответить на этот вопрос нам необходимо привести все денежные потоки к настоящему времени, то есть определить их настоящую стоимость (англ. Present Value ). Схематически этот процесс представлен на графике.

Инвестор последовательно получит 5 платежей по 100 у.е. с интервалом в один год. Чтобы определить их настоящую стоимость необходимо воспользоваться следующей формулой.

где FV – будущая стоимость денежного потока;

N – количество периодов.

Таким образом, настоящая стоимость каждого денежного потока составит.

PV 1 = 100/(1+0,07) 1 = 93,46 у.е.

PV 2 = 100/(1+0,07) 2 = 87,34 у.е.

PV 3 = 100/(1+0,07) 3 = 81,63 у.е.

PV 4 = 100/(1+0,07) 4 = 76,29 у.е.

PV 5 = 100/(1+0,07) 5 = 71,30 у.е.

Как мы можем видеть, настоящая стоимость первого денежного потока самая высокая, а последнего – самая низкая. При этом, каждая из них ниже, чем их номинальная стоимость в размере 100 у.е.

Для того чтобы определить настоящую стоимость аннуитета, нам необходимо сложить настоящую стоимость каждого денежного потока.

PVA = 93,46+87,34+81,63+76,29+71,30 = 410,09 у.е.

Учитывая, что настоящая стоимость аннуитета, предложенного страховой компанией инвестору, выше, чем сумма единоразового платежа в размере 400 у.е., то данная инвестиционная возможность является приемлемой. В противном случае (настоящая стоимость ниже, чем единоразовый платеж) она должна быть отвергнута.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период (ставка дисконтирования или требуемая норма доходности);

N – количество периодов.

Подставив данные из предыдущего примера мы получим следующую сумму, которая совпадает с приведенными выше расчетами.

* - незначительное расхождение с предыдущей суммой возникло в результате округлений настоящей стоимость каждого денежного потока в приведенном выше примере.

Проблемы при применении данной методики на практике возникают при определении ставки дисконтирования или требуемой нормы доходности, от которых будут зависеть правильность принятого решения. Для их определения не существует никакой общепринятой методики или формулы, поэтому процесс ее оценки носит достаточно субъективный характер. Следует отметить, что на ее величину влияют такие факторы, как, например, сумма инвестиций, инвестиционный горизонт , склонность к риску , его финансовое положение и цели. Поэтому для одного инвестора требуемая норма доходности может составлять 5%, а для более склонного к риску, например, 13%.

В случае, когда аннуитетный платеж осуществляется в начале каждого периода, так называемый аннуитет пренумерандо, формула для расчета его настоящей стоимости имеет следующий вид.

Чтобы лучше разобраться в этой проблеме рассмотрим ее на простом примере.

Пример 2

Арендодателю поступило предложение о заключении договора аренды сроком на пять лет на следующих условиях:

Срок действия договора 5 лет;

- арендатор ежегодно осуществляет авансовые платежи в размере 500 у.е.

При этом арендодатель может продать объект аренды за 2000 у.е. и вложить эти средства под 8% годовых. Необходимо определить какое из этих предложений будет для него более выгодным. Чтобы ответить на этот вопрос надо найти настоящую стоимость аннуитета, что схематически будет выглядеть следующим образом.

Настоящая стоимость каждого денежного потока составит.

PV 1 = 500/(1+0,08) 0 = 500 у.е.

PV 2 = 500/(1+0,08) 1 = 462,96 у.е.

PV 3 = 500/(1+0,08) 2 = 428,67 у.е.

PV 4 = 500/(1+0,08) 3 = 396,92 у.е.

PV 5 = 500/(1+0,08) 4 = 367,51 у.е.

Следует отметить, что настоящая стоимость первого денежного потока совпадает с его номинальной стоимостью 500 у.е., поскольку арендный платеж носил авансовый характер, то есть был выплачен в 0 точке. Соответственно, все остальные полученные платежи также сдвинулись влево по временной шкале. Таким образом, настоящая стоимость аннуитета на таких условиях составит.

PVA = 500+462,96+428,67+396,92+367,51 = 2156,06 у.е.

Определим Приведенную (текущую) стоимость будущих доходов (или расходов) в случае аннуитета. Для этого будем использовать функцию ПС() . Также выведем альтернативную формулу для расчета Текущей стоимости.

Примечание . Английский вариант функции: PV(rate, nper, pmt, , ), т.е. Present Value – будущая стоимость.

Расчеты в ПС() производятся по этой формуле:

Использование функции ПС() в случае выплаты кредита

Определим сумму кредита, на которую можно рассчитывать, зная сумму ежемесячного платежа, срок кредита и процентную ставку (см. файл примера Лист Кредит ).

Пусть ежемесячный взнос =10000р. (плт), ставка по кредиту 10% (ставка). Кредит планируется вернуть в течение года (кпер=12). Взнос в конце месяца (тип=0).
Записав формулу =ПС(10%/12; 12; -10000; 0; 0) получим ответ 113 745,08р., т.е. взяв эту сумму в кредит и выплачивая по 10000р. ежемесячно, мы погасим полностью кредит через 12 месяцев.

Пример вычисления остатка суммы основного долга (при БС=0, тип=0)

Пусть был взят кредит в размере 100 000руб. на 10 лет под ставку 9%. Кредит должен гаситься ежемесячными равными платежами (в конце периода). Требуется вычислить сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат.
Решение простое – используйте функцию ОСПЛТ(): =ОСПЛТ(9%/12;25;10*12;100000)
Ставка за период (ставка): 9%/12
Номер периода (первый месяц третьего года выплат): 25=2*12+1
Всего периодов (кпер): 10*12
Кредит: 100000
Сумма основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат: -618,26руб.

Теперь выполним те же вычисления, только осмысленно, т.е. понимая, суть расчета.

Вычислим ежемесячный платеж, используя формулу приведенной стоимости. Обозначим сумму кредита как ПС, ежемесячный платеж как ПЛТ: ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Отсюда, ПМТ=ПС* ставка /(1-(1+ставка)^-кпер)=1266,76 (правильность расчета можно проверить с помощью ПЛТ() – см. статью ). ПЛТ() вернет -1266,76. Знак минус указывает на различные направления денежных потоков + (из банка сумма кредита), - (в банк ежемесячные платежи). Формула приведенной стоимости является следствием того, что сумма долей ежемесячных платежей, идущих на погашение основной суммы долга, должна быть равна сумме кредита. Поясним:

Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 1-й период =ПМТ-ПС*ставка, а с учетом знаков =-ПМТ-ПС*ставка (чтобы сумма долей была того же знака, что и ПС). Обозначим эту долю как ПС1. Кстати, ПС*ставка – это сумма процентов, уплаченная за пользование кредитом в первый период.
Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 2-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка=-ПМТ-(ПС +ПМТ+ПС*ставка) *ставка=(-ПМТ-ПС*ставка)*(1+ставка)=ПС1*(1+ставка). Обозначим эту долю как ПС2. Кстати, ПС-ПС1 – это остаток суммы долга в конце второго периода.
Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 3-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1-ПС2)*ставка=-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка+ПС2*ставка =ПС2+ПС2*ставка= ПС2*(1+ставка) =ПС1*(1+ставка)^2
Очевидно, что доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в последний период (кпер)= ПС1*(1+ставка)^ кпер =-(ПМТ+ПС*ставка) *(1+ставка)^ кпер
Чтобы погасить кредит полностью, необходимо, чтобы сумма долей, идущих на погашение кредита, была равна сумме кредита, т.е. =-(ПМТ+ПС*ставка)*(1-(1+ставка)^ кпер)/ставка=ПС. Эта формула получена как сумма членов геометрической прогрессии: первый член =-(ПМТ+ПС*ставка), знаменатель =(1+ставка).
Решая нехитрое уравнение, полученное на предыдущем шаге, получим, что ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Это и есть формула приведенной стоимости (при БС=0 и платежах, осуществляемых в конце периода (тип=0)).

Вычислим сумму основного долга, которую нужно будет выплатить начиная с 25-го месяца (т.е. в начиная с 25 и заканчивая 120 периодом). Сделаем это так же используя формулу приведенной стоимости ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Теперь ПМТ нам известно, ПС – это искомая сумма основного долга, которую нужно будет выплатить, начиная с 25-го месяца, т.е. за 96 периодов (120-24=кпер). ПС=86466,91 Правильность расчета можно проверить с помощью ОБЩДОХОД() .
Вычислим сумму процентов, которые будут выплачены в 25-й месяц: 86466,91*ставка=648,50 Правильность расчета можно проверить с помощью ПРПЛТ() .
Наконец, т.к. каждый платеж содержит сумму, идущую в оплату основной суммы долга и начисленные за период проценты, то Сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат получим как: ПМТ-648,50=618,26

Как видим, сумма совпадает результатом ОСПЛТ() , вычисленную ранее (с точностью до знака).

Примечание : в файле примера приведено решение нескольких простых задач по определению .